遞增型生死合險人壽保險金

Franz Knebel (1809-1877) was a Swiss painter.

本頁有以下小節

\ref{a} 被保險人在保險有效期間內身故或保險契約滿期時生存，保險公司皆得給付一定數額之保險金予被保險人，而且保險金金額將逐年遞增。

\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}

遞增型之定期生死合險.

遞增型之 $n$年定期生死合險可分為期末給付與即刻給付。

期末給付.

假設被保險人於 $x$歲時投保遞增型之 $n$年定期生死合險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，若於第 $2$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $2$元，依此類推，每年增加 $1$元保險金至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 $(IA)_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
(IA)_{x:n\!\rceil} & =(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}=
\frac{M_{x}-M_{x+n}}{D_{x}}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\\
& =\frac{M_{x}-M_{x+n}+\zeta\cdot D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $2$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $2\Lambda$元，依此類推，每年增加 $\Lambda$元保險金至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $2$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +\lambda$元，若於第 $3$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年增加 $\lambda$元保險金至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

即刻給付.

假設被保險人於 $x$歲時投保遞增型之 $n$年定期生死合險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $1$元，若於第 $2$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $2$元，依此類推，每年增加 $1$元保險金至第$n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 $(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
(I\bar{A})_{x:n\!\rceil} & =(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}=
\frac{\bar{M}_{x}-\bar{M}_{x+n}}{D_{x}}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\\
& =\frac{\bar{M}_{x}-\bar{M}_{x+n}+\zeta\cdot D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $2$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $2\Lambda$元，依此類推，每年增加 $\Lambda$元保險金至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $2$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda +\lambda$元，若於第 $3$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年增加 $\lambda$元保險金至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}

遞增型之延期定期生死合險.

遞增型之 $n$年定期生死合險可分為期末給付與即刻給付。

期末給付.

假設被保險人於 $x$歲時投保延期 $m$年之遞增型 $n$年定期生死合險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $m+1$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，若於第 $m+2$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $2$元，依此類推，每年增加 $1$元保險金至第 $m+n$年為止。若 $m+n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
{}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}
=\frac{M_{x+m}-M_{x+m+n}}{D_{x}}+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}+\\
& =\frac{M_{x+m}-M_{x+n}+\zeta\cdot D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $m+1$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $m+2$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $2\Lambda$元，依此類推，每年增加 $\Lambda$元保險金至第 $m+n$年為止。若 $m+n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot {}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\mbox{。}\]

(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $m+1$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $m+2$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +\lambda$元，若於第 $m+3$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年增加 $\lambda$元保險金至第 $m+n$年為止。若 $m+n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot {}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\mbox{。}\]

即刻給付.

假設被保險人於 $x$歲時投保延期$m$年之遞增型 $n$年定期生死合險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $m+1$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $1$元，若於第 $m+2$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $2$元，依此類推，每年增加 $1$元保險金至第 $m+n$年為止。若 $m+n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
{}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}
=\frac{M_{x+m}-M_{x+m+n}}{D_{x}}+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\\
& =\frac{M_{x+m}-M_{x+n}+\zeta\cdot D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $m+1$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $m+2$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $2\Lambda$元，依此類推，每年增加 $\Lambda$元保險金至第 $m+n$年為止。若 $m+n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\mbox{。}\]

(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $m+1$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $m+2$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda +\lambda$元，若於第 $m+3$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年增加 $\lambda$元保險金至第 $m+n$年為止。若 $m+n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\mbox{。}\]

\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}

定期遞增型之定期生死合險.

考慮遞增 $k$年之 $n$年定期生死合險，其中 $k<n$，可分為年末給付與即刻給付。

年末給付.

假設被保險人於 $x$歲時投保遞增 $k$年之 $n$年定期生死合險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，若於第 $2$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $2$元，依此類推，每年增加 $1$元保險金至第 $k$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $k$元，之後，自第 $k+1$年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $k$元，至第 $n$年為止。若$n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 $(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil} & =(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}=
\frac{R_{x}-R_{x+k}-k\cdot M_{x+k}}{D_{x}}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\\
& =\frac{R_{x}-R_{x+k}-k\cdot M_{x+k}+\zeta\cdot D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $2$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $2\Lambda$元，依此類推，每年增加 $\Lambda$元保險金至第 $k$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $k\cdot\Lambda$元，之後，自第 $k+1$年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $k\cdot\Lambda$元，至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $2$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +\lambda$元，若於第 $3$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年增加 $\lambda$元保險金至第 $k$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，之後，自第 $k+1$年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

即刻給付.

假設被保險人於 $x$歲時投保遞增 $k$年之 $n$年定期生死合險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $1$元，若於第 $2$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $2$元，依此類推，每年增加 $1$元保險金至第 $k$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $k$元，之後，自第 $k+1$年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 $k$元，至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 $(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil} & =(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}=\frac{\bar{R}_{x}-\bar{R}_{x+k}-k\cdot\bar{M}_{x+k}}{D_{x}}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\\
& =\frac{\bar{R}_{x}-\bar{R}_{x+k}-k\cdot\bar{M}_{x+k}+\zeta\cdot D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $2$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $2\Lambda$元，依此類推，每年增加 $\Lambda$元保險金至第 $k$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $k\cdot\Lambda$元，之後，自第 $k+1$年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 $k\cdot\Lambda$元，至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $2$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda +\lambda$元，若於第 $3$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年增加 $\lambda$元保險金至第 $k$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，之後，自第 $k+1$年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，至第 $n$年為止。若$n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}

定期遞增型之延期定期生死合險.

考慮遞增 $k$年之延期 $m$年之 $n$年定期生死合險，其中 $k<n$，可分為年末給付與即刻給付。

期末給付.

假設被保險人於 $x$歲時投保遞增 $k$年之延期 $m$年之 $n$年定期生死合險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $m+1$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，若於第 $m+2$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $2$元，依此類推，每年增加 $1$元保險金至第 $m+k$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $k$元，之後，自第 $m+k+1$年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $k$元，至第 $m+n$年為止。若 $m+n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}=
\frac{R_{x+m}-R_{x+m+k}-k\cdot M_{x+m+k}}{D_{x}}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\\
& =\frac{R_{x+m}-R_{x+m+k}-k\cdot M_{x+m+k}+\zeta\cdot D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $m+1$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $m+2$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $2\Lambda$元，依此類推，每年增加 $\Lambda$元保險金至第 $m+k$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $k\cdot\Lambda$元，之後，自第 $m+k+1$年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $k\cdot\Lambda$元，至第 $m+n$年為止。若 $m+n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $m+1$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $m+2$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +\lambda$元，若於第 $m+3$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年增加 $\lambda$元保險金至第 $m+k$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，之後，自第 $m+k+1$年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，至第 $m+n$年為止。若$m+n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

即刻給付.

假設被保險人於 $x$歲時投保遞增 $k$年之延期 $m$年之 $n$年定期生死合險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $m+1$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $1$元，若於第 $m+2$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $2$元，依此類推，每年增加 $1$元保險金至第 $m+k$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $k$元，之後，自第 $m+k+1$年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 $k$元，至第 $m+n$年為止。若 $m+n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}=
\frac{R_{x+m}-R_{x+m+k}-k\cdot M_{x+m+k}}{D_{x}}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\\
& =\frac{R_{x+m}-R_{x+m+k}-k\cdot M_{x+m+k}+\zeta\cdot D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $m+1$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $m+2$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $2\Lambda$元，依此類推，每年增加 $\Lambda$元保險金至第 $m+k$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $k\cdot\Lambda$元，之後，自第 $m+k+1$年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 $k\cdot\Lambda$元，至第 $m+n$年為止。若 $m+n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot{}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 $m+1$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda$元，若於第 $m+2$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda +\lambda$元，若於第 $m+3$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年增加 $\lambda$元保險金至第 $m+k$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，之後，自第 $m+k+1$年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，至第 $m+n$年為止。若 $m+n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。其
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

\begin{equation}{\label{e}}\tag{E}\mbox{}\end{equation}

每年遞增數次之定期生死合險.

考慮每年分成 $h$期，被保險人在保險有效期間內身故或保險契約滿期時生存，保險公司皆得給付一定數額之保險金予被保險人。而且保險金金額將逐期遞增。每年遞增 $h$次之 $n$年定期生死合險可分為期末給付、即刻給付與瞬時遞增型之即刻給付。

期末給付.

假設被保險人於 $x$歲時投保每年遞增 $h$次之 $n$年定期生死合險，保單契約約定，被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$年內身故時，於第 $1/h$年末給付保險金 $1/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內身故時，於 $2/h$年末給付保險金 $2/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $1/h$元。如此繼續下去，至第 $n$年為止。若$n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 $(I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
(I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil} & =(I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& \approx (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$年內身故時，於第 $1/h$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內身故時，於 $2/h$年末給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，至第 $n$年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。因此，依據每年遞增數次之人壽保險金頁之(32)式，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot (I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& \approx\Lambda\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot\frac{h-1}{2h}
\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，假設考慮第$1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，至第 $n$年為止。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $1$年內之第 $1/h$期內身故時，於第 $1/h$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，於第 $2/h$年末給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。第 $2$年內之第 $1/h$期內身故時，於第 $1+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $2$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，於第 $1+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。因此，依據每年遞增數次之人壽保險金頁之(33)式，被保險人總給付現值之近似計算式為:
\[\mbox{被保險人之總給付現值}\approx\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -2\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}
\right )\cdot {}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

即刻給付.

假設被保險人於 $x$歲時投保每年遞增 $h$次之 $n$年定期生死合險，保單契約約定，被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$年內身故時，即刻給付保險金 $1/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內身故時，即刻給付保險金 $2/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $1/h$元。如此繼續下去，至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 $(I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
(I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil} & =(I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& \approx (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內身故時，即刻給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，至第 $n$年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot (I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& \approx\Lambda\cdot (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot\frac{h-1}{2h}
\cdot \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，假設考慮第 $1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，至第 $n$年為止。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，即刻給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。第 $1+(1/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $1+(1/h)$至 $1+(2/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之近似計算式為:
\[\mbox{被保險人之總給付現值}\approx\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot\bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -2\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}+\lambda
\cdot (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}\]

瞬時遞增型之即刻給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保瞬時遞增型之即刻給付 $n$年定期生死合險。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元，其被保險人之總給付現值以符號 $(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}$表示。因此，依據每年遞增數次之人壽保險金頁之(35)式，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil} & =(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}
=\int_{0}^{n}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& \approx (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{1}{2}\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之任何 $t/h$時間身故，保險公司需即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，依據每年遞增數次之人壽保險金頁之(36)式，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot (\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}
+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}=\Lambda\cdot\int_{0}^{n}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& \approx\Lambda\cdot (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{\Lambda}{2}\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $1$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，其中 $t=1,\cdots ,h$。第 $2$年內之任何$t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=h+1,\cdots ,2h$。依此類推，每年遞增 $\lambda$元，第 $s$年內之任何$t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(s-2)\cdot\lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=(s-1)\cdot h+1,\cdots ,s\cdot h$，如此繼續下去，至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，依據每年遞增數次之人壽保險金頁之(37)式，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =(\Lambda -\lambda )\cdot\left (\int_{0}^{1}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\int_{1}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )
+\lambda\cdot (\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& \approx\left (\frac{\Lambda}{2}-\lambda\right )\cdot\bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}
+\frac{\Lambda -\lambda}{2}\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

\begin{equation}{\label{f}}\tag{F}\mbox{}\end{equation}

每年遞增數次之延期定期生死合險.

每年遞增 $h$次之延期 $m$年之 $n$年定期生死合險可分為期末給付、即刻給付與瞬時遞增型之即刻給付。

期末給付.

被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時，於第 $m+(1/h)$年末給付保險金 $1/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，於第 $m+(2/h)$年末給付保險金 $2/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $1/h$元。如此繼續下去，至第 $m+n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
{}_{m|}(I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}(I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& \approx {}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時，於第 $m+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，於 $m+(2/h)$年末給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，至第 $m+n$年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。因此，依據每年遞增數次之人壽保險金頁之(32)式，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}(I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& \approx\Lambda\cdot {}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot\frac{h-1}{2h}
\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，假設考慮第 $m+1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $m+2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $m+3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，至第 $m+n$年為止。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$期內身故時，於第 $m+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$期內身故時，於第 $m+(2/h)$年末給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $m+1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。第 $m+1+(1/h)$期內身故時，於第 $m+1+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $m+1+(1/h)$至 $m+1+(2/h)$期內身故時，於第 $m+1+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $m+2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，至第 $m+n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。因此，依據每年遞增數次之人壽保險金頁之(34)(\ref{eq182})式，被保險人總給付現值之近似計算式為:
\begin{align*}
\lefteqn{\mbox{被保險人之總給付現值}}\\
& \approx\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot
{}_{m|}A_{x:1\!\rceil}^{1}+\left (\Lambda -2\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}
\right )\cdot {}_{m+1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot {}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& +\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付.

被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $1/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $2/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $1/h$元。如此繼續下去，至第 $m+n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
{}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& \approx {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，至第 $m+n$年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& \approx \Lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot\frac{h-1}{2h}
\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，假設考慮第 $m+1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $m+2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $m+3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，至第 $m+n$年為止。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1$年內之第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $m+1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。第 $m+1+(1/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $m+1+(1/h)$至 $m+1+(2/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $m+2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，至第 $m+n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之近似計算式為:
\[\mbox{被保險人之總給付現值}\approx\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -2\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}+\lambda
\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\mbox{。}\]

瞬時遞增型之即刻給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保瞬時遞增型之即刻給付延期 $m$年之 $n$年定期生死合險。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元，其被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}$表示。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
{}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& =\int_{m}^{m+n}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& \approx {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{1}{2}\cdot
{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之任何 $t/h$時間身故，保險公司需即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，至第 $m+n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot\int_{m}^{m+n}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& \approx\Lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{\Lambda}{2}\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $m+1$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，其中 $t=1,\cdots ,h$。第 $m+2$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=h+1,\cdots ,2h$。依此類推，每年遞增 $\lambda$元，第 $m+s$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(s-2)\cdot\lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=(s-1)\cdot h+1,\cdots ,s\cdot h$，如此繼續下去，至第 $m+n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =(\Lambda -\lambda )\cdot\left (\int_{m}^{m+1}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\int_{m+1}^{m+n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )+\lambda\cdot {}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& \approx\left (\frac{\Lambda}{2}-\lambda\right )\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}
+\frac{\Lambda -\lambda}{2}\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

\begin{equation}{\label{g}}\tag{G}\mbox{}\end{equation}

每年遞增數次且定期遞增之定期生死合險.

每年遞增 $h$次且定期遞增 $k$年之 $n$年定期生死合險可分為期末給付、即刻給付與瞬時遞增型之即刻給付。

期末給付.

被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$年內(即第 $1$年內之第 $1/h$期內)身故時，於第 $1/h$年末給付保險金 $1/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內(即第 $1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內)身故時，於第 $2/h$年末給付保險金 $2/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $1/h$元。依此類推，第 $k-1$至 $(k-1)+(1/h)$年內(即第 $k$年內之第 $1/h$期內)身故時，於第 $(k-1)+(1/h)$年末給付保險金 $(k-1)+(1/h)$元，在第 $(k-1)+(1/h)$至 $(k-1)+(2/h)$年內(即第 $k$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內)身故時，於第 $(k-1)+(2/h)$年末給付保險金 $(k-1)+(2/h)$元，如此繼續下去至第 $k$年末。之後，自第 $k+1$年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 $k$元，直至第 $n$年。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 $(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil} & =(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& \approx(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{k|}A_{x:n-k\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$年內身故時，於第 $1/h$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內身故時，於 $2/h$年末給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，第 $k-1$至 $(k-1)+(1/h)$年內身故時，於第 $(k-1)+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda\cdot [(k-1)+(1/h)]$元，在第 $(k-1)+(1/h)$至 $(k-1)+(2/h)$年內身故時，於第 $(k-1)+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda\cdot [(k-1)+(2/h)]$元，如此繼續下去至第 $k$年末給付保險金 $k\cdot\Lambda$元。之後，自第 $k+1$年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 $k\cdot\Lambda$元，直至第 $n$年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& \approx\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}
\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{k|}A_{x:n-k\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，假設考慮第 $1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，至第 $k$年之總遞增金額為 $\Lambda +(k-1)\lambda$元，每年總遞增金額為 $\lambda$元至第 $k$年，之後，自第 $k+1$年起，每年之總遞增金額為 $\Lambda +(k-1)\lambda$元直至終身。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$期內身故時，於第 $1/h$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，於第 $2/h$年末給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。在第 $1+(1/h)$期內身故時，於第 $1+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $1+(1/h)$至 $1+(2/h)$期內身故時，於第 $1+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，在第 $k-1+(1/h)$期內身故時，於第 $k-1+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(\lambda/h)$元，在第 $k-1+(1/h)$至 $k-1+(2/h)$期內身故時，於第 $k-1+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(2\lambda/h)$元，如此繼續下去至第$k$年末需給付保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元。之後，自第 $k+1$年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。因此，依據(\ref{eq188})式，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & \approx\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{1|}A_{x}
-\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot {}_{k|}A_{x}\\
& \quad -(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{n|}A_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付.

被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$年內身故時，即刻給付保險金 $1/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內身故時，即刻給付保險金 $2/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $1/h$元。依此類推，第 $k-1$至 $(k-1)+(1/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $(k-1)+(1/h)$元，在第 $(k-1)+(1/h)$至 $(k-1)+(2/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $(k-1)+(2/h)$元，如此繼續下去至第 $k$年末。之後，自第 $k+1$年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 $k$元，直至第 $n$年。若 $n$年到期時被保險人仍生存，
則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 $(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil} & =(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& \approx (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{h-1}{2h}\cdot \bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內身故時，即刻給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，第 $k-1$至 $(k-1)+(1/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda\cdot [(k-1)+(1/h)]$元，在第 $(k-1)+(1/h)$至 $(k-1)+(2/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda\cdot [(k-1)+(2/h)]$元，如此繼續下去至第 $k$年末給付保險金 $k\cdot\Lambda$元。之後，自第 $k+1$年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 $k\cdot\Lambda$元，直至第 $n$年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& \approx\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}\cdot \bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，假設考慮第 $1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，至第 $k$年之總遞增金額為 $\Lambda +(k-1)\lambda$元，每年總遞增金額為 $\lambda$元至第 $k$年，之後，自第 $k+1$年起，每年之總遞增金額為 $\Lambda +(k-1)\lambda$元直至終身。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，即刻給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。第 $1+(1/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $1+(1/h)$至$1+(2/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，第 $k-1+(1/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(\lambda/h)$元，在第 $k-1+(1/h)$至 $k-1+(2/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(2\lambda/h)$元，如此繼續下去至第 $k$年末需給付保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元。之後，自第 $k+1$年起，若被保險人身故，則保險公司需即刻給付保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。因此，依據(\ref{eq188})式，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & \approx\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot \bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x}
-\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot{}_{k|}\bar{A}_{x}\\
& \quad -(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{n|}\bar{A}_{x}
+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\mbox{。}
\end{align*}

瞬時定期遞增型之即刻給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保瞬時定期遞增 $k$年之即刻給付 $n$年生死合險。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 $(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil} & =(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& =\int_{0}^{k}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+k\cdot\int_{k}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\\
& \approx (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{1}{2}\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
-{}_{k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之任何 $t/h$時間身故，保險公司需即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot (\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot\left (\int_{0}^{k}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+k\cdot\int_{k}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\\
& \approx\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{\Lambda}{2}\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
-\Lambda\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $1$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，其中 $t=1,\cdots ,h$。第 $2$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=h+1,\cdots ,2h$。依此類推，每年遞增 $\lambda$元，第 $s$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(s-2)\cdot\lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=(s-1)\cdot h+1,\cdots ,s\cdot h$，如此繼續下去，至第 $n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =(\Lambda -\lambda )\cdot\left (\int_{0}^{1}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\int_{1}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )
+\lambda\cdot (\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{n}E_{x}\\
& \approx\left (\frac{\Lambda}{2}-\lambda\right )\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}+\frac{\Lambda -\lambda}{2}\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x}-\left (\frac{\lambda -\Lambda}{2}+\lambda\right )\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x}\\
& \quad -(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{n|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

\begin{equation}{\label{h}}\tag{H}\mbox{}\end{equation}

每年遞增數次且定期遞增之延期定期生死合險.

每年遞增 $h$次且定期遞增 $k$年之延期$m$年之 $n$年定期生死合險可分為期末給付、即刻給付與瞬時遞增型之即刻給付。

期末給付.

被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時，於第 $m+(1/h)$年末給付保險金 $m+(1/h)$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，於第 $m+(2/h)$年末給付保險金 $m+(2/h)$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $1/h$元。依此類推，第 $m+k-1$至 $m+k-1+(1/h)$年內身故時，於第 $m+k-1+(1/h)$年末給付保險金 $k-1+(1/h)$元，在第 $m+k-1+(1/h)$至 $m+k-1+(2/h)$年內身故時，於第 $m+k-1+(2/h)$年末給付保險金 $k-1+(2/h)$元，如此繼續下去至第 $m+k$年末。之後，自第 $m+k+1$年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 $k$元，直至第 $m+n$年。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil} & =
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& \approx {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{m+k|}A_{x:n-k\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時，於第 $m+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，於 $m+(2/h)$年末給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，第 $m+k-1$至 $m+k-1+(1/h)$年內身故時，於第 $m+k-1+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda\cdot [(k-1)+(1/h)]$元，在第 $m+k-1+(1/h)$至 $m+k-1+(2/h)$年內身故時，於第 $m+k-1+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda\cdot [(k-1)+(2/h)]$元，如此繼續下去至第 $m+k$年末給付保險金 $k\cdot\Lambda$元。之後，自第 $m+k+1$年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 $k\cdot\Lambda$元，直至第 $m+n$年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& \approx\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{m+k|}A_{x:n-k\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，假設考慮第 $m+1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $m+2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $m+3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，至第 $m+k$年之總遞增金額為 $\Lambda +(k-1)\lambda$元，每年總遞增金額為 $\lambda$元至第 $m+k$年，之後，自第 $m+k+1$年起，每年之總遞增金額為 $\Lambda +(k-1)\lambda$元直至終身。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$期內身故時，於第 $m+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$期內身故時，於第 $m+(2/h)$年末給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $m+1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。在第 $m+1+(1/h)$期內身故時，於第 $m+1+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $m+1+(1/h)$至 $m+1+(2/h)$期內身故時，於第 $m+1+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第$m+2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，在第 $k-m+1+(1/h)$期內身故時，於第 $k-m+1+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(\lambda/h)$元，在第 $k-m+1+(1/h)$至 $k-m+1+(2/h)$期內身故時，於第 $k-m+1+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(2\lambda/h)$元，如此繼續下去至第 $k$年末需給付保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元。之後，自第 $m+k+1$年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，第 $m+n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。因此，依據每年遞增數次且定期遞增之人壽保險金頁之(48)式，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & \approx\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m+1|}A_{x}
-\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot {}_{m+k|}A_{x}\\
& \quad -(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{m+n|}A_{x}
+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付.

被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $m+(1/h)$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $m+(2/h)$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $1/h$元。依此類推，第 $m+k-1$至 $m+k-1+(1/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $k-1+(1/h)$元，在第 $m+k-1+(1/h)$至 $m+k-1+(2/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $k-1+(2/h)$元，如此繼續下去至第 $m+k$年末。之後，自第 $m+k+1$年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 $k$元，直至第 $m+n$年。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil} & =
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& \approx {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{h-1}{2h}\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{m+k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，第 $m+k-1$至 $m+k-1+(1/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda\cdot [(k-1)+(1/h)]$元，在第 $m+k-1+(1/h)$至 $m+k-1+(2/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda\cdot [(k-1)+(2/h)]$元，如此繼續下去至第 $m+k$年末給付保險金 $k\cdot\Lambda$元。之後，自第 $m+k+1$年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 $k\cdot\Lambda$元，直至第 $m+n$年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& \approx\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}
\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，假設考慮第 $m+1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $m+2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $m+3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，至第 $m+k$年之總遞增金額為 $\Lambda +(k-1)\lambda$元，每年總遞增金額為 $\lambda$元至第 $m+k$年，之後，自第 $m+k+1$年起，每年之總遞增金額為 $\Lambda +(k-1)\lambda$元直至終身。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $m+1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。第 $m+1+(1/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $m+1+(1/h)$至 $m+1+(2/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $m+2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，第 $k-m+1+(1/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(\lambda/h)$元，在第 $k-m+1+(1/h)$至 $k-m+1+(2/h)$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(2\lambda/h)$元，如此繼續下去至第 $k$年末需給付保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元。之後，自第 $m+k+1$年起，若被保險人身故，則保險公司需即刻給付保險金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，第 $m+n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需於當年末給付生存保險金 $\zeta$元。因此，依據每年遞增數次且定期遞增之人壽保險金頁之(48)式，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & \approx\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x}
-\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x}\\
& \quad -(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{m+n|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\mbox{。}
\end{align*}

瞬時定期遞增型之即刻給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保瞬時定期遞增 $k$年之延期$m$年之即刻給付 $n$年生死合險。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}$表示，其計算式為:
\begin{align*}
{}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& =\int_{m}^{m+k}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+k\cdot\int_{m+k}^{m+n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\\
& \approx {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{1}{2}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
-{}_{m+k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之任何 $t/h$時間身故，保險公司需即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，至第 $m+n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot\left (\int_{m}^{m+k}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}
\cdot\mu_{t+x}dt+k\cdot\int_{m+k}^{m+n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\\
& \approx\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{\Lambda}{2}\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
-\Lambda\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $m+1$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，其中 $t=1,\cdots ,h$。第 $m+2$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=h+1,\cdots ,2h$。依此類推，每年遞增 $\lambda$元，第 $m+s$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(s-2)\cdot\lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=(s-1)\cdot h+1,\cdots ,s\cdot h$，如此繼續下去，至第 $m+n$年為止。若 $n$年到期時被保險人仍生存，則保險公司需即刻給付生存保險金 $\zeta$元。因此，被保險人總給付現值之計算式為:
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =(\Lambda -\lambda )\cdot\left (\int_{m}^{m+1}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\int_{m+1}^{m+n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )+\lambda\cdot {}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& \approx\left (\frac{\Lambda}{2}-\lambda\right )\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
+\frac{\Lambda -\lambda}{2}\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x}-\left (\frac{\lambda -\Lambda}{2}+\lambda\right )\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x}\\
& \quad -(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{m+n|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
+\zeta\cdot\frac{D_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

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