Andreas Schelfhout (1787–1870) 荷蘭畫家。
本頁有以下小節
之前所探討之生存年金，其每年給付之年金金額皆是固定的。為因應不同投保人之各種需求，每年給付之年金金額是可以變動的。例如遞增型生存年金係指年金金額將逐年遞增而遞減型生存年金係指年金金額將逐年遞減。變額型生存年金係指年金將隨著給付時間之演進而有所改變。此類型之保單，可針對投保人之需求，選擇各種不同隨著時間演進，給付不同年金之保單來符合其自身之狀況。例如，有投保人覺得其自身之健康良好，應該可以長命百歲，為了領得高額年金給付以對抗物價上漲，這樣他就可能投保遞增型生存年金。當然保險公司也可能會設計出於某年齡之後即停止遞增之保單，以免負擔太多。因此，變額型生存年金可提供多樣化的還擇，來符合各種不同狀況投保人之需求。
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
遞增型終身生存年金現值.
遞增型終身生存年金可分為年末給付與年初給付。
年末給付.
假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(1\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(2\)元，如此類推至終身，則其現值以符號 \((Ia)_{x}\)表示且計算式為
\begin{equation}{\label{eq492}}\tag{1}
(Ia)_{x}={}_{1}E_{x}+2\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots +(\omega -x)\cdot {}_{\omega -x}E_{x}=\sum_{t=1}^{\omega -x}t\cdot {}_{t}E_{x}
=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{\omega -x}t\cdot D_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
亦可由另一觀點來推出 \((Ia)_{x}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{0|}a_{x}=a_{x}\)
- 延期 \(1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{1|}a_{x}\)
- 延期 \(2\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{2|}a_{x}\)
- 依此類推，延期 \(t\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{t|}a_{x}\)
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label{eq67}}\tag{2}
(Ia)_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}a_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}\frac{N_{x+t+1}}{D_{x}}=\frac{S_{x+1}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
因為
\begin{align}
S_{x} & =\sum_{t=0}^{\omega -x}N_{x+t}=N_{x}+N_{x+1}+\cdots +N_{\omega}\nonumber\\
& =D_{x}+2D_{x+1}+3D_{x+2}+\cdots +(\omega -x+1)\cdot D_{\omega}\nonumber\\
& =\sum_{t=x}^{\omega}(t-x+1)\cdot D_{t}=\sum_{t=1}^{\omega -x+1}t\cdot D_{t+x-1}\label{eq68}\tag{3}\mbox{，}
\end{align}
可知(\ref{eq492})式及(\ref{eq67})式是相等的。
根據基本型生存年金頁之(40)式，亦可得
\begin{align*}
\frac{d}{di}a_{x} & =-\frac{v}{D_{x}}\cdot\sum_{t=x}^{\omega -1}(t-x+1)\cdot D_{t+1}\\
& =-\frac{v}{D_{x}}\cdot\sum_{t=x+1}^{\omega}[t-(x+1)+1]\cdot D_{t}=-\frac{v}{D_{x}}\cdot S_{x+1}\mbox{ (根據(\ref{eq68})式)}\\
& =-v\cdot (Ia)_{x}\mbox{ (根據(\ref{eq67})式)}\mbox{。}
\end{align*}
接著，考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推至終身，則
\[\mbox{年金現值}=\Lambda\cdot {}_{1}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots +
(\omega -x)\cdot\Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}=\Lambda\cdot (Ia)_{x}\mbox{。}\]
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年末給付年金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，第 \(t+1\)年末給付年金 \(\Lambda +t\cdot\lambda\)元，如此繼續下去至終身。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元至身故，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{0|}a_{x}=\Lambda\cdot a_{x}\)
- 延期 \(1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{1|}a_{x}\)
- 延期 \(2\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{2|}a_{x}\)
- 依此類推，延期 \(t\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{t|}a_{x}\)
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{0|}a_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{\omega -x-1}{}_{t|}a_{x}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}a_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}a_{x}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x}+\lambda\cdot (Ia)_{x}\mbox{。}\label{eq111}\tag{4}
\end{align}
例題. 假設被保險人於 \(30\)歲時投保年末給付之遞增型終身生存年金保險。其保單契約約定於每年末給付年金依次為 \(250\)元、 \(260\)元、 \(270\)元，依此類推，每年增加 \(10\)元。則 \(\Lambda=250\)及 \(\lambda=10\)，因此其
\[\mbox{年金現值}=240\cdot a_{30}+10\cdot (Ia)_{30}=240\cdot a_{30}+10\cdot\frac{S_{31}}{D_{30}}\mbox{。}\]
經查表後，可得其實際數值。
年初給付.
假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(1\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(2\)元，如此類推至終身，則其現值以符號 \((I\ddot{a})_{x}\)表示且計算式為
\[(I\ddot{a})_{x}={}_{0}E_{x}+2\cdot {}_{1}E_{x}+\cdots +3\cdot {}_{2}E_{x}+
(\omega -x)\cdot {}_{\omega -x-1}E_{x}=\sum_{t=1}^{\omega -x}t\cdot {}_{t-1}E_{x}
=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{\omega -x}t\cdot D_{x+t-1}\mbox{。}\]
同理，參考(\ref{eq67})式，亦可由另一觀點來推出 \((I\ddot{a})_{x}\)之計算式為
\[(I\ddot{a})_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}
\frac{N_{x+t}}{D_{x}}=\frac{S_{x}}{D_{x}}\mbox{。}\]
事實上，由基本型生存年金頁之(6)式知 \(N_{\omega}=0\)。
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推至終身，則
\[\mbox{年金現值}=\Lambda\cdot {}_{0}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{1}E_{x}+\cdots +
(\omega -x)\cdot\Lambda\cdot {}_{\omega -x-1}E_{x}=\Lambda\cdot (I\ddot{a})_{x}\mbox{。}\]
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年初給付年金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，第 \(t+1\)年初給付年金 \(\Lambda +t\cdot\lambda\)元，如此繼續下去至終身，則其
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{0|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{\omega -x-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot (I\ddot{a})_{x}\mbox{。}
\end{align*}
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
遞增型定期生存年金現值.
遞增型之 \(n\)年定期生存年可分為年末給付與年初給付。
年末給付.
假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(1\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(2\)元，如此類推，至第 \(n\)年末給付 \(n\)元為止，則其現值以符號 \((Ia)_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\[(Ia)_{x:n\!\rceil}={}_{1}E_{x}+2\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots +n\cdot {}_{n}E_{x}=\sum_{t=1}^{n}t\cdot {}_{t}E_{x}
=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{n}t\cdot D_{x+t}\mbox{。}\]
亦可由另一觀點來推出 \((Ia)_{x:n\!\rceil}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n\)年，其現值為 \({}_{0|}a_{x:n\!\rceil}=a_{x:n\!\rceil}\)
- 延期 \(1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n-1\)年，其現值為 \({}_{1|}a_{x:n-1\!\rceil}\)
- 依此類推，延期 \(t\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n-t\)年，其現值為 \({}_{t|}a_{x:n-t\!\rceil}\)
- 最後，延期 \(n-1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(1\)年，其現值為 \({}_{n-1|}a_{x:1\!\rceil}\)
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label{eq102}}\tag{5}
(Ia)_{x:n\!\rceil}=\sum_{t=0}^{n-1}{}_{t|}a_{x:n-t\!\rceil}=\sum_{t=0}^{n-1}
\frac{N_{x+t+1}-N_{x+n+1}}{D_{x}}=\frac{S_{x+1}-S_{x+n+1}-n\cdot N_{x+n+1}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推，至第 \(n\)年末給付 \(n\cdot\Lambda\)元為止，則
\[\mbox{年金現值}=\Lambda\cdot {}_{1}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots +
n\cdot\Lambda\cdot {}_{n}E_{x}=\Lambda\cdot (Ia)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年末給付年金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(n\)年末給付年金 \(\Lambda +(n-1)\cdot\lambda\)元為止。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元，共給付 \(n\)年，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{0|}a_{x:n\!\rceil}=\Lambda\cdot a_{x:n\!\rceil}\)
- 延期 \(1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(n-1\)年，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{1|}a_{x:n-1\!\rceil}\)
- 依此類推，延期 \(t\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(n-t\)年，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{t|}a_{x:n-t\!\rceil}\)
- 最後，延期 \(n-1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(1\)年，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{n-1|}a_{x:1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n-1}{}_{t|}a_{x:n-t\!\rceil}
=(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{n-1}{}_{t|}a_{x:n-t\!\rceil}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (Ia)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq113}\tag{6}
\end{align}
年初給付.
假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(1\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(2\)元，如此類推，至第 \(n\)年初給付 \(n\)元為止，而其現值以符號 \((I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\[(I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}={}_{0}E_{x}+2\cdot {}_{1}E_{x}+\cdots +n\cdot {}_{n-1}E_{x}=\sum_{t=1}^{n}t\cdot {}_{t-1}E_{x}
=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{n}t\cdot D_{x+t-1}\mbox{。}\]
同理，參考(\ref{eq102})式，亦可由另一觀點來推出 \((I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)之計算式為
\[(I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}=\sum_{t=0}^{n-1}\ddot{a}_{x+t:n-t\!\rceil}
=\sum_{t=0}^{n-1}\frac{N_{x+t}-N_{x+n}}{D_{x}}=\frac{S_{x}-S_{x+n}-n\cdot N_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}\]
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推，至第 \(n\)年初給付 \(n\cdot\Lambda\)元為止，則
\[\mbox{年金現值}=\Lambda\cdot {}_{0}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{1}E_{x}+\cdots +
n\cdot\Lambda\cdot {}_{n-1}E_{x}=\Lambda\cdot (I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年初給付年金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(n\)年初給付年金 \(\Lambda +(n-1)\cdot\lambda\)元為止，則其
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x:n-t\!\rceil}
=(\Lambda -\lambda)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{n-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x:n-t\!\rceil}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
一般情形.
假設被保險人現年 \(x\)歲，於該歲開始之 \(n\)年定期生存年金依次為 \(\Lambda_{1}\), \(\Lambda_{2}\), \(\cdots\), \(\Lambda_{n}\)元且滿足
\[\Lambda_{1}<\Lambda_{2}<\cdots <\Lambda_{n}\mbox{。}\]
- 如保單契約約定年末給付年金，則其現值為
\begin{equation}{\label{eq63}}\tag{7}
\mbox{年金現值}=\Lambda_{1}\cdot {}_{1}E_{x}+\Lambda_{2}\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots +
\Lambda_{n}\cdot {}_{n}E_{x}=\sum_{t=1}^{n}\Lambda_{t}\cdot {}_{t}E_{x}
=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{n}\Lambda_{t}\cdot D_{x+t}\mbox{。}
\end{equation} - 如保單契約約定年初給付年金，則其現值為
\begin{equation}{\label{eq64}}\tag{8}
\mbox{年金現值}=\Lambda_{1}\cdot {}_{0}E_{x}+\Lambda_{2}\cdot {}_{1}E_{x}+\cdots +
\Lambda_{n}\cdot {}_{n-1}E_{x}=\sum_{t=0}^{n-1}\Lambda_{t}\cdot {}_{t}E_{x}
=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{n-1}\Lambda_{t}\cdot D_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
例題. 假設被保險人於 \(30\)歲時投保 \(6\)年期之定期生存年金保險。其保單契約約定於每年末給付年金依次為 \(250\)元、 \(300\)元、 \(350\)元、 \(400\)元、 \(450\)元、 \(500\)元。則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =250\cdot {}_{1}E_{30}+300\cdot {}_{2}E_{30}+350\cdot {}_{3}E_{30}
+450\cdot {}_{4}E_{30}+450\cdot {}_{5}E_{30}+500\cdot {}_{6}E_{30}\\
& =\frac{50}{D_{30}}\cdot\left (5\cdot D_{31}+6\cdot D_{32}+7\cdot D_{33}+8\cdot D_{34}+9\cdot D_{35}+10\cdot D_{36}\right )
\end{align*}
若保單契約改為每年初給付年金，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =250\cdot {}_{0}E_{30}+300\cdot {}_{1}E_{30}+350\cdot {}_{2}E_{30}
+400\cdot {}_{3}E_{30}+450\cdot {}_{4}E_{30}+500\cdot {}_{5}E_{30}\\
& =\frac{50}{D_{30}}\cdot\left (5\cdot D_{30}+6\cdot D_{31}+7\cdot D_{32}+8\cdot D_{33}+9\cdot D_{34}+10\cdot D_{35}\right )
\end{align*}
經查表後，可得其實際數值。 \(\sharp\)
\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}
遞增型之延期終身生存年金現值.
遞增型延期 \(m\)年之終身生存年金可分為年末給付與年初給付。
年末給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(1\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(2\)元，如此類推至終身，而其現值以符號 \({}_{m|}(Ia)_{x}\)表示且計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(Ia)_{x} & ={}_{m+1}E_{x}+2\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots +(\omega -x-m)\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{\omega -x-m}t\cdot {}_{m+t}E_{x}=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{\omega -x-m}t\cdot D_{m+x+t}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(Ia)_{x}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{m|}a_{x}\)
- 延期 \(m+1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{m+1|}a_{x}\)
- 延期 \(m+2\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{m+2|}a_{x}\)
- 依此類推，延期 \(m+t\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{m+t|}a_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label{eq104}}\tag{9}
{}_{m|}(Ia)_{x}=\sum_{t=m}^{\omega -x-1}{}_{t|}a_{x}=\sum_{t=m}^{\omega -x-1}
\frac{N_{x+t+1}}{D_{x}}=\frac{S_{x+m+1}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設投保人於 \(m\)年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推至終身，則其
\[\mbox{年金現值}=\Lambda\cdot {}_{m+1}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots +
(\omega -x-m)\cdot \Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}=\Lambda\cdot {}_{m|}(Ia)_{x}\mbox{。}\]
(ii) 第二種情形，假設投保人於 \(m\)年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(m+3\)年末給付年金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，第 \(m+t+1\)年末給付年金 \(\Lambda+t\cdot\lambda\)元，如此繼續下去至終身。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x}\)
- 延期 \(m+1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+1|}a_{x}\)
- 延期 \(m+2\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+2|}a_{x}\)
- 依此類推，延期 \(m+t\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+t|}a_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=m+1}^{\omega -x-1}{}_{t|}a_{x}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=m}^{\omega -x-1}{}_{t|}a_{x}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(Ia)_{x}\mbox{。}\label{eq114}\tag{10}
\end{align}
年初給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年初(即 \(m\)年末)給付年金 \(1\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(2\)元，如此類推至終身，而其現值以符號 \({}_{m|}(I\ddot{a})_{x}\)表示且計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I\ddot{a})_{x} & ={}_{m}E_{x}+2\cdot {}_{m+1}E_{x}+\cdots +(\omega -x-m+1)\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{\omega -x-m+1}t\cdot {}_{t}E_{x}=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{\omega -x-m+1}t\cdot D_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
參考(\ref{eq104})式，亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(I\ddot{a})_{x}\)之計算式為
\[{}_{m|}(I\ddot{a})_{x}=\sum_{t=m}^{\omega -x-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x}
=\sum_{t=m}^{\omega -x-1}\frac{N_{x+t}}{D_{x}}=\frac{S_{x+m}}{D_{x}}\mbox{。}\]
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設投保人於 \(m\)年後仍然生存者，保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推至終身，則其
\[\mbox{年金現值}=\Lambda\cdot {}_{m}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{m+1}E_{x}+\cdots +
(\omega -x-m+1)\cdot \Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}=\Lambda\cdot {}_{m|}(I\ddot{a})_{x}\mbox{。}\]
(ii) 第二種情形，假設投保人於 \(m\)年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(m+3\)年初給付年金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，第 \(m+t+1\)年初給付年金 \(\Lambda +t\cdot\lambda\)元，如此繼續下去至終身，參考(\ref{eq114})式，則其
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=m+1}^{\omega -x-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=m}^{\omega -x-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I\ddot{a})_{x}\mbox{。}
\end{align*}
\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}
遞增型之延期定期生存年金現值.
遞增型延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生存年金現值可分為年末給付與年初給付。
年末給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(1\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(2\)元，如此類推，直到第 \(n+m\)年末給付 \(n\)元為止，而其現值以符號 \({}_{m|}(Ia)_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\[{}_{m|}(Ia)_{x:n\!\rceil}={}_{m+1}E_{x}+2\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots +
n\cdot {}_{m+n}E_{x}=\sum_{t=1}^{n}t\cdot {}_{m+t}E_{x}=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{n}t\cdot D_{x+m+t}\mbox{。}\]
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(Ia)_{x:n\!\rceil}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n\)年，其現值為 \({}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)
- 延期 \(m+1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n-1\)年，其現值為 \({}_{m+1|}a_{x:n-1\!\rceil}\)
- 依此類推，延期 \(m+t\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n-t\)年，其現值為 \({}_{m+t|}a_{x:n-t\!\rceil}\)
- 最後，延期 \(m+n-1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(1\)年，其現值為 \({}_{m+n-1|}a_{x:1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
{}_{m|}(Ia)_{x:n\!\rceil} & =\sum_{t=0}^{n-1}{}_{m+t|}a_{x:n-t\!\rceil}
=\sum_{t=0}^{n-1}\frac{N_{x+m+t+1}-N_{x+m+n+1}}{D_{x}}\nonumber\\
& =\frac{S_{x+m+1}-S_{x+m+n+1}-n\cdot N_{x+m+n+1}}{D_{x}}\mbox{。}\label{eq105}\tag{11}
\end{align}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設投保人於 \(m\)年後仍然生存者，保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推，直到第 \(m+n\)年末給付 \(n\cdot\Lambda\)元為止，則
\[\mbox{年金現值}=\Lambda\cdot {}_{m+1}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots +
(\omega -x)\cdot\Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}=\Lambda\cdot {}_{m|}(Ia)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
(ii) 第二種情形，假設投保人於 \(m\)年後仍然生存者，保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(m+t\)年末給付年金 \(\Lambda +(t-1)\cdot\lambda\)元，如此類推，直到第 \(m+n\)年末給付 \(\Lambda +(n-1)\cdot\lambda\)元為止。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元，共給付 \(n\)年，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)
- 延期 \(m+1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(n-1\)年，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+1|}a_{x:n-1\!\rceil}\)
- 依此類推，延期 \(m+t\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(n-t\)年，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+t|}a_{x:n-t\!\rceil}\)
- 最後，延期 \(m+n-1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(1\)年，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+n-1|}a_{x:1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n-1}{}_{m+t|}a_{x:n-t\!\rceil}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{n-1}{}_{m+t|}a_{x:n-t\!\rceil}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot {}_{m|}(Ia)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq115}\tag{12}
\end{align}
年初給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年初(即第 \(m\)年末)給付年金 \(1\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(2\)元，如此類推，直到第 \(m+n\)年初給付 \(n\)元為止，而其現值以符號 \({}_{m|}(I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\[{}_{m|}(I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}={}_{m}E_{x}+2\cdot {}_{m+1}E_{x}+\cdots +
n\cdot {}_{m+n-1}E_{x}=\sum_{t=0}^{n-1}t\cdot {}_{m+t}E_{x}
=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{n-1}t\cdot D_{x+m+t}\mbox{。}\]
參考(\ref{eq105})式，亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)之計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I\ddot{a})_{x:n\!\rceil} & =\sum_{t=0}^{n-1}{}_{m+t|}\ddot{a}_{x:n-t\!\rceil}
=\sum_{t=0}^{n-1}\frac{N_{x+m+t}-N_{x+m+n}}{D_{x}}\\
& =\frac{S_{x+m}-S_{x+m+n}-n\cdot N_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設投保人於 \(m\)年後仍然生存者，保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推，直到第 \(m+n\)年初給付 \(n\cdot\Lambda\)元為止，則
\[\mbox{年金現值}=\Lambda\cdot {}_{m+1}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots +
(\omega -x)\cdot\Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}=\Lambda\cdot {}_{m|}(I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
(ii) 第二種情形，假設投保人於 \(m\)年後仍然生存者，保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(m+t\)年初給付年金 \(\Lambda +(t-1)\cdot\lambda\)元，如此類推，直到第 \(m+n\)初末給付 \(\Lambda +(n-1)\cdot\lambda\)元為止，參考(\ref{eq115})式，則其
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n-1}{}_{m+t|}\ddot{a}_{x:n-t\!\rceil}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{n-1}{}_{m+t|}\ddot{a}_{x:n-t\!\rceil}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
