Andreas Achenbach (1815-1910) 德國畫家。
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變額型人壽保險係指保險金將隨著給付時間之演進而有所改變，並不是維持在一固定數額的人壽保險金。此類型之保險，可針對投保人之需求，選擇各種不同隨著時間演進，給付不同保險金之保單來符合其自身之狀況。例如，對於負擔一家生計之投保人，假設在英年時期，因擔憂其家庭經濟基礎尚未建立而有所意外，他可能就較需要變額型人壽保險，以期在意外發生時，能使其家庭免於陷入困境。因此他就可能投保遞增型人壽保險。另外，例如某投保人覺得他不斷努力之後，在老年時已經儲備好該有之經濟基礎，因此就不太需要高額保險來預防意外對其家庭之衝擊，這樣他可能會選擇遞減型人壽保險。
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
遞增型之終身壽險.
遞增型之終身壽險可分為年末給付與即刻給付。
年末給付.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保終身壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至被保險人身故。被保險人之總給付現值以符號 \((IA)_{x}\)表示，接著，將依現值收支平衡原則來推導 \((IA)_{x}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \((IA)_{x}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot (IA)_{x}\)，而總保險金支出現值為
\[v\cdot d_{x}+2\cdot v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots+(\omega -x)\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot (IA)_{x}=v\cdot d_{x}+2\cdot v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots
+(\omega -x)\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq155}}\tag{1}
(IA)_{x}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}(t+1)\cdot v^{t+1}\cdot d_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因為 \({}_{t|}q_{x}=d_{x+t}/l_{x}\)，由基本型生存年金頁之(4)式知，亦可得另一計算式為
\[(IA)_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}(t+1)\cdot v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}\mbox{。}\]
由(\ref{eq155})式，亦可知
\begin{align*}
(IA)_{x} & =\frac{1}{v^{x}\cdot l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}(t+1)\cdot v^{x+t+1}\cdot d_{x+t}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}(t+1)\cdot C_{x+t}=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}M_{x+t}
=\frac{R_{x}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \((IA)_{x}\)之計算式，考慮下面之情形:
- 投保終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \(A_{x}={}_{0|}A_{x}\)
- 投保延期 \(1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{1|}A_{x}\)
- 投保延期 \(2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{2|}A_{x}\)
- 依此類推，投保延期 \(t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{t|}A_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label{eq160}}\tag{2}
(IA)_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}\frac{M_{x+t}}{D_{x}}=\frac{R_{x}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設身故保險金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)內之當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年內之當年末給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，第 \(t\)年內之當年末給付身故保險金 \(t\cdot\Lambda\)元，每年增加 \(\lambda\)元保險金至被保險人身故，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot (IA)_{x}\)。
(ii) 第二種情形，假設身故保險金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)內之當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年內之當年末給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年內之當年末給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，第 \(t\)年內之當年末給付身故保險金 \(\Lambda +(t-1)\cdot\lambda\)元。每年增加 \(\lambda\)元保險金至被保險人身故。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 投保終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，可知其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{0|}A_{x}\)
- 投保延期 \(1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，可知其現值為 \(\lambda\cdot {}_{1|}A_{x}\)
- 投保延期 \(2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，可知其現值為 \(\lambda\cdot {}_{2|}A_{x}\)
- 依此類推，投保延期$t$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，可知其現值為 \(\lambda\cdot {}_{t|}A_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{0|}A_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}A_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}A_{x}+\lambda\cdot (IA)_{x}\mbox{。}
\end{align*}
即刻給付.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保終身壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司即刻給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司即刻給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至被保險人身故。被保險人之總給付現值以符號 \((I\bar{A})_{x}\)表示。接著，推導 \((I\bar{A})_{x}\)之計算式。為方便討論，假設被保險人於 \(x\)歲時之當年初投保終身壽險。若將每一年分成 \(r\)期，則被保險人自 \(x\)歲起至身故，共可分成 \(r\cdot (\omega -x)\)期。被保險人之總給付現值以符號 \((IA)_{x}^{(r)}\)表示，將依現值收支平衡原則來推導 \((IA)_{x}^{(r)}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \((IA)_{x}^{(r)}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。而總保險金支出現值可分為下列情形:
- 被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(1\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[v^{\frac{1}{r}}\cdot d_{x}+v^{\frac{2}{r}}\cdot d_{x+\frac{1}{r}}+\cdots+v\cdot d_{x+\frac{r-1}{r}}=\sum_{t=0}^{r-1}
\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{，}\]
其中 \([\![\cdot ]\!]\)表高斯函數。 - 被保險人若於契約生效後第 \(2\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(2\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[2\cdot\left (v^{1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+1}+v^{1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+1+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{2}\cdot d_{x+1+\frac{r-1}{r}}\right )=\sum_{t=r}^{2r-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\] - 被保險人若於契約生效後第 \(3\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(3\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[3\cdot\left (v^{2+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+2}+v^{2+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+2+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{3}\cdot d_{x+2+\frac{r-1}{r}}\right )=\sum_{t=2r}^{3r-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\] - 被保險人若於契約生效後第 \(h\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(h\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\begin{align*}
& h\cdot\left (v^{h-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+h-1}+v^{h-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+h-1+\frac{1}{r}}+\cdots +
v^{h}\cdot d_{x+h-1+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& \quad =\sum_{t=r\cdot (h-1)}^{r\cdot h-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}
\end{align*} - 最後，被保險人若於契約生效後第 \(\omega -x\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(\omega -x\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\begin{align*}
& \left (\omega -x\right )\cdot\left (v^{\omega -x-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{\omega -1}+v^{\omega -x-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{\omega -1+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& \quad =\sum_{t=r\cdot (\omega -x-1)}^{r\cdot (\omega -x)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}
\end{align*}
因此，總保險金支出現值為上述之和
\[\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot (IA)_{x}^{(r)}=\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]
\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align*}
(IA)_{x}^{(r)} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]
\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot
\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
當 \(r\)趨近於無窮大時，則現值 \((IA)_{x}^{(r)}\)之極限值就趨近即刻給付的現值 \((I\bar{A})_{x}\)，所以可得
\begin{equation}{\label{eq90}}\tag{3}
(I\bar{A})_{x}=\lim_{r\rightarrow\infty}(IA)_{x}^{(r)}=\lim_{r\rightarrow\infty}\left\{-\frac{1}{l_{x}}\cdot
\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot
\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )\right\}\mbox{。}
\end{equation}
令 \(N=r\cdot (\omega -x)\)。因此，可考慮將區間 \([0,\omega -x]\)分成 \(N\)等份。此時可將下式視為黎曼-史提捷斯和:
\[\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )=\sum_{s=0}^{N-1}\left [\!\!\left [1+\frac{s}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{s+1}{r}}\cdot
\left (l_{x+\frac{s+1}{r}}-l_{x+\frac{s}{r}}\right )\mbox{。}\]
事實上，上式為黎曼-史提捷斯下和。因為 \(v<1\)，所以函數 \([\![1+t]\!]\cdot v^{t}\)在子區間 \([\frac{s}{r},\frac{s+1}{r}]\)中之最小值為 \([\![1+\frac{s}{r}]\!]\cdot v^{\frac{s+1}{r}}\)。當 \(r\)趨近於無窮大時，則 \(N\)亦趨近於無窮大，因此可得黎曼-史提捷斯積分為
\begin{align*}
& \lim_{r\rightarrow\infty}\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot
\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )\\
& \quad =\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N-1}\left [\!\!\left [1+\frac{s}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{s+1}{r}}\cdot
\left (l_{x+\frac{s+1}{r}}-l_{x+\frac{s}{r}}\right )=\int_{0}^{\omega -x}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
由(\ref{eq90})式可得
\begin{equation}{\label{eq91}}\tag{4}
(I\bar{A})_{x}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{0}^{\omega -x}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因為
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{，}\]
由(\ref{eq91})式可推出 \((I\bar{A})_{x}\)之計算式為
\begin{align}
(I\bar{A})_{x} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{0}^{\omega -x}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\nonumber\\
& =\int_{0}^{\omega -x}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{0}^{\omega -x}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\nonumber\\
& =\sum_{h=0}^{\omega -x-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\label{eq494}\tag{5}
\end{align}
由利息與確定年金頁之(4)式可知
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{，}\]
因此 \(v^{t}=e^{-\delta t}\)，如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \((I\bar{A})_{x}\)亦可寫成
\[(I\bar{A})_{x}=\int_{0}^{\omega -x}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
=\sum_{h=0}^{\omega -x-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
另外，亦可得
\begin{align*}
(I\bar{A})_{x} & =\frac{1}{v^{x}\cdot l_{x}}\cdot\int_{0}^{\omega -x}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\frac{1}{v^{x}\cdot l_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{\omega -x-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
也可寫成
\begin{align}
(I\bar{A})_{x} & =\frac{1}{D_{x}}\cdot\int_{0}^{\omega -x}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{x+t}\cdot l_{t+x}
\cdot\mu_{t+x}dt\nonumber\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{\omega -x-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}
v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\label{eq93}\tag{6}
\end{align}
由基本型人壽保險金頁之(23)式可知
\[\bar{M}_{x+h}=\int_{0}^{\omega -x-h}v^{x+h+t}\cdot l_{x+h+t}\cdot\mu_{x+h+t}dt
=\int_{h}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{，}\]
因此可得
\begin{align*}
\sum_{h=0}^{\omega -x-1}\bar{M}_{x+h} & =\int_{0}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt
+\int_{1}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& \quad +\int_{2}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt+\cdots
+\int_{\omega -x-1}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\int_{0}^{1}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt+2\cdot\int_{1}^{2}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& \quad +3\cdot\int_{2}^{3}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt+\cdots +
(\omega -x)\cdot\int_{\omega -x-1}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\sum_{h=0}^{\omega -x-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
最後，由(\ref{eq93})式可知
\[(I\bar{A})_{x}=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{\omega -x-1}\bar{M}_{x+h}=\frac{\bar{R}_{x}}{D_{x}}\mbox{。}\]
亦可由另一觀點來推出 \((I\bar{A})_{x}\)之計算式，考慮下面之情形:
- 投保終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{0|}\bar{A}_{x}=\bar{A}_{x}\)
- 投保延期 \(1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{1|}\bar{A}_{x}\)
- 投保延期 \(2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{2|}\bar{A}_{x}\)
- 依此類推，投保延期 \(t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{t|}\bar{A}_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\[(I\bar{A})_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}\bar{A}_{x}\mbox{。}\]
依據基本型人壽保險金頁之(24)式，則可得
\[(I\bar{A})_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}\frac{\bar{M}_{x+t}}{D_{x}}=\frac{\bar{R}_{x}}{D_{x}}\mbox{。}\]
考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，假設身故保險金給付情形為被保險人於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，於第 \(2\)年內身故，則保險公司即刻給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至被保險人身故，則上述之推導過程皆 \(\Lambda\)倍即可，因此被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot (I\bar{A})_{x}\)。
第二種情形，身故保險金給付情形為保單契約生效後若第 \(1\)內(當年內)身故，則保險公司即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司即刻給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(3\)年內身故，則保險公司即刻給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，若於第 \(h\)年內身故，則保險公司即刻給付身故保險金 \(\Lambda +(h-1)\cdot\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\lambda\)元保險金至被保險人身故為止，其被保險人之總給付現值以符號 \((GI\bar{A})_{x}\)表示。為方便討論，假設被保險人於 \(x\)歲時之當年初投保終身壽險。將每一年分成 \(r\)期，所以被保險人自 \(x\)歲起至身故，共可分成 \(r\cdot (\omega -x)\)期。被保險人之總給付現值以符號 \((GIA)_{x}^{(r)}\)表示。
假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \((GIA)_{x}^{(r)}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。而總保險金支出現值可分為下列情形:
- 被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(\Lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[\Lambda\cdot\left (v^{\frac{1}{r}}\cdot d_{x}+v^{\frac{2}{r}}\cdot d_{x+\frac{1}{r}}
+\cdots +v\cdot d_{x+\frac{r-1}{r}}\right )\mbox{。}\]
令
\[\Gamma_{r}^{(1)}=v^{\frac{1}{r}}\cdot d_{x}+v^{\frac{2}{r}}\cdot d_{x+\frac{1}{r}}+\cdots +v\cdot d_{x+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，因為 \(d_{x+\frac{t}{r}}=l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\)，依據之前推導過程，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(1)} & =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{\frac{1}{r}}\cdot d_{x}+v^{\frac{2}{r}}
\cdot d_{x+\frac{1}{r}}+\cdots +v\cdot d_{x+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& =-\int_{0}^{1}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*} - 被保險人若於契約生效後第 \(2\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[(\Lambda +\lambda)\cdot\left (v^{1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+1}
+v^{1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+1+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{2}\cdot d_{x+1+\frac{r-1}{r}}\right )\]
令
\[\Gamma_{r}^{(2)}=v^{1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+1}+v^{1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+1+\frac{1}{r}}+\cdots
+v^{2}\cdot d_{x+1+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(2)} & =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+1}
+v^{1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+1+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{2}\cdot d_{x+1+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& =-\int_{1}^{2}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*} - 被保險人若於契約生效後第 \(3\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[(\Lambda +2\lambda)\cdot\left (v^{2+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+2}+
v^{2+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+2+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{3}\cdot d_{x+2+\frac{r-1}{r}}\right )\]
令
\[\Gamma_{r}^{(3)}=v^{2+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+2}+v^{2+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+2+\frac{1}{r}}+\cdots
+v^{3}\cdot d_{x+2+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(3)}& =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{2+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+2}+
v^{2+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+2+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{3}\cdot d_{x+2+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& =-\int_{2}^{3}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*} - 被保險人若於契約生效後第 \(h+1\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(\Lambda +h\cdot\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot\left (v^{h+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+h}
+v^{h+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+h+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{h+1}\cdot d_{x+h+\frac{r-1}{r}}\right )\]
令
\[\Gamma_{r}^{(h+1)}=v^{h+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+h}+v^{h+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+h+\frac{1}{r}}+\cdots +
v^{h+1}\cdot d_{x+h+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(h+1)} & =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{h+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+h}
+v^{h+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+h+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{h+1}\cdot d_{x+h+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& =-\int_{h}^{h+1}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*} - 最後，被保險人若於契約生效後第 \(\omega -x\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(\Lambda +(\omega -x-1)\cdot\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[\left (\Lambda +(\omega -x-1)\cdot\lambda\right )\cdot\left (v^{\omega -x-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{\omega -1}
+v^{\omega -x-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{\omega -1+\frac{1}{r}}+\cdots
+v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1+\frac{r-1}{r}}\right )\]
令
\[\Gamma_{r}^{(\omega -x)}=v^{\omega -x-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{\omega -1}
+v^{\omega -x-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{\omega -1+\frac{1}{r}}+\cdots
+v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(\omega -x)}
& =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{\omega -x-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{\omega -1}
+v^{\omega -x-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{\omega -1+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& =-\int_{\omega -x-1}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
因此，總保險金支出現值為上述之和，即
\[\sum_{h=0}^{\omega -x-1}(\Lambda +h\cdot\lambda )\cdot\Gamma_{r}^{(h+1)}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot (GIA)_{x}^{(r)}=\sum_{h=0}^{\omega -x-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot\Gamma_{r}^{(h+1)}\mbox{。}\]
因此可解得
\[(GIA)_{x}^{(r)}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{\omega -x-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot\Gamma_{r}^{(h+1)}\mbox{。}\]
當 \(r\)趨近於無窮大時，則現值 \((GIA)_{x}^{(r)}\)之極限值就趨近即刻給付的現值 \((GI\bar{A})_{x}\)，所以可得
\begin{align}
(GI\bar{A})_{x} & =\lim_{r\rightarrow\infty}(GIA)_{x}^{(r)}
=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{\omega -x-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(h+1)}\right )\nonumber\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{\omega -x-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}dl_{x+t}\right )\mbox{。}\label{eq94}\tag{7}
\end{align}
因為
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{，}\]
由(\ref{eq94})式可推出 \((GI\bar{A})_{x}\)之計算式為
\begin{align*}
(GI\bar{A})_{x} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{\omega -x-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& =\sum_{h=0}^{\omega -x-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\mbox{。}
\end{align*}
由利息與確定年金頁之(4)式可知
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{。}\]
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \((GI\bar{A})_{x}\)亦可寫成
\[(GI\bar{A})_{x}=\sum_{h=0}^{\omega -x-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\mbox{。}\]
另外，由基本型人壽保險金頁之(11)式，亦可寫成
\begin{align*}
(GI\bar{A})_{x} & =\sum_{h=0}^{\omega -x-1}[(\Lambda -\lambda)+\lambda\cdot (h+1)]
\cdot\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& =(\Lambda -\lambda )\cdot\sum_{h=0}^{\omega -x-1}\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )
+\lambda\cdot\sum_{h=0}^{\omega -x-1}(h+1)\cdot\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& =(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{0}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}
\cdot\mu_{x+t}dt+\lambda\cdot (I\bar{A})_{x}\mbox{ (由(\ref{eq494})式及基本型人壽保險金頁之(11)式)}\\
& =(\Lambda -\lambda )\cdot\bar{A}_{x}+\lambda\cdot (I\bar{A})_{x}=(\Lambda -\lambda )\cdot\frac{\bar{M}_{x}}{D_{x}}
+\lambda\cdot\frac{\bar{R}_{x}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \((GI\bar{A})_{x}\)之計算式，考慮下面之情形:
- 投保終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\cdot {}_{0|}\bar{A}_{x}=\Lambda\cdot\bar{A}_{x}\)
- 投保延期 \(1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，可知其現值為 \(\lambda\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x}\)
- 投保延期 \(2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，可知其現值為 \(\lambda\cdot {}_{2|}\bar{A}_{x}\)
- 依此類推，投保延期 \(t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，可知其現值為 \(\lambda\cdot {}_{t|}\bar{A}_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
(GI\bar{A})_{x} & =\Lambda\cdot {}_{0|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{\omega -x-1}{}_{t|}\bar{A}_{x}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}\bar{A}_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot\bar{A}_{x}+\lambda\cdot (I\bar{A})_{x}\mbox{。}
\end{align*}
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
遞增型之定期壽險.
遞增型之 \(n\)年定期壽險可分為年末給付與即刻給付。
年末給付.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保遞增型之 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(n\)年為止，以後不再給付。被保險人之總給付現值以符號 \((IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示，接著，將依現值收支平衡原則來推導 \((IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \((IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\)，而總保險金支出現值為
\[v\cdot d_{x}+2\cdot v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots+n\cdot v^{n}\cdot d_{x+n-1}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}=v\cdot d_{x}+2\cdot v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots+n\cdot v^{n}\cdot d_{x+n-1}\mbox{。}\]
因此可解得
\[(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{n-1}(t+1)\cdot v^{t+1}\cdot d_{x+t}\mbox{。}\]
因為 \({}_{t|}q_{x}=d_{x+t}/l_{x}\)由基本型生存年金頁之(4)式知，亦可得另一計算式為
\[(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}=\sum_{t=0}^{n-1}(t+1)\cdot v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}\mbox{。}\]
亦可由另一觀點來推出 \((IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 投保 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \(A_{x:n\!\rceil}^{1}={}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)
- 投保延期 \(1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
- 依此類推，投保延期 \(t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
- 最後，投保延期 \(n-1\)年之 \(1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{n-1|}A_{x:1\!\rceil}^{1}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label{eq161}}\tag{8}
(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}=\sum_{t=0}^{n-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}=\sum_{t=0}^{n-1}\frac{M_{x+t}-M_{x+n}}{D_{x}}
=\frac{R_{x}-R_{x+n}-n\cdot M_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第 \(n\)年為止，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\)。
(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(3\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\lambda\)元保險金至第 \(n\)年為止。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 投保 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}=\Lambda\cdot {}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)
- 投保延期 \(1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
- 依此類推，投保延期 \(t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
- 最後，投保延期 \(n-1\)年之 \(1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{n-1|}A_{x:1\!\rceil}^{1}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n-1}{}_{t|}A_{x:n\!\rceil}^{1}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{n-1}{}_{t|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}
即刻給付.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保遞增型之 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(n\)年為止，以後不再給付。被保險人之總給付現值以符號 \((I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示。接著，將推導 \((I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算公式。考慮下面之情形:
- 投保 \(n\)年定期終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}={}_{0|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)
- 投保延期 \(1\)年之 \(n-1\)年定期終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
- 依此類推，投保延期 \(t\)年之 \(n-t\)年定期終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
- 最後，投保延期 \(n-1\)年之 \(1\)年定期終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{n-1|}\bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\[(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}=\sum_{t=0}^{n-1}{}_{t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]
依據基本型人壽保險金頁之(25)式，則可得
\[(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}=\sum_{t=0}^{n-1}{}_{t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}
=\sum_{t=0}^{n-1}\frac{\bar{M}_{x+t}-\bar{M}_{x+n}}{D_{x}}
=\frac{\bar{R}_{x}-\bar{R}_{x+n}-n\cdot\bar{M}_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}\]
另外，依據之前的方法，亦可得其積分計算公式為
\[(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}=\int_{0}^{n}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
=\sum_{h=0}^{n-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \((I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)亦可寫成
\[(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}=\int_{0}^{n}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
=\sum_{h=0}^{n-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第$n$年為止，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)。
(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(3\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\lambda\)元保險金至第 \(n\)年為止。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 投保 \(n\)年定期終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\Lambda\cdot {}_{0|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)
- 投保延期 \(1\)年之 \(n-1\)年定期終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
- 依此類推，投保延期 \(t\)年之 \(n-t\)年定期終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
- 最後，投保延期 \(n-1\)年之 \(1\)年定期終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{n-1|}\bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{0|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n-1}{}_{t|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{n-1}{}_{t|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}
另外，依據之前的方法，亦可得其積分計算公式為
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\sum_{h=0}^{n-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\mbox{。}\]
如考慮息力 \(\delta\)，則
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\sum_{h=0}^{n-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\mbox{。}\]
\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}
遞增型之延期終身壽險.
遞增型之延期$m$年終身壽險可分為年末給付與即刻給付。
年末給付.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年之終身壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至身故為止，被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(IA)_{x}\)表示，接著，將依現值收支平衡原則來推導 \({}_{m|}(IA)_{x}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \({}_{m|}(IA)_{x}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x+m\)歲起，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot {}_{m|}(IA)_{x}\)，而總保險金支出現值為
\[v^{m+1}\cdot d_{x+m}+2\cdot v^{m+2}\cdot d_{x+m+1}+\cdots
+(\omega -x-m)\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot {}_{m|}(IA)_{x}=v^{m+1}\cdot d_{x+m}+2\cdot v^{m+2}\cdot d_{x+m+1}+\cdots
+(\omega -x-m)\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}\]
因此可解得
\[{}_{m|}(IA)_{x}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=m}^{\omega -x-1}(t-m+1)\cdot v^{t+1}\cdot d_{x+t}\mbox{。}\]
因為 \({}_{t|}q_{x}=d_{x+t}/l_{x}\)由基本型生存年金頁之(4)式知，亦可得另一計算式為
\[{}_{m|}(IA)_{x}=\sum_{t=m}^{\omega -x-1}(t-m+1)\cdot v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}\mbox{。}\]
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(IA)_{x}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 投保延期 \(m\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m|}A_{x}\)
- 投保延期 \(m+1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+1|}A_{x}\)
- 投保延期 \(m+2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+2|}A_{x}\)
- 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+t|}A_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label{eq162}}\tag{9}
{}_{m|}(IA)_{x}=\sum_{t=m}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x}=\sum_{t=m}^{\omega -x-1}
\frac{M_{x+t}}{D_{x}}=\frac{R_{x+m}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至身故，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}(IA)_{x}\)。
(ii) 第二種情形，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(m+3\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\lambda\)元保險金至身故。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 投保延期 \(m\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x}\)
- 投保延期 \(m+1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+1|}A_{x}\)
- 投保延期 \(m+2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+2|}A_{x}\)
- 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+t|}A_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=m+1}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}A_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=m}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}A_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(IA)_{x}\mbox{。}
\end{align*}
即刻給付.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保遞增型延期 \(m\)年之終身壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至身故為止。為方便討論，假設被保險人於 \(x\)歲時之當年初投保終身壽險。若將每一年分成 \(r\)期，則被保險人自 \(x+m\)歲起至身故，共可分成 \(r\cdot (\omega -x-m)\)期。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(I\bar{A})_{x}\)表示，接著，將依現值收支平衡原則來推導 \({}_{m|}(I\bar{A})_{x}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \({}_{m|}(IA)_{x}^{(r)}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。而總保險金支出現值可分為下列情形:
- 被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(1\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[v^{m+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m}+v^{m+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{m+1}\cdot d_{x+m+\frac{r-1}{r}}
=\sum_{t=0}^{r-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{m+\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\mbox{。}\] - 被保險人若於契約生效後第 \(m+2\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(2\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\begin{align*}
& 2\cdot\left (v^{m+1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m+1}+v^{m+1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+1+\frac{1}{r}}+\cdots
+v^{m+2}\cdot d_{x+m+1+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& \quad =\sum_{t=r}^{2r-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{m+\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\mbox{。}
\end{align*} - 被保險人若於契約生效後第 \(m+3\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(3\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\begin{align*}
& 3\cdot\left (v^{m+2+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m+2}+v^{m+2+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+2+\frac{1}{r}}+\cdots
+v^{m+3}\cdot d_{x+m+2+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& \quad =\sum_{t=2r}^{3r-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{m+\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\mbox{。}
\end{align*} - 被保險人若於契約生效後第 \(m+h\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(h\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\begin{align*}
& h\cdot\left (v^{m+h-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m+h-1}+v^{m+h-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+h-1+\frac{1}{r}}+\cdots +
v^{m+h}\cdot d_{x+m+h-1+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& \quad =\sum_{t=r\cdot (h-1)}^{r\cdot h-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{m+\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\mbox{。}
\end{align*} - 最後，被保險人若於契約生效後第 \(\omega -x\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(\omega -x\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\begin{align*}
& \left (\omega -x\right )\cdot\left (v^{\omega -x-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{\omega -1}
+v^{\omega -x-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{\omega -1+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& \quad =\sum_{t=r\cdot (\omega -x-m-1)}^{r\cdot (\omega -x-m)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]
\cdot v^{m+\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\mbox{。}
\end{align*}
因此，總保險金支出現值為上述之和
\[\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]
\cdot v^{m+\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot {}_{m|}(IA)_{x}^{(r)}=\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]
\cdot v^{m+\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align*}
{}_{m|}(IA)_{x}^{(r)} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]
\cdot v^{m+\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{m+\frac{t+1}{r}}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{r}}-l_{x+m+\frac{t}{r}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
當 \(r\)趨近於無窮大時，則現值 \({}_{m|}(IA)_{x}^{(r)}\)之極限值就趨近即刻給付的現值 \({}_{m|}(I\bar{A})_{x}\)，所以可得
\begin{align}
{}_{m|}(I\bar{A})_{x} & =\lim_{r\rightarrow\infty}{}_{m|}(IA)_{x}^{(r)}\nonumber\\
& =\lim_{r\rightarrow\infty}\left\{-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{m+\frac{t+1}{r}}\cdot\left (l_{x+m+\frac{t+1}{r}}-l_{x+m+\frac{t}{r}}\right )\right\}
\mbox{。}\label{eq*90}\tag{10}
\end{align}
令 \(N=r\cdot (\omega -x-m)\)。因此，可考慮將區間 \([0,\omega -x-m]\)分成 \(N\)等份。此時可將下式視為黎曼-史提捷斯和:
\begin{align*}
& \sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{m+\frac{t+1}{r}}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{r}}-l_{x+m+\frac{t}{r}}\right )\\
& \quad =\sum_{s=0}^{N-1}\left [\!\!\left [1+\frac{s}{r}\right ]\!\!\right ]
\cdot v^{m+\frac{s+1}{r}}\cdot\left (l_{x+m+\frac{s+1}{r}}-l_{x+m+\frac{s}{r}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
事實上，上式為黎曼-史提捷斯下和。因為 \(v<1\)，所以函數 \([1+t]\cdot v^{t}\)在子區間 \([\frac{s}{r},\frac{s+1}{r}]\)中之最小值為 \([1+\frac{s}{r}]\cdot v^{\frac{s+1}{r}}\)。當 \(r\)趨近於無窮大時，則 \(N\)亦趨近於無窮大，因此可得黎曼-史提捷斯積分為
\begin{align*}
& \lim_{r\rightarrow\infty}\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{m+\frac{t+1}{r}}\cdot\left (l_{x+m+\frac{t+1}{r}}-l_{x+m+\frac{t}{r}}\right )\\
& \quad =\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N-1}\left [\!\!\left [1+\frac{s}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{m+\frac{s+1}{r}}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{s+1}{r}}-l_{x+m+\frac{s}{r}}\right )=\int_{0}^{\omega -x-m}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}
\mbox{。}
\end{align*}
由(\ref{eq*90})式可得
\begin{equation}{\label{eq*91}}\tag{11}
{}_{m|}(I\bar{A})_{x}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{0}^{\omega -x-m}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{m}^{\omega -x}\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因為
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{，}\]
由(\ref{eq*91})式可推出 \({}_{m|}(I\bar{A})_{x}\)之計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I\bar{A})_{x} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{m}^{\omega -x}
\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\int_{m}^{\omega -x}\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{m}^{\omega -x}\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\sum_{h=m}^{\omega -x-1}\left (h-m+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
由利息與確定年金頁之(4)式可知
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{，}\]
因此 \(v^{t}=e^{-\delta t}\)，如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \({}_{m|}(I\bar{A})_{x}\)亦可寫成
\[{}_{m|}(I\bar{A})_{x}=\int_{m}^{\omega -x}\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]\cdot e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt=\sum_{h=m}^{\omega -x-1}\left (h-m+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}
e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
另外，亦可得
\begin{align*}
{}_{m|}(I\bar{A})_{x} & =\frac{1}{v^{x}\cdot l_{x}}\cdot\int_{m}^{\omega -x}\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]\cdot v^{x+t}
\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\frac{1}{v^{x}\cdot l_{x}}\cdot\sum_{h=m}^{\omega -x-1}\left (h-m+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
也可寫成
\begin{align}
{}_{m|}(I\bar{A})_{x} & =\frac{1}{D_{x}}\cdot\int_{m}^{\omega -x}\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]\cdot v^{x+t}\cdot l_{t+x}
\cdot\mu_{t+x}dt\nonumber\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{h=m}^{\omega -x-1}\left (h-m+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}
v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\label{eq*93}\tag{12}
\end{align}
由基本型人壽保險金頁之(23)式可知
\[\bar{M}_{x+h}=\int_{0}^{\omega -x-h}v^{x+h+t}\cdot l_{x+h+t}\cdot\mu_{x+h+t}dt
=\int_{h}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{，}\]
因此可得
\begin{align*}
\sum_{h=m}^{\omega -x-1}\bar{M}_{x+h} & =\int_{m}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt
+\int_{m+1}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& \quad +\int_{m+2}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt+\cdots
+\int_{\omega -x-1}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\int_{m}^{m+1}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt
+2\cdot\int_{m+1}^{m+2}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& \quad +3\cdot\int_{m+2}^{m+3}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt+\cdots +
(\omega -x-m)\cdot\int_{\omega -x-1}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\sum_{h=m}^{\omega -x-1}\left (h-m+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
最後，由(\ref{eq*93})式可知
\[{}_{m|}(I\bar{A})_{x}=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{h=m}^{\omega -x-1}\bar{M}_{x+h}
=\frac{\bar{R}_{x+m}}{D_{x}}\mbox{。}\]
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(I\bar{A})_{x}\)之計算式，考慮下面之情形:
- 投保延期 \(m\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m|}\bar{A}_{x}\)
- 投保延期 \(m+1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+1|}\bar{A}_{x}\)
- 投保延期 \(m+2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+2|}\bar{A}_{x}\)
- 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+t|}\bar{A}_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\[{}_{m|}(I\bar{A})_{x}=\sum_{t=m}^{\omega -x-1}{}_{t|}\bar{A}_{x}
=\sum_{t=m}^{\omega -x-1}\frac{\bar{M}_{x+t}}{D_{x}}=\frac{\bar{R}_{x+m}}{D_{x}}\mbox{。}\]
考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至身故。將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x}\)。
第二種情形，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(m+3\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\lambda\)元保險金至被保險人身故，其被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(GI\bar{A})_{x}\)表示。為方便討論，假設被保險人於 \(x\)歲時之當年初投保終身壽險。將每一年分成 \(r\)期，所以被保險人自 \(x+m\)歲起至身故，共可分成 \(r\cdot (\omega -x-m)\)期。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(GIA)_{x}^{(r)}\)表示。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \({}_{m|}(GIA)_{x}^{(r)}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。而總保險金支出現值可分為下列情形:
- 被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內(當年內)中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(\Lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[\Lambda\cdot\left (v^{m+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m}+v^{m+\frac{2}{r}}\cdot
d_{x+m+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{m}\cdot d_{x+m+\frac{r-1}{r}}\right )\mbox{。}\]
令
\[{}_{m|}\Gamma_{r}^{(1)}=v^{m+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m}+v^{m+\frac{2}{r}}\cdot
d_{x+m+\frac{1}{r}}+\cdots +v\cdot d_{x+m+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{r\rightarrow\infty}{}_{m|}\Gamma_{r}^{(1)}
& =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{m+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m}+v^{m+\frac{2}{r}}
\cdot d_{x+m+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{m}\cdot d_{x+m+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& =-\int_{0}^{1}v^{m+t}dl_{x+m+t}\mbox{。}
\end{align*} - 被保險人若於契約生效後第 \(m+2\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[(\Lambda +\lambda)\cdot\left (v^{m+1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m+1}
+v^{m+1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+1+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{m+2}\cdot d_{x+m+1+\frac{r-1}{r}}\right )\]
令
\[{}_{m|}\Gamma_{r}^{(2)}=v^{m+1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m+1}
+v^{m+1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+1+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{m+2}\cdot d_{x+m+1+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{r\rightarrow\infty}{}_{m|}\Gamma_{r}^{(2)} & =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{m+1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m+1}+v^{m+1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+1+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{m+2}\cdot d_{x+m+1+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& =-\int_{1}^{2}v^{m+t}dl_{x+m+t}\mbox{。}
\end{align*} - 被保險人若於契約生效後第 \(m+3\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[(\Lambda +2\lambda)\cdot\left (v^{m+2+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m+2}+
v^{m+2+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+2+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{m+3}\cdot d_{x+m+2+\frac{r-1}{r}}\right )\]
令
\[{}_{m|}\Gamma_{r}^{(3)}=v^{m+2+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m+2}+
v^{m+2+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+2+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{m+3}\cdot d_{x+m+2+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{r\rightarrow\infty}{}_{m|}\Gamma_{r}^{(3)} & =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{m+2+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m+2}+
v^{m+2+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+2+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{m+3}\cdot d_{x+m+2+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& \quad =-\int_{2}^{3}v^{m+t}dl_{x+m+t}\mbox{。}
\end{align*} - 被保險人若於契約生效後第 \(m+h+1\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(\Lambda +h\cdot\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot\left (v^{m+h+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m+h}
+v^{m+h+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+h+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{m+h+1}\cdot d_{x+m+h+\frac{r-1}{r}}\right )\]
令
\[{}_{m|}\Gamma_{r}^{(h+1)}=v^{m+h+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m+h}
+v^{m+h+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+h+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{m+h+1}\cdot d_{x+m+h+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當$r$趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{r\rightarrow\infty}{}_{m|}\Gamma_{r}^{(h+1)} & =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{m+h+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m+h}
+v^{m+h+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+h+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{m+h+1}\cdot d_{x+m+h+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& \quad =-\int_{h}^{h+1}v^{m+t}dl_{x+m+t}\mbox{。}
\end{align*} - 最後，被保險人若於契約生效後第 \(\omega -x\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(\Lambda +(\omega -x-m-1)\cdot\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
\[\left (\Lambda +(\omega -x-m-1)\cdot\lambda\right )\cdot\left (v^{\omega -x-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{\omega -1}
+v^{\omega -x-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{\omega -1+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1\frac{r-1}{r}}\right )\]
令
\[{}_{m|}\Gamma_{r}^{(\omega -x=m)}=v^{\omega -x-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{\omega -1}
+v^{\omega -x-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{\omega -1+\frac{1}{r}}+\cdots
+v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{r\rightarrow\infty}{}_{m|}\Gamma_{r}^{(\omega -x-m)}
& =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{\omega -x-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{\omega -1}
+v^{\omega -x-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{\omega -1+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1+\frac{r-1}{r}}\right )\\
& \quad =-\int_{\omega -x-m-1}^{\omega -x-m}v^{m+t}dl_{x+m+t}\mbox{。}
\end{align*}
因此，總保險金支出現值為上述之和，即
\[\sum_{h=0}^{\omega -x-m-1}(\Lambda +h\cdot\lambda )\cdot{}_{m|}\Gamma_{r}^{(h+1)}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot {}_{m|}(GIA)_{x}^{(r)}
=\sum_{h=0}^{\omega -x-m-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot{}_{m|}\Gamma_{r}^{(h+1)}\mbox{。}\]
因此可解得
\[{}_{m|}(GIA)_{x}^{(r)}=\frac{1}{l_{x}}\cdot
\sum_{h=0}^{\omega -x-m-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot{}_{m|}\Gamma_{r}^{(h+1)}\mbox{。}\]
當 \(r\)趨近於無窮大時，則現值 \({}_{m|}(GIA)_{x}^{(r)}\)之極限值就趨近即刻給付的現值 \({}_{m|}(GI\bar{A})_{x}\)，所以可得
\begin{align}
{}_{m|}(GI\bar{A})_{x} & =\lim_{r\rightarrow\infty}{}_{m|}(GIA)_{x}^{(r)}
=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{\omega -x-m-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\lim_{r\rightarrow\infty}{}_{m|}\Gamma_{r}^{(h+1)}\right )\nonumber\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{\omega -x-m-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{m+t}dl_{x+m+t}\right )\nonumber\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{\omega -x-m-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{m+h}^{m+h+1}v^{t}dl_{x+t}\right )\nonumber\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{h=m}^{\omega -x-1}(\Lambda +(h-m)\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}dl_{x+t}\right )\mbox{。}\label{eq**94}\tag{13}
\end{align}
因為
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{，}\]
由(\ref{eq**94})式可推出 \({}_{m|}(GI\bar{A})_{x}\)之計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(GI\bar{A})_{x} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{h=m}^{\omega -x-1}(\Lambda +(h-m)\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& =\sum_{h=m}^{\omega -x-1}(\Lambda +(h-m)\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\mbox{。}
\end{align*}
由利息與確定年金頁之(4)式可知
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{。}\]
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \({}_{m|}(GI\bar{A})_{x}\)亦可寫成
\[{}_{m|}(GI\bar{A})_{x}=\sum_{h=m}^{\omega -x-1}(\Lambda +(h-m)\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\mbox{。}\]
另外，亦可寫成
\begin{align*}
{}_{m|}(GI\bar{A})_{x} & =\sum_{h=m}^{\omega -x-1}[(\Lambda -\lambda)+\lambda\cdot (h+1-m)]
\cdot\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& \=(\Lambda -\lambda )\cdot\sum_{h=m}^{\omega -x-1}\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )
+\lambda\cdot\sum_{h=m}^{\omega -x-1}(h+1-m)\cdot\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& =(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{m}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt+\lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda )\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x}
=(\Lambda -\lambda )\cdot\frac{\bar{M}_{x+m}}{D_{x}}+\lambda\cdot\frac{\bar{R}_{x+m}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出總給付現值之計算式，考慮下面之情形:
- 投保延期 \(m\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}\)
- 投保延期 \(m+1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x}\)
- 投保延期 \(m+2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+2|}\bar{A}_{x}\)
- 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+t|}\bar{A}_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}
+\lambda\cdot\sum_{t=m+1}^{\omega -x-1}{}_{t|}\bar{A}_{x}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}
+\lambda\cdot\sum_{t=m}^{\omega -x-1}{}_{t|}\bar{A}_{x}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x}\mbox{。}
\end{align*}
\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}
遞增型之延期定期壽險.
遞增型延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險可分為年末給付與即刻給付。
年末給付.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保遞增型延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加$1$元保險金至第 \(m+n\)年為止，以後不再給付。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(IA)_{x}\)表示，接著，將依現值收支平衡原則來推導 \({}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \({}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x+m\)歲起至 \(x+m+n\)歲為止，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot {}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\)，而總保險金支出現值為
\[v^{m+1}\cdot d_{x+m}+2\cdot v^{m+2}\cdot d_{x+m+1}+\cdots+n\cdot v^{m+n}\cdot d_{x+m+n-1}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot {}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}=v^{m+1}\cdot d_{x+m}+2\cdot v^{m+2}\cdot d_{x+m+1}+\cdots
+n\cdot v^{m+n}\cdot d_{x+m+n-1}\mbox{。}\]
因此可解得
\[{}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=m}^{m+n-1}(t-m+1)\cdot v^{t+1}\cdot d_{x+t}\mbox{。}\]
由基本型生存年金頁之(4)式知，因為 \({}_{t|}q_{x}=d_{x+t}/l_{x}\)，可得另一計算式為
\[{}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}=\sum_{t=m}^{m+n-1}(t-m+1)\cdot v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}\mbox{。}\]
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)
- 投保延期 \(m+1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
- 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
- 最後，投保延期 \(m+n-1\)年之 \(1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+n-1|}A_{x:1\!\rceil}^{1}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align}
{}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1} & =\sum_{t=0}^{n-1}{}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}
=\sum_{t=0}^{n-1}\frac{M_{x+m+t}-M_{x+m+n}}{D_{x}}\label{eq163}\tag{14}\\
& =\frac{R_{x+m}-R_{x+m+n}-n\cdot M_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}\nonumber
\end{align}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第 \(m+n\)年為止，以後不再給付，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\)。
(ii) 第二種情形，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(m+3\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\lambda\)元保險金至第 \(m+n\)年為止，以後不再給付。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)
- 投保延期 \(m+1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
- 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
- 最後，投保延期 \(m+n-1\)年之 \(1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+n-1|}A_{x:1\!\rceil}^{1}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n-1}{}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{n-1}{}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot {}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}
即刻給付.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保遞增型延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(m+n\)年為止，以後不再給付。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(I\bar{A})_{x}\)表示，接著，將推導 \({}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算公式。考慮下面之情形:
- 投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)
- 投保延期 \(m+1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
- 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
- 最後，投保延期 \(m+n-1\)年之 \(1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+n-1|}\bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1} & =\sum_{t=0}^{n-1}{}_{m+t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}
=\sum_{t=0}^{n-1}\frac{\bar{M}_{x+m+t}-\bar{M}_{x+m+n}}{D_{x}}\\
& =\frac{\bar{R}_{x+m}-\bar{R}_{x+m+n}-n\cdot\bar{M}_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
另外，依據之前的方法，可得其積分計算公式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
& =\int_{m}^{m+n}\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\sum_{h=m}^{m+n-1}\left (h-m+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \({}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)亦可寫成
\begin{align*}
{}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1} & =\int_{m}^{m+n}
\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]\cdot e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\sum_{h=m}^{m+n-1}\left (h-m+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第 \(m+n\)年為止，以後不再給付，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)。
(ii) 第二種情形，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(m+3\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\lambda\)元保險金至第 \(m+n\)年為止，以後不再給付。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)
- 投保延期 \(m+1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
- 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
- 最後，投保延期 \(m+n-1\)年之 \(1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+n-1|}\bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}\)。
將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{n-1}{}_{m+t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{n-1}{}_{m+t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}
另外，依據之前的方法，可得其積分計算公式為
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\sum_{h=m}^{m+n-1}(\Lambda +(h-m)\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\mbox{。}\]
如考慮息力 \(\delta\)，則
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\sum_{h=m}^{m+n-1}(\Lambda +(h-m)\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\mbox{。}\]
