Alexandre-Hyacinthe Dunouy (1757-1841) 法國畫家。
本頁有以下小節
遞減型生存年金係指年金金額將逐年遞減，這裡將繼續探討各種不同型態之遞減型生存年金。
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
遞減型定期生存年金現值.
假設被保險人現年 \(x\)歲，於該歲開始之 \(n\)年定期生存年金依次為 \(\Lambda_{1}\), \(\Lambda_{2}\), \(\cdots\), \(\Lambda_{n}\)元且滿足
\[\Lambda_{1}>\Lambda_{2}>\cdots >\Lambda_{n}\mbox{。}\]
其現值計算公式與遞增型生存年金頁之(7)及(8)式相同。
\begin{equation}{\label{ex65}}\tag{1}\mbox{}\end{equation}
例題 \ref{ex65}. 假設被保險人於 \(30\)歲時投保 \(6\)年期之定期生存年金保險。其保單契約約定於每年末給付年金依次為 \(500\)元、 \(450\)元、 \(400\)元、 \(350\)元、 \(300\)元、 \(250\)元，則其。
\begin{align*}
\mbox{年金現值}
& =500\cdot {}_{0}E_{30}+450\cdot {}_{1}E_{30}+400\cdot {}_{2}E_{30}
+350\cdot {}_{3}E_{30}+300\cdot {}_{4}E_{30}+250\cdot {}_{5}E_{30}\\
& =\frac{50}{D_{30}}\cdot\left (10\cdot D_{30}+9\cdot D_{31}+8\cdot D_{32}+7\cdot D_{33}+6\cdot D_{34}+5\cdot D_{35}\right )
\end{align*}
因為
\begin{align*}
& 10\cdot D_{30}+9\cdot D_{31}+8\cdot D_{32}+7\cdot D_{33}+6\cdot D_{34}+5\cdot D_{35}\\
& \quad =\left\{\begin{array}{l}
5\cdot\left (D_{30}+D_{31}+D_{32}+D_{33}+D_{34}+D_{35}\right )\\
\quad +D_{30}+D_{31}+D_{32}+D_{33}+D_{34}\\
\quad +D_{30}+D_{31}+D_{32}+D_{33}\\
\quad +D_{30}+D_{31}+D_{32}\\
\quad +D_{30}+D_{31}\\
\quad +D_{30}
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{l}
5\cdot\left (N_{30}-N_{36}\right )\\
\quad +N_{30}-N_{35}\\
\quad +N_{30}-N_{34}\\
\quad +N_{30}-N_{33}\\
\quad +N_{30}-N_{32}\\
\quad +N_{30}-N_{31}
\end{array}\right\}\\
& \quad =10\cdot N_{30}-S_{31}+S_{36}-5\cdot N_{36}\mbox{，}
\end{align*}
故
\[\mbox{年金現值}=\frac{50}{D_{30}}\cdot\left (10\cdot N_{30}-S_{31}+S_{36}-5\cdot N_{36}\right )\mbox{。}\]
查表後可得其數值解。 \(\sharp\)
年末給付.
年末給付之遞減型 \(n\)年定期生存年金係指保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(n\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(n-1\)元，如此類推，至第 \(n\)年末給付年金 \(1\)元為止，而其現值以符號 \((Da)_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\begin{align*}
(Da)_{x:n\!\rceil} & =n\cdot {}_{1}E_{x}+(n-1)\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots +2\cdot {}_{n-1}E_{x}+{}_{n}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{n}(n-t+1)\cdot {}_{t}E_{x}=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{n}(n-t+1)\cdot D_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \((Da)_{x:n\!\rceil}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(1\)期，其現值為 \(a_{x:1\!\rceil}\)
- 每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(2\)期，其現值為 \(a_{x:2\!\rceil}\)
- 依此類推，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(t\)期，其現值為 \(a_{x:t\!\rceil}\)
- 最後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n\)期，其現值為 \(a_{x:n\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label {eq122}}\tag{2}
(Da)_{x:n\!\rceil}=\sum_{t=1}^{n}a_{x:t\!\rceil}=\sum_{t=1}^{n}
\frac{N_{x+1}-N_{x+t+1}}{D_{x}}=\frac{n\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+n+2}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(n\cdot\Lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \((n-1)\cdot\Lambda\)元，如此類推，至第 \(n\)年末給付 \(\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =n\cdot\Lambda\cdot {}_{1}E_{x}+(n-1)\cdot\Lambda\cdot {}_{2}E_{x}
+\cdots +2\Lambda\cdot {}_{n-1}E_{x}+\Lambda\cdot {}_{n}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot (Da)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(\Lambda +(n-1)\cdot\lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(\Lambda +(n-2)\cdot\lambda\)元，依此類推，第 \(n-1\)年末給付年金 \(\Lambda +\lambda\)至第 \(n\)年末給付年金 \(\Lambda\)元為止。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元，共給付 \(n\)期，其現值為 \(\Lambda\cdot a_{x:n\!\rceil}\)
- 每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(1\)期，其現值為 \(\lambda\cdot a_{x:1\!\rceil}\)
- 每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(2\)期，其現值為 \(\lambda\cdot a_{x:2\!\rceil}\)
- 依此類推，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(t\)期，其現值為 \(\lambda\cdot a_{x:t\!\rceil}\)
- 最後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(n-1\)期，其現值為 \(\lambda\cdot a_{x:n-1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n-1}a_{x:t\!\rceil}=(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n}a_{x:t\!\rceil}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (Da)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq130}\tag{3}
\end{align}
年初給付.
年初給付之遞減型 \(n\)年定期生存年金係指保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(n\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(n-1\)元，如此類推，至第 \(n\)年初給付年金 \(1\)元為止，而其現值以符號 \((D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\begin{align*}
(D\ddot{a})_{x:n\!\rceil} & =n\cdot {}_{0}E_{x}+(n-1)\cdot {}_{1}E_{x}+\cdots +2\cdot {}_{n-2}E_{x}+{}_{n-1}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{n}(n-t+1)\cdot {}_{t-1}E_{x}=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{n}(n-t+1)\cdot D_{x+t-1}\mbox{。}
\end{align*}
同理，參考(\ref{eq122})，亦可由另一觀點來推出 \((D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)之計算式為
\[(D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}=\sum_{t=1}^{n}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}=\sum_{t=1}^{n}
\frac{N_{x}-N_{x+t}}{D_{x}}=\frac{n\cdot N_{x}-S_{x+1}+S_{x+n+1}}{D_{x}}\mbox{。}\]
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(n\cdot\Lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \((n-1)\cdot\Lambda\)元，如此類推，至第 \(n\)年初給付 \(\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =n\cdot\Lambda\cdot {}_{0}E_{x}+(n-1)\cdot\Lambda\cdot {}_{1}E_{x}
+\cdots +2\Lambda\cdot {}_{n-2}E_{x}+\Lambda\cdot {}_{n-1}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot (D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(\Lambda +(n-1)\cdot\lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(\Lambda +(n-2)\cdot\lambda\)元，依此類推，第 \(n-1\)年初給付年金 \(\Lambda +\lambda\)至第 \(n\)年初給付年金 \(\Lambda\)元為止，其
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n-1}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}=(\Lambda -\lambda)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
例題. 延續例題 \ref{ex65}，可知 \(\Lambda=250\)及 \(\lambda=50\)，則其。
\begin{align*}
\mbox{年金現值}
& =(\Lambda -\lambda)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\\
& =200\cdot\ddot{a}_{30:6\!\rceil}+50\cdot (D\ddot{a})_{30:6\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
經查表後，可得其實際數值。 \(\sharp\)
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
遞減型之延期定期生存年金現值.
考慮遞減型延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生存年金現值，給付方式可分為年末與年初給付。
年末給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(n\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(n-1\)元，如此類推，至第 \(m+n\)年末給付年金 \(1\)元為止，而其現值以符號 \({}_{m|}(Da)_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(Da)_{x:n\!\rceil} & =n\cdot {}_{m+1}E_{x}+(n-1)\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots +2\cdot {}_{m+n-1}E_{x}+{}_{m+n}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{n}(n-t+1)\cdot {}_{m+t}E_{x}=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{n}(n-t+1)\cdot D_{x+m+t}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m}(Da)_{x:n\!\rceil}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(1\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:1\!\rceil}\)
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(2\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:2\!\rceil}\)
- 依此類推，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(t\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:t\!\rceil}\)
- 最後，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為。
\begin{align}
{}_{m|}(Da)_{x:n\!\rceil} & =\sum_{t=1}^{n}{}_{m|}a_{x:t\!\rceil}
=\sum_{t=1}^{n}\frac{N_{x+m+1}-N_{x+m+t+1}}{D_{x}}\label{eq124}\tag{4}\\
& =\frac{n\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+n+2}}{D_{x}}\mbox{。}\nonumber
\end{align}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(n\cdot\Lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \((n-1)\cdot\Lambda\)元，如此類推，至第 \(m+n\)年末給付 \(\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =n\cdot\Lambda\cdot {}_{m+1}E_{x}+(n-1)\cdot\Lambda\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots +2\Lambda\cdot {}_{m+n-1}E_{x}+\Lambda\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot {}_{m|}(Da)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(\Lambda +(n-1)\cdot\lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(\Lambda +(n-2)\cdot\lambda\)元，依此類推，第 \(m+n-1\)年初給付年金 \(\Lambda +\lambda\)至第 \(m+n\)年末給付年金 \(\Lambda\)元為止。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元，共給付 \(n\)期，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(1\)期，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m|}a_{x:1\!\rceil}\)
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(2\)期，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m|}a_{x:2\!\rceil}\)
- 依此類推，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(t\)期，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m|}a_{x:t\!\rceil}\)
- 最後，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(n-1\)期，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m|}a_{x:n-1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n-1}{}_{m|}a_{x:t\!\rceil}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n}{}_{m|}a_{x:t\!\rceil}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot {}_{m|}(Da)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq131}\tag{5}
\end{align}
年初給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年初(即第 \(m\)年末)給付年金 \(n\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(n-1\)元，如此類推，至第 \(m+n\)年初給付年金 \(1\)元為止，而其現值以符號 \({}_{m|}(D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(D\ddot{a})_{x:n\!\rceil} & =n\cdot {}_{m}E_{x}+(n-1)\cdot {}_{m+1}E_{x}+\cdots +2\cdot {}_{m+n-2}E_{x}+{}_{m+n-1}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{n}(n-t+1)\cdot {}_{m+t-1}E_{x}=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{n}(n-t+1)\cdot D_{x+m+t-1}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m}(D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)之計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(D\ddot{a})_{x:n\!\rceil} & =\sum_{t=1}^{n}{}_{m|}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}=\sum_{t=1}^{n}\frac{N_{x+m}-N_{x+m+t}}{D_{x}}\\
& =\frac{n\cdot N_{x+m}-S_{x+m+1}+S_{x+m+n+1}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(n\cdot\Lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \((n-1)\cdot\Lambda\)元，如此類推，至第 \(m+n\)年初給付 \(\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =n\cdot\Lambda\cdot {}_{m}E_{x}+(n-1)\cdot\Lambda\cdot {}_{m+1}E_{x}
+\cdots +2\Lambda\cdot {}_{m+n-2}E_{x}+\Lambda\cdot {}_{m+n-1}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot {}_{m|}(D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
(ii)]第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(\Lambda +(n-1)\cdot\lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(\Lambda +(n-2)\cdot\lambda\)元，依此類推，第 \(m+n-1\)年初給付年金 \(\Lambda +\lambda\)至第 \(m+n\)年初給付年金 \(\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n-1}{}_{m|}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n}{}_{m|}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot {}_{m|}(D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
