終身壽險保險費

Giovanni Antonio Canal (Canaletto) (1697-1768) was an Italian painter.

本頁有以下小節

總保險費係由純保險費及附加保險費兩項所組合而成。其中之純保險費係由事故險保費及儲蓄保險費兩項所組成，而附加保險費包含新契約費用、維持費用及收費費用等等。茲分別說明如下:

事故保險費乃根據危險事故發生之機率、銀行利率及每次事故應給付之金額等事項，透過精算後所應收取之保險費。
儲蓄保險費乃先收取之金額，而非作為當期給付之保險費。主要目的係儲存以備將來為應付期滿給付、年金給付及事故理賠給付等等之保險費。
新契約費用乃為了要成立新契約所需支付之各種費用。包括新契約佣金、體檢費、調查費、製作保單費、核保人員之薪津等等。
維持費用乃用以支付任何已經存在之契約所必需之費用。例如契約保全之有關人力及電腦作業等等。
收費費用乃以收費為目的而支出之費用。例如收費通知單及其送達之相關消費，收費員之薪津與福利等等費用。

普通人壽保險之基本型態，依據保險事故分類，可簡單分為身故保險、生存保險及生死合險等三種，其中身故保險又可分為終身壽險、定期壽險及延期壽險等三種，首先探討終身壽險。自保險契約有效之日起，被保險人不論何時身故，保險公司需給付 $1$元保險金，給付方式可分為身故當年末給付或即刻給付兩種。而被保險人之保險金繳納方式亦可分為躉繳純保費(single net premium)、年繳純保費(annual net premium)及分期繳純保費(fractional premium)三種，將分別討論如下。

\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}

躉繳純保費

若採用身故當年末給付保險金方式，則躉繳純保費即為被保險人之保險金給付現值 $A_{x}$，其計算式可參考基本型人壽保險金頁之(1)式、(2)式及(3)式，又可寫成如下:
\begin{equation}{\label{eq326}}\tag{1}
A_{x}=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-x}\left (v\cdot D_{x+t}-D_{x+t+1}\right )
=\frac{v\cdot N_{x}-N_{x+1}}{D_{x}}=v\cdot\ddot{a}_{x}-a_{x}=1-d\cdot\ddot{a}_{x}\mbox{。}
\end{equation}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot A_{x}$。

若採用身故即刻給付保險金方式，則躉繳純保費即為 $\bar{A}_{x}$，其計算式如基本型人壽保險金頁之(11)式所示，這裡將推出另一近似計算式。假設將一年分成 $h$期，若被保險人身故時，保險公司需在當期末給付保險金 $1$元。被保險人之總給付現值以符號 $A_{x}^{(h)}$表示且
\[\bar{A}_{x}=\lim_{h\rightarrow\infty}A_{x}^{(h)}\mbox{。}\]
假設每期給付 $1/h$元年金，依據基本型生存年金頁之(8)式之推理方式，可得
\[a_{x}^{(h)}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\frac{1}{h}\cdot \left (v^{\frac{1}{h}}\cdot l_{x+\frac{1}{h}}+v^{\frac{2}{h}}\cdot l_{x+\frac{2}{h}}+\cdots +v^{\omega -x}\cdot l_{\omega}\right )\mbox{。}\]
同理，依據基本型生存年金頁之(10)式之推理方式，可得
\begin{equation}{\label{eq325}}\tag{2}
\ddot{a}_{x}^{(h)}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\frac{1}{h}\cdot \left (l_{x}+v^{\frac{1}{h}}\cdot l_{x+\frac{1}{h}}+v^{\frac{2}{h}}\cdot l_{x+\frac{2}{h}}+\cdots +v^{\omega -x}\cdot l_{\omega}\right )\mbox{。}
\end{equation}
其關係式為
\[\ddot{a}_{x}^{(h)}=a_{x}^{(h)}+\frac{1}{h}\mbox{。}\]
而其近似計算公式可參考基本型生存年金頁之(22)式及(24)式。依據基本型人壽保險金頁之(8)(\ref{eq322})式，可知
\begin{align}
A_{x}^{(h)} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\left (v^{\frac{1}{h}}\cdot d_{x}+v^{\frac{2}{h}}\cdot d_{x+\frac{1}{h}}
+v^{\frac{3}{h}}\cdot d_{x+\frac{2}{h}}+\cdots +v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -\frac{1}{h}}\right )\nonumber\\
& =\frac{1}{l_{x}}\cdot\left [v^{\frac{1}{h}}\cdot\left (l_{x}-l_{x+\frac{1}{h}}\right )+v^{\frac{2}{h}}
\cdot\left (l_{x+\frac{1}{h}}-l_{x+\frac{2}{h}}\right )+\cdots
+v^{\omega -x}\cdot\left (l_{\omega -\frac{1}{h}}-l_{\omega}\right )\right ]\nonumber\\
& =h\cdot\left (v^{\frac{1}{h}}\cdot\ddot{a}_{x}^{(h)}-a_{x}^{(h)}\right )\mbox{ (可對照(\ref{eq326})式)}\nonumber\\
& =h\cdot\left [v^{\frac{1}{h}}\cdot\ddot{a}_{x}^{(h)}-\left (\ddot{a}_{x}^{(h)}-\frac{1}{h}\right )\right ]\nonumber\\
& =1-h\cdot\left (1-v^{\frac{1}{h}}\right )\cdot\ddot{a}_{x}^{(h)}\mbox{。}\label{eq327}\tag{3}
\end{align}
首先計算
\[\lim_{h\rightarrow\infty}h\cdot\left (1-v^{\frac{1}{h}}\right )
=\lim_{h\rightarrow\infty}-\left [\frac{v^{\frac{1}{h}}-1}{1/h}\right ]
=\lim_{h\rightarrow\infty}-\left [\frac{v^{\frac{1}{h}}-v^{0}}{1/h}\right ]\mbox{。}\]
上式可視為函數 $v^{x}$在 $x=0$時的導數，因此可得
\[\lim_{h\rightarrow\infty}h\cdot\left (1-v^{\frac{1}{h}}\right )=-\ln v=-\ln (1-d)\mbox{。}\]
依據利息與確定年金頁之(5)式及(6)式，亦可知
\[\lim_{h\rightarrow\infty}h\cdot\left (1-v^{\frac{1}{h}}\right )=\delta\mbox{。}\]
若假設 $h$趨近於無窮大，則期末給付與期初給付亦將趨近於相同。依據基本型生存年金頁之(36)式及(37)式，定義
\begin{equation}{\label{eq249}}\tag{4}
\bar{a}_{x}=\lim_{h\rightarrow\infty}a_{x}^{(h)}=\lim_{h\rightarrow\infty}\ddot{a}_{x}^{(h)}
=\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}=a_{x}+\frac{1}{2}\mbox{，}
\end{equation}
則可得近似計算式為
\begin{equation}{\label{eq341}}\tag{5}
\bar{A}_{x}=\lim_{h\rightarrow\infty}A_{x}^{(h)}=1-\delta\cdot\bar{a}_{x}=1-\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )\mbox{。}
\end{equation}
假設保險公司需於被保險人身故即刻給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot\bar{A}_{x}$。

\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}

年繳純保費.

因為自然保費將隨年齡增長而增加，然而所得流程卻會在一定年齡之後隨年齡增長而降低，所以此種收費方式對老年人之經濟負擔將會逐年加重，為了彌補這不合理現象，因此有所謂平準純保費方式。其目的就是在保險費繳費期間內，每年皆負擔同額保險費。現年 $x$歲的被保險人，若採用身故當年末給付保險金方式，將分成繳費至終身及繳費期間為 $q$年來討論其計算公式。

年末給付及繳費至終身.

假設被保險人每年繳純保費 $P_{x}$至終身，若 $t$年後仍然生存時，其年繳純保費 $P_{x}$之現值為
\[P_{x}\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}=P_{x}\cdot {}_{t}E_{x}\mbox{。}\]
因此總保費收入現值為
\[P_{x}\cdot {}_{0}E_{x}+P_{x}\cdot {}_{1}E_{x}+P_{x}\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots +P_{x}\cdot {}_{\omega -x}E_{x}
=P_{x}\cdot\ddot{a}_{x}\mbox{。}\]
依據收支平衡原則，即
\[\mbox{總保費收入現值}=\mbox{保險金給付現值}\mbox{。}\]
因此可得
\begin{equation}{\label{eq192}}\tag{6}
P_{x}\cdot\ddot{a}_{x}=A_{x}\mbox{，}
\end{equation}
所以其年繳純保費為
\begin{equation}{\label{eq400}}\tag{7}
P_{x}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x}}=\frac{1-d\cdot \ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}}=\frac{1}{\ddot{a}_{x}}-d\mbox{。}
\end{equation}

上式亦可如下推論。假設某甲於年初借某乙 $1$元，並且言明在乙有生之年一定要清償，則乙可用以下兩種方式來清償其 $1$元之債務。

(a) 乙每年初還甲 $1/\ddot{a}_{x}$元。因此可將甲視為每年初可獲得年金 $1/\ddot{a}_{x}$元直至終身，而其現值為 $\ddot{a}_{x}\cdot (1/\ddot{a}_{x})=1$元，即可解釋為乙還清債務。

(b) 乙每年初還 $d$元，但為了能償還於身故年度末尚欠甲的錢，必須投保終身壽險，其年繳純保費為 $P_{x}$，故每年共還 $d+P_{x}$。

在(a)中每年償還金額為 $1/\ddot{a}_{x}$元與(b)每年償還金額 $d+P_{x}$應相同，亦即
\[d+P_{x}=\frac{1}{\ddot{a}_{x}}\mbox{。}\]
因此可解得
\[P_{x}=\frac{1}{\ddot{a}_{x}}-d\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則年繳純保費應為
\begin{equation}{\label{eq194}}\tag{8}
\Lambda\cdot P_{x}\mbox{元。}
\end{equation}

年末給付及繳費期間為q年.

假設繳費期間非終身而是 $q$年，其年繳純保費以符號 $P_{x,q}$表示之，則總保費收入現值為
\[P_{x,q}\cdot {}_{0}E_{x}+P_{x,q}\cdot {}_{1}E_{x}+P_{x,q}\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots +P_{x,q}\cdot {}_{q-1}E_{x}
=P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\mbox{。}\]
依據收支平衡原則，因此可得
\[P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}=A_{x}\mbox{，}\]
所以其年繳純保費為
\begin{equation}{\label{eq407}}\tag{9}
P_{x,q}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\mbox{。}
\end{equation}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則年繳純保費應為 $\Lambda\cdot P_{x,q}$元。

即刻給付及繳費至終身.

考慮採用身故即刻給付保險金方式。假設繳費期間為終身，則其年繳純保費以符號 $P(\bar{A}_{x})$表示之。依據(\ref{eq192})式之推導論點，可得
\[P(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x}=\bar{A}_{x}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align}
P(\bar{A}_{x}) & =\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x}}=\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x}}
=\frac{1}{\ddot{a}_{x}}\cdot\left (1+\frac{\delta}{2}\right )-\delta\label{eq401}\tag{10}\\
& =(P_{x}+d)\cdot\left (1+\frac{\delta}{2}\right )-\delta\mbox{。}\nonumber
\end{align}
另外可得
\[P(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x}}=\frac{\bar{A}_{x}}{A_{x}}\cdot\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x}}
=\left (\frac{\bar{A}_{x}}{A_{x}}\right )\cdot P_{x}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則年繳純保費應為 $\Lambda\cdot P(\bar{A}_{x})$元。

即刻給付及繳費期間為q年

假設繳費期間為 $q$年，則其年繳純保費以符號 $P_{q}(\bar{A}_{x})$表示之。依據(\ref{eq192})式之推導論點，可得
\[P_{q}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}=\bar{A}_{x}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq408}}\tag{11}
P_{q}(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}=\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-\delta\cdot
\frac{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\mbox{。}
\end{equation}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則年繳純保費應為 $\Lambda\cdot P_{q}(\bar{A}_{x})$元。

\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}

真實保險費.

接著探討分期純保費，也就是每年分數期繳費，可分為真實保險費(true premium)、年賦保險費(installment premium)及比例分攤保險費(proportional premium)。當被保險人在保單契約有效期間身故時，保險公司將給付全額保險金，而且該保單契約仍未到期之保費可免繳納，此方式稱之真實保險費。

年末給付及繳費至終身.

採用身故當年末給付保險金方式，假設將每年分成 $h$期，現年 $x$歲的被保險人，假設繳費至終身，則其真實保險費以符號 $P_{x}^{(h)}$表示。因此每期應繳納之保費為 $P_{x}^{(h)}/h$。若 $t$期後仍然生存時，則期繳純保費 $P_{x}^{(h)}/h$之現值為
\[\frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot v^{\frac{t}{h}}\cdot {}_{\frac{t}{h}}p_{x}
=\frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot v^{\frac{t}{h}}\cdot\frac{l_{x+\frac{t}{h}}}{l_{x}}\mbox{。}\]
因此總保費收入現值為
\begin{align*}
& \frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot\left (1+v^{\frac{1}{h}}\cdot {}_{\frac{1}{h}}p_{x}
+v^{\frac{2}{h}}\cdot {}_{\frac{2}{h}}p_{x}+\cdots +v^{\omega -x}\cdot {}_{\omega -x}p_{x}\right )\\
& \quad =\frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot\left (1+v^{\frac{1}{h}}\cdot\frac{l_{x+\frac{1}{h}}}{l_{x}}
+v^{\frac{2}{h}}\cdot\frac{l_{x+\frac{2}{h}}}{l_{x}}+\cdots +v^{\omega -x}\cdot \frac{l_{\omega}}{l_{x}}\right )\\
& \quad =\frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot\frac{1}{l_{x}}\left (l_{x}+
v^{\frac{1}{h}}\cdot l_{x+\frac{1}{h}}+v^{\frac{2}{h}}\cdot l_{x+\frac{2}{h}}+\cdots +v^{\omega -x}\cdot l_{\omega}\right )\\
& \quad =\frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot h\cdot\ddot{a}_{x}^{(h)}\mbox{ (依據(\ref{eq325})式)}\\
& \quad =P_{x}^{(h)}\cdot\ddot{a}_{x}^{(h)}\mbox{。}
\end{align*}
依據收支平衡原則，即可得
\begin{equation}{\label{eq240}}\tag{12}
P_{x}^{(h)}\cdot\ddot{a}_{x}^{(h)}=A_{x}\mbox{。}
\end{equation}
依據基本型生存年金頁之(24)式式，可解得其真實保險費為
\[P_{x}^{(h)}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}}\mbox{。}\]
另外，又可寫為
\begin{equation}{\label{eq216}}\tag{13}
P_{x}^{(h)}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}}
=\frac{P_{x}\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}}=\frac{P_{x}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot (P_{x}+d)}\mbox{。}
\end{equation}
因此可推得
\begin{equation}{\label{eq241}}\tag{14}
P_{x}^{(h)}=P_{x}+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{(h)}\cdot (P_{x}+d)
=P_{x}+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{(h)}\cdot\frac{1}{\ddot{a}_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
由上式可以明顯看出與年繳保費 $P_{x}$比較將會產生
\begin{equation}{\label{eq*193}}\tag{15}
\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{(h)}\cdot (P_{x}+d)\mbox{元}
\end{equation}
之差額。其主因係 $P_{x}$是年繳保費而 $P_{x}^{(h)}$則是分期繳保費。在某一保單年度內，被保險人若採分期繳保費方式，當被保險人於當年度之某一期身故時，與年初繳保費相比，保險公司將損失當年度未到期之保險費收入及該保險費所衍生之利息。這些損失的總合將會是 $\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{(h)}\cdot (P_{x}+d)$元，這些損失之計算方式分別說明如下。

(i) 保單年度保費平均損失現值: 假設被保險人年度身故機率為均勻分配，也就是說保單年度內各時間點之身故機率皆相等，故被保險人若於第 $1$期間內 $(x,x+\frac{1}{h})$身故，相較於年初繳保險費而言，保險公司將損失 $(h-1)\cdot\frac{P_{x}^{(h)}}{h}$元之未到期(共 $h-1$期)保險費收入，若於第 $2$期間內 $(x+\frac{1}{h},x+\frac{2}{h})$身故，則保險公司將損失 $(h-2)\cdot\frac{P_{x}^{(h)}}{h}$元，以下類推，因而該保單年度，保險公司將平均損失保險費收入為:
\begin{equation}{\label{eq195}}\tag{16}
\frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot\frac{1}{h}\cdot\left [(h-1)+(h-2)+\cdots +1\right ]=\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{(h)}\mbox{。}
\end{equation}
此一平均損失保險費收入可視為保險公司對於採用分期繳保費方式之被保險人身故時，於當年末額外給付之保險金。而依據 (\ref{eq194})式，其現值為
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{(h)}\cdot P_{x}\mbox{，}\]
此即為保險公司保單年度保費平均損失現值。

(ii) 保單年度保費利息損失: 可從兩個觀點來看

每期保費損失所衍生之利息損失: 若被保險人於第 $1$期內身故時，則保險公司所損失之保險費收入為 $(h-1)\cdot\frac{P_{x}^{(h)}}{h}$元，因此所衍生之利息損失應為 $(h-1)\cdot\frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot d$元，第 $2$期所衍生之利息損失應為 $(h-2)\cdot\frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot d$，以此類推，保險公司於該保單年度利息平均損失為:
\[\frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot\frac{1}{h}\cdot\left [(h-1)+(h-2)+\cdots +1\right ]
\cdot d=\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{(h)}\cdot d\mbox{。}\]
分期繳保險費與年初繳保險費比較所產生之利息損失:可以把繳保險費視為被保險人償還保險公司之金額，也就是保險公司提供保障給被保險人所須之成本。同樣假設保單年度內各時間點之身故機率皆相等，亦假設保險公司利息收入均分攤於每一期，也就是說若保險公司每年利息收入為 $d$，則每期利息收入可視為 $d/h$。第 $1$期所繳保險費與年初繳保險費比較將產生之利息損失為 $0$，第 $2$期之利息損失為 $\frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot\frac{d}{h}$，第 $3$期之利息損失為 $\frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot\frac{2d}{h}$，以此類推，故全年之利息損失為:
\[\frac{P_{x}^{(h)}}{h}\cdot\frac{d}{h}\cdot\left [0+1+\cdots +(h-2)+(h-1)\right ]=\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{(h)}\cdot d\mbox{。}\]
結果與之前相同。

將保單年度保費平均損失現值與保單年度保費利息損失相加即為(\ref{eq*193})式所顯示之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給$\Lambda$元保險金，則真實保險費應為 $\Lambda\cdot P_{x}^{(h)}$元。

年末給付及繳費期間為q年.

假設繳費期間為 $q$年，則其真實保險費以符號 $P_{x,q}^{(h)}$表示。因此每期應繳納之保費為 $P_{x,q}^{(h)}/h$。假設每期給付 $1/h$元保險金，依據基本型生存年金頁之(13)式式之推理方式，可得
\[\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\frac{1}{h}\cdot \left (l_{x}+
v^{\frac{1}{h}}\cdot l_{x+\frac{1}{h}}+v^{\frac{2}{h}}\cdot l_{x+\frac{2}{h}}
+\cdots +v^{u-\frac{1}{h}}\cdot l_{x+q-\frac{1}{h}}\right )\mbox{。}\]
則總保費收入現值為
\begin{align*}
& \frac{P_{x,q}^{(h)}}{h}\cdot\left (1+v^{\frac{1}{h}}\cdot {}_{\frac{1}{h}}p_{x}+v^{\frac{2}{h}}\cdot {}_{\frac{2}{h}}p_{x}
+\cdots +v^{u-\frac{1}{h}}\cdot {}_{u-\frac{1}{h}}p_{x}\right )\\
& \quad =\frac{P_{x,q}^{(h)}}{h}\cdot\left (1+v^{\frac{1}{h}}\cdot\frac{l_{x+\frac{1}{h}}}{l_{x}}
+v^{\frac{2}{h}}\cdot\frac{l_{x+\frac{2}{h}}}{l_{x}}+\cdots +v^{u-\frac{1}{h}}\cdot \frac{l_{u+x-\frac{1}{h}}}{l_{x}}\right )\\
& \quad = \frac{P_{x,q}^{(h)}}{h}\cdot\frac{1}{l_{x}}\left (l_{x}+v^{\frac{1}{h}}\cdot l_{x+\frac{1}{h}}+v^{\frac{2}{h}}\cdot l_{x+\frac{2}{h}}+\cdots +v^{u-\frac{1}{h}}\cdot l_{u+x-\frac{1}{h}}\right )\\
& \quad = \frac{P_{x,q}^{(h)}}{h}\cdot h\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}=P_{x,q}^{(h)}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}\mbox{。}
\end{align*}
依據收支平衡原則，即可得
\begin{equation}{\label{eq410}}\tag{17}
P_{x,q}^{(h)}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}=A_{x}\mbox{。}
\end{equation}
依據基本型生存年金頁之(31)式，可解得其真實保險費為
\[P_{x,q}^{(h)}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{q}E_{x}\right )}
=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
另外，又可寫為
\begin{equation}{\label{eq405}}\tag{18}
P_{x,q}^{(h)}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}=\frac{P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}=\frac{P_{x,q}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot
\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\mbox{。}
\end{equation}
因此可推得
\[P_{x,q}^{(h)}=P_{x,q}+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x,q}^{(h)}\cdot
\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費 $P_{x,q}$比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x,q}^{(h)}\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則真實保險費應為 $\Lambda\cdot P_{x,q}^{(h)}$元。

即刻給付及繳費至終身.

採用身故即刻給付保險金方式，將每年分成 $h$期。假設繳費期間為終身，則其真實保險費以符號 $P^{(h)}(\bar{A}_{x})$表示之。因此每期應繳納之保費為 $P^{(h)}(\bar{A}_{x})/h$。依據(\ref{eq240})式之推導論點，可得
\begin{equation}{\label{eq250}}\tag{19}
P^{(h)}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x}^{(h)}=\bar{A}_{x}\mbox{。}
\end{equation}
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq446}}\tag{20}
P^{(h)}(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}=\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}
{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}}\mbox{。}
\end{equation}
另外，又可寫為
\begin{equation}{\label{eq253}}\tag{21}
P^{(h)}(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}=\frac{\ddot{a}_{x}\cdot P(\bar{A}_{x})}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}}
=\frac{P(\bar{A}_{x})}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot (P_{x}+d)}\mbox{。}
\end{equation}
因此可推得
\[P^{(h)}(\bar{A}_{x})=P(\bar{A}_{x})+\frac{h-1}{2h}\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x})
\cdot (P_{x}+d)=P(\bar{A}_{x})+\frac{h-1}{2h}\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x})\cdot\frac{1}{\ddot{a}_{x}}\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出，若採用身故即刻給付保險金方式，其與年繳保費 $P(\bar{A}_{x})$比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x})\cdot\frac{1}{\ddot{a}_{x}}\mbox{元}\]
之差額。另外可得
\[P^{(h)}(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}
=\frac{\bar{A}_{x}}{A_{x}}\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}
=\left (\frac{\bar{A}_{x}}{A_{x}}\right )\cdot P_{x}^{(h)}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則真實保險費應為 $\Lambda\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x})$元。

即刻給付及繳費期間為q年.

假設繳費期間為 $q$年，則其真實純保費以符號 $P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})$表示之。因此每期應繳納之保費為 $P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})/h$。依據(\ref{eq410})式之推導論點，可得
\[P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}=\bar{A}_{x}\mbox{。}\]
因此依據基本型生存年金頁之(31)式，可解得
\[P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}=\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{q}E_{x}\right )}=\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
另外，又可寫為
\begin{equation}{\label{eq450}}\tag{22}
P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{P_{q}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}=\frac{P_{q}(\bar{A}_{x})}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot
\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\mbox{。}
\end{equation}
因此可推得
\[P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})=P_{q}(\bar{A}_{x})+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})\cdot
\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費 $P_{q}(\bar{A}_{x})$比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})\cdot
\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則年繳純保費應為 $\Lambda\cdot P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})$元。

\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}

年賦保險費.

當被保險人在保單契約有效期間身故時，其該保單年度內所未到期之保險費仍應繳納，此方式稱之為年賦保險費。

年末給付及繳費至終身.

假設繳費至終身，則其年賦保險費以符號 $P_{x}^{[h]}$表示之。每期繳納保費為 $P_{x}^{[h]}/h$。因為被保險人仍需繳保單年度內所未到期之保險費，參考(\ref{eq195})式之推導方式，若被保險人於第 $1$期內身故時，保險公司雖於身故當年末給予 $1$元之保險金，但保險公司仍可收到當年末未到期之保險費，其金額為 $(h-1)\cdot\frac{P_{x}^{[h]}}{h}$，若被保險人於第 $2$期內身故時，則保險公司亦可收到當年度未到期之保險費為 $(h-2)\cdot\frac{P_{x}^{[h]}}{h}$，以此類推，保險公司可於當年末收到未到期保險費之平均收入為:
\[\frac{P_{x}^{[h]}}{h}\cdot\frac{1}{h}\cdot\left [(h-1)+(h-2)+\cdots +1\right ]=\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{[h]}\mbox{。}\]
因此，雖保險公司給付被保險人 $1$元身故保險金，但相較之下仍可收到當年末未到期保費平均收入 $\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{[h]}$元，因此保險公司所給付之保險金淨額為
\[1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{[h]}\mbox{，}\]
而其現值為
\[A_{x}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{[h]}\right )\mbox{。}\]
因此，根據收支平衡原則，可得
\begin{equation}{\label{eq251}}\tag{23}
P_{x}^{[h]}\cdot\ddot{a}_{x}^{(h)}=A_{x}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{[h]}\right )\mbox{，}
\end{equation}
所以
\[P_{x}^{[h]}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot
P_{x}^{[h]}\right )=P_{x}^{(h)}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{[h]}\right )\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq217}}\tag{24}
P_{x}^{[h]}=\frac{P_{x}^{(h)}}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{(h)}}\mbox{。}
\end{equation}
令 $\zeta =\frac{h-1}{2h}$，根據(\ref{eq216})及(\ref{eq217})式，可得
\begin{align}
P_{x}^{[h]} & =\frac{P_{x}^{(h)}}{1+\zeta\cdot P_{x}^{(h)}}=\frac{\displaystyle \frac{P_{x}}{1-\zeta\cdot (P_{x}+d)}}
{\displaystyle 1+\frac{\zeta\cdot P_{x}}{1-\zeta\cdot (P_{x}+d)}}
=\frac{P_{x}}{1-\zeta\cdot (P_{x}+d)+\zeta\cdot P_{x}}=\frac{P_{x}}{1-\zeta\cdot d}\label{eq254}\tag{25}\\
& =\frac{\frac{1}{\ddot{a}_{x}}-d}{1-\zeta\cdot d}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}\cdot (1-\zeta\cdot d)}
\mbox{。}\nonumber
\end{align}
上式亦可寫成
\[P_{x}=P_{x}^{[h]}-\zeta\cdot d\cdot P_{x}^{[h]}\mbox{。}\]
因此可得
\[P_{x}^{[h]}=P_{x}+\zeta\cdot d\cdot P_{x}^{[h]}=P_{x}+\frac{h-1}{2h}\cdot d\cdot P_{x}^{[h]}\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費 $P_{x}$比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{[h]}\cdot d\mbox{元}\]
的差額。因年賦保險費規定保險年度中無論何時身故，其當年度之未到期保費仍須繳納，此即表示年賦保險費與年初繳保險費之總額並無差距，而其間之差額是因分期繳納所衍生之利息損失，此利息損失之算法可參考真實保險費中利息損失之算法。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則年賦保險費應為 $\Lambda\cdot P_{x}^{[h]}$元。

年末給付及繳費期間為q年.

假設繳費期間為 $q$年，則其年賦保險費以符號 $P_{x,q}^{[h]}$表示之。因此每期應繳納之保費為 $P_{x,q}^{[h]}/h$。依據(\ref{eq251})式之推導論點，可得
\[P_{x,q}^{[h]}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}=A_{x}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x,q}^{[h]}\right )\mbox{，}\]
所以
\[P_{x,q}^{[h]}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x,q}^{[h]}\right )
=P_{x,q}^{(h)}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x,q}^{[h]}\right )\]
由(\ref{eq405})式，可解得
\begin{align}
P_{x,q}^{[h]} & =\frac{P_{x,q}^{(h)}}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x,q}^{(h)}}=\frac{P_{x,q}^{(h)}}{1+\zeta\cdot P_{x,q}^{(h)}}
=\frac{\frac{P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}}
{1+\zeta\cdot \frac{P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}}\nonumber\\
& = \frac{P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
+\zeta\cdot P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}=\frac{P_{x,q}}{1-\zeta\cdot\left (1-P_{x,q}
-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\label{eq440}\tag{26}\\
& =\frac{P_{x,q}}{1-\zeta\cdot\left (1-\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}+d\cdot\ddot{a}_{x}-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}=\frac{P_{x,q}}{1-\zeta\cdot\left (1+d\cdot\ddot{a}_{x}
-\frac{1+a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\mbox{。}\nonumber
\end{align}
因此可得
\[P_{x,q}^{[h]}=P_{x,q}+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x,q}^{[h]}\cdot\left (1+d\cdot\ddot{a}_{x}
-\frac{1+a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費 $P_{x,q}$比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x,q}^{[h]}\cdot\left (1+d\cdot\ddot{a}_{x}
-\frac{1+a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{元}\]
的差額。另外，可得
\begin{align*}
P_{x,q}^{[h]} & =\frac{P_{x,q}^{(h)}}{1+\zeta\cdot P_{x,q}^{(h)}}=\frac{\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}
{1+\zeta\cdot\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}+\zeta\cdot A_{x}}\\
& =\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
+\zeta\cdot\left (1-d\cdot\ddot{a}_{x}\right )}\\
& =\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{(1-\zeta )\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
+\zeta\cdot\left (a_{x:q\!\rceil}+1-d\cdot\ddot{a}_{x}\right )}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則年賦保險費應為 $\Lambda\cdot P_{x,q}^{[h]}$元。

即刻給付及繳費至終身.

採用身故即刻給付保險金方式。假設繳費至終身，則其年賦保險費以符號 $P^{[h]}(\bar{A}_{x})$表示之。因此每期應繳納之保費為 $P^{[h]}(\bar{A}_{x})/h$。依據推導(\ref{eq251})式之相同論點，可得
\[P^{[h]}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x}^{(h)}=\bar{A}_{x}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x})\right )\mbox{。}\]
所以
\[P^{[h]}(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x})\right )
=P^{(h)}(\bar{A}_{x})\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x})\right )\mbox{。}\]
因此可解得
\[P^{[h]}(\bar{A}_{x})=\frac{P^{(h)}(\bar{A}_{x})}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x})}\mbox{。}\]
令 $\zeta =\frac{h-1}{2h}$，根據(\ref{eq253})式，可得
\begin{align*}
P^{[h]}(\bar{A}_{x}) & =\frac{P^{(h)}(\bar{A}_{x})}{1+\zeta\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x})}
=\frac{\frac{P(\bar{A}_{x})}{1-\zeta\cdot (P_{x}+d)}}{1+\zeta\cdot \frac{P(\bar{A}_{x})}{1-\zeta\cdot (P_{x}+d)}}
=\frac{P(\bar{A}_{x})}{1-\zeta\cdot (P_{x}+d)+\zeta\cdot P(\bar{A}_{x})}\\
& =\frac{P(\bar{A}_{x})}{1-\zeta\cdot\left (P_{x}+d-P(\bar{A}_{x})\right )}
\end{align*}
因此可得
\begin{align*}
P^{[h]}(\bar{A}_{x}) & =P(\bar{A}_{x})+\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x})\cdot\left (P_{x}+d-P(\bar{A}_{x})\right )\\
& =P(\bar{A}_{x})+\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x})\cdot\left (\frac{1}{\ddot{a}_{x}}-\frac{1}{\ddot{a}_{x}}
\cdot\left (1+\frac{\delta}{2}\right )+\delta\right )\\
& =P(\bar{A}_{x})+\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x})\cdot\delta\cdot\left (1-\frac{1}{2\ddot{a}_{x}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
由上式可以明顯看出與年繳保費 $P(\bar{A}_{x})$比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x})\cdot\delta\cdot\left (1-\frac{1}{2\ddot{a}_{x}}\right )\mbox{元}\]
的差額。另外，由(\ref{eq446})式，亦可得
\begin{align*}
P^{[h]}(\bar{A}_{x}) & =\frac{P^{(h)}(\bar{A}_{x})}{1+\zeta\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x})}
=\frac{\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x}-\zeta}}
{1+\zeta\cdot \frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x}-\zeta}}
=\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x}-\zeta
+\zeta\cdot\left (1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})\right )}\\
& =\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x}-\zeta\cdot\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}
=\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則真實保險費應為 $\Lambda\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x})$元。

即刻給付及繳費期間為q年.

假設繳費期間為 $q$年，其年賦保險費以符號 $P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})$表示之。因此每期應繳納之保費為 $P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})/h$。依據(\ref{eq251})式之推導論點，可得
\[P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}
=\bar{A}_{x}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})\right )\mbox{，}\]
所以
\[P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}\cdot
\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})\right )
=P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})\right )\]
因此可解得
\begin{align*}
P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x}) & =\frac{P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})}
=\frac{P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})}{1+\zeta\cdot P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})}=\frac{\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}
{1+\zeta\cdot\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}+\zeta\cdot\bar{A}_{x}}\\
& =\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
+\zeta\cdot\left (1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})\right )}\\
& =\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{(1-\zeta )\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
+\zeta\cdot\left (a_{x:q\!\rceil}+1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})\right )}\mbox{。}
\end{align*}
令 $\zeta =\frac{h-1}{2h}$，由(\ref{eq450})式，亦可得
\begin{align*}
P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x}) & =\frac{P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})}{1+\zeta\cdot P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})}
=\frac{\frac{P_{q}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}}{1+\zeta\cdot \frac{P_{q}(\bar{A}_{x})
\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}}\\
& =\frac{P_{q}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )+\zeta\cdot P_{q}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\\
& =\frac{P_{q}(\bar{A}_{x})}{1-\zeta\cdot\left (1-P_{q}(\bar{A}_{x})-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\mbox{。}
\end{align*}
因此可得
\begin{align*}
P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x}) & =P_{q}(\bar{A}_{x})+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})\cdot\left (1-P_{q}(\bar{A}_{x})
-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\\
& =P_{q}(\bar{A}_{x})+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})\cdot\left (1-
\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\\
& =P_{q}(\bar{A}_{x})+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})\cdot\left (1+
\delta\cdot\frac{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-\frac{1+a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
由上式可以明顯看出與年繳保費 $P_{q}(\bar{A}_{x})$比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})\cdot\left (1+\delta\cdot\frac{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
-\frac{1+a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{元}\]
的差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則年賦保險費應為 $\Lambda\cdot P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})$元。

\begin{equation}{\label{e}}\tag{E}\mbox{}\end{equation}

比例分攤保險費.

當被保險人在保單契約有效期間身故時，其保險當年度所未到期之保險費不但免繳納，而且保險公司應按比例退還該期初已繳納但距該期末所衍生時間差之保險費，此方式稱之為比例分攤保險費。

年末給付及繳費至終身

採用身故當年末給付保險金方式，將每年分成 $h$期。假設繳費至終身，則其比例分攤保險費以號 $P_{x}^{\{h\}}$表示。因此每期應繳納保費為 $P_{x}^{\{h\}}/h$。在比例分攤繳費制度下，若被保險人在某一期內之 $t/h$時點身故時，其中 $0\leq t\leq 1$，則保險公司除給付 $1$元身故保險金外，還須多給付距該期末所衍生時間差之保險費
\[(t-1)\cdot\frac{P_{x}^{\{h\}}}{h}\mbox{。}\]
因此按比例退還之平均保險費為
\[\int_{0}^{1}(1-t)\cdot\frac{P_{x}^{\{h\}}}{h}dt=\frac{P_{x}^{\{h\}}}{h}\cdot
\int_{0}^{1}(1-t)dt=\frac{P_{x}^{\{h\}}}{h}\cdot\frac{1}{2}=\frac{P_{x}^{\{h\}}}{2h}\mbox{，}\]
換句話說，保險公司真正所給付之保險金平均為
\[1+\frac{P_{x}^{\{h\}}}{2h}\mbox{，}\]
其現值為
\[A_{x}\cdot\left (1+\frac{P_{x}^{\{h\}}}{2h}\right )\mbox{。}\]
根據收支平衡原則，可得
\begin{equation}{\label{eq255}}\tag{27}
P_{x}^{\{h\}}\cdot\ddot{a}_{x}^{(h)}=A_{x}\cdot\left (1+\frac{P_{x}^{\{h\}}}{2h}\right )\mbox{，}
\end{equation}
所以
\[P_{x}^{\{h\}}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}\cdot\left (1+\frac{P_{x}^{\{h\}}}{2h}\right )=
P_{x}^{(h)}\cdot\left (1+\frac{P_{x}^{\{h\}}}{2h}\right )\]
因此可解得
\begin{align}
P_{x}^{\{h\}} & =\frac{P_{x}^{(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{x}^{(h)}}\label{eq218}\tag{28}\\
& =\frac{\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}}{1-\frac{1}{2h}\cdot\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}}
=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot A_{x}}
=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}-\frac{1}{2h}\cdot\left (1-d\cdot\ddot{a}_{x}\right )}
=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2h}\cdot d\cdot\ddot{a}_{x}}\nonumber
\end{align}
令 $\zeta =\frac{h-1}{2h}$，根據(\ref{eq216})及(\ref{eq218})式，可得
\[P_{x}^{\{h\}}=\frac{\displaystyle \frac{P_{x}}{1-\zeta\cdot (P_{x}+d)}}
{\displaystyle 1-\frac{1}{2h}\cdot\frac{P_{x}}{1-\zeta\cdot (P_{x}+d)}}
=\frac{2h\cdot P_{x}}{2h-2h\zeta\cdot (P_{x}+d)-P_{x}}\mbox{。}\]
亦可寫成
\[2h\cdot P_{x}=2h\cdot P_{x}^{\{h\}}-2h\zeta\cdot P_{x}^{\{h\}}\cdot (P_{x}+d)-P_{x}^{\{h\}}\cdot P_{x}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align}
P_{x}^{\{h\}} & =P_{x}+P_{x}^{\{h\}}\cdot\left (\frac{P_{x}}{2h}+\zeta\cdot (P_{x}+d)\right )\nonumber\\
& =P_{x}+P_{x}^{\{h\}}\cdot\left [P_{x}\cdot\left (\frac{1}{2h}+\zeta\right )+\zeta\cdot d\right ]\nonumber\\
& =P_{x}+P_{x}^{\{h\}}\cdot\left (\frac{P_{x}}{2}+\frac{h-1}{2h}\cdot d\right )\label{eq256}\tag{29}\\
& =P_{x}+P_{x}^{\{h\}}\cdot\left (\frac{1}{2}\cdot\left (\frac{1}{\ddot{a}_{x}}-d\right )+\frac{h-1}{2h}\cdot d\right )\nonumber\\
& = & P_{x}+P_{x}^{\{h\}}\cdot\left (\frac{1}{2\ddot{a}_{x}}-\frac{d}{2h}\right )\mbox{。}\nonumber
\end{align}
由上式可以明顯看出與年繳保費 $P_{x}$比較將會產生
\begin{equation}{\label{eq196}}\tag{30}
P_{x}^{\{h\}}\cdot\left (\frac{P_{x}}{2}+\frac{h-1}{2h}\cdot d\right )\mbox{元}
\end{equation}
的差額。此差額可經由以下情形瞭解。

(i) 保單年度保費平均損失現值: 依據上式所述，保險公司每期平均損失保險費收入為 $\frac{P_{x}^{\{h\}}}{2h}$，相教於年初繳保費，若被保險人採用比例分攤繳費方式，保險公司每年將平均損失保險費收入為
\[\frac{P_{x}^{\{h\}}}{2h}\cdot h=\frac{P_{x}^{\{h\}}}{2}\mbox{元。}\]
此一平均損失保險費收入可視為保險公司對於採用比例分攤繳費方式之被保險人身故時，於當年末額外給付之保險金。而依據(\ref{eq194})式，其現值為
\[\frac{P_{x}^{\{h\}}}{2}\cdot P_{x}\mbox{元，}\]
此即為保險公司保單年度保費平均損失現值。

(ii) 保單年度保費利息損失: 其計算方式與真實保險費中之計算方式情形一樣，因此保險公司於該保單年度利息平均損失為:
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{\{h\}}\cdot d\mbox{元。}\]
將保單年度保費平均損失現值與保單年度保費利息損失相加即為(\ref{eq196})式所顯示之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則比例分攤保險費應為 $\Lambda\cdot P_{x}^{\{h\}}$元。

年末給付及繳費期間為q年.

假設繳費期間為 $q$年，則其比例分攤保險費以符號 $P_{x,q}^{\{h\}}$表示之。因此每期應繳納之保費為 $P_{x,q}^{\{h\}}/h$。依據(\ref{eq251})式之推導論點，可得
\[P_{x,q}^{\{h\}}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}=A_{x}\cdot\left (1+\frac{P_{x,q}^{\{h\}}}{2h}\right )\mbox{，}\]
所以
\[P_{x,q}^{\{h\}}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}\cdot\left (1+\frac{P_{x,q}^{\{h\}}}{2h}\right )
=P_{x,q}^{(h)}\cdot\left (1+\frac{P_{x,q}^{\{h\}}}{2h}\right )\]
因此可解得
\begin{align*}
P_{x,q}^{\{h\}} & =\frac{P_{x,q}^{(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{x,q}^{(h)}}
=\frac{\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}{1-\frac{1}{2h}\cdot\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}
=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot A_{x}}\\
& =\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
-\frac{1}{2h}\cdot\left (1-d\cdot\ddot{a}_{x}\right )}\\
& =\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\frac{1}{2h}\cdot\left [(h+1)\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+(h-1)\cdot a_{x:q\!\rceil}-1+
d\cdot\ddot{a}_{x}\right ]}\mbox{。}
\end{align*}
令 $\zeta =\frac{h-1}{2h}$，由(\ref{eq405})式，亦可得
\begin{align*}
P_{x,q}^{\{h\}} & =\frac{P_{x,q}^{(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{x,q}^{(h)}}
=\frac{\frac{P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}}
{1-\frac{1}{2h}\cdot \frac{P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}}\\
& =\frac{P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
-\frac{1}{2h}\cdot P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\\
& =\frac{P_{x,q}}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{x,q}-\zeta\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\mbox{。}
\end{align*}
亦可寫成
\begin{align*}
P_{x,q}^{\{h\}} & =P_{x,q}+P_{x,q}^{\{h\}}\cdot\left [\frac{1}{2h}\cdot P_{x,q}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (
1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\right ]\\
& =P_{x,q}+P_{x,q}^{\{h\}}\cdot\left [\frac{1}{2h}\cdot\left (\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-d\cdot\ddot{a}_{x}\right )
-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}
由上式可以明顯看出與年繳保費 $P_{x,q}$比較將會產生
\[P_{x,q}^{\{h\}}\cdot\left [\frac{1}{2h}\cdot\left (\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-d\cdot\ddot{a}_{x}\right )
-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\right ]\mbox{元}\]
的差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則年賦保險費應為 $\Lambda\cdot P_{x,q}^{\{h\}}$元。

即刻給付及繳費至終身.

採用身故即刻給付保險金方式。假設繳費至終身，則其比例分攤保險費以符號 $P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})$表示之。因此每期應繳納之保費為 $P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})/h$。依據推導(\ref{eq255})式之相同論點，可得
\[P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x}^{(h)}=\bar{A}_{x}\cdot\left (1+\frac{P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})}{2h}\right )\mbox{，}\]
所以
\[P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}\cdot\left (1+\frac{P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})}{2h}\right )=
P^{(h)}(\bar{A}_{x})\cdot\left (1+\frac{P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})}{2h}\right )\mbox{。}\]
令 $\zeta =\frac{h-1}{2h}$，由(\ref{eq253})式，可解得
\[P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})=\frac{P^{(h)}(\bar{A}_{x})}{1-\frac{1}{2h}\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x})}
=\frac{\frac{P(\bar{A}_{x})}{1-\zeta\cdot (P_{x}+d)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot\frac{P(\bar{A}_{x})}{1-\zeta\cdot (P_{x}+d)}}
=\frac{P(\bar{A}_{x})}{1-\zeta\cdot (P_{x}+d)-\frac{1}{2h}\cdot P(\bar{A}_{x})}\mbox{。}\]
亦可寫成
\begin{align*}
P^{\{h\}}(\bar{A}_{x}) & =P(\bar{A}_{x})+P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})\cdot\left [
\frac{h-1}{2h}\cdot (P_{x}+d)+\frac{1}{2h}\cdot P(\bar{A}_{x})\right ]\\
& =P(\bar{A}_{x})+P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})\cdot\left [\frac{h-1}{2h}\cdot\frac{1}{\ddot{a}_{x}}
+\frac{1}{2h}\cdot\left (\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x}}\right )\right ]\\
& =P(\bar{A}_{x})+P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})\cdot\left [\left (1+\frac{\delta}{2h}\right )\cdot\frac{1}{2\ddot{a}_{x}}
-\frac{\delta}{2h}\right ]\mbox{。}
\end{align*}
由上式可以明顯看出，若採用身故即刻給付保險金方式，其與年繳保費 $P(\bar{A}_{x})$比較將會產生
\[P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})\cdot\left [\left (1+\frac{\delta}{2h}\right )\cdot\frac{1}{2\ddot{a}_{x}}-\frac{\delta}{2h}\right ]\mbox{元}\]
之差額。另外，亦可得
\begin{align*}
P^{\{h\}}(\bar{A}_{x}) & =\frac{P^{(h)}(\bar{A}_{x})}{1-\frac{1}{2h}\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x})}
=\frac{\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}}{1-\frac{1}{2h}\cdot\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}}
=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot\bar{A}_{x}}\\
& =\frac{1-\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}-\frac{1}{2h}\cdot
\left (1-\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )\right )}
=\frac{1-\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )}{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2h}\cdot
\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則真實保險費應為 $\Lambda\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x})$元。

即刻給付及繳費期間為q年.

假設繳費期間為 $q$年，則其比例分攤保險費以符號 $P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x})$表示之。因此每期應繳納之保費為 $P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x})/h$。依據(\ref{eq251})式之推導論點，可得
\[P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}
=\bar{A}_{x}\cdot\left (1+\frac{P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x})}{2h}\right )\mbox{，}\]
所以
\[P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}\cdot
\left (1+\frac{P_{q}^{\{h\}}(\bar{\bar{A}}_{x})}{2h}\right )
=P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})\cdot\left (1+\frac{P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x})}{2h}\right )\]
因此可解得
\begin{align*}
P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x}) & =\frac{P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})}
=\frac{\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}{1-\frac{1}{2h}\cdot\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}
=\frac{\bar{A}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot\bar{A}_{x}}\\
& =\frac{1-\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
-\frac{1}{2h}\cdot\left (1-\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )\right )}\\
& =\frac{1-\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )}{\frac{1}{2h}\cdot\left [(h+1)\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+(h-1)\cdot
a_{x:q\!\rceil}-1+\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )\right ]}\mbox{。}
\end{align*}
令 $\zeta =\frac{h-1}{2h}$，由(\ref{eq450})式，可解得
\begin{align*}
P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x}) & =\frac{P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})}
=\frac{\frac{P_{q}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}}{1-\frac{1}{2h}\cdot\frac{P_{q}(\bar{A}_{x})\cdot
\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}}\\
& =\frac{P_{q}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\zeta\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
-\frac{1}{2h}\cdot P_{q}(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\\
& =\frac{P_{q}(\bar{A}_{x})}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{q}(\bar{A}_{x})
-\zeta\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\mbox{。}
\end{align*}
亦可寫成
\begin{align*}
P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x}) & =P_{q}(\bar{A}_{x})+P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x})
\cdot\left [\frac{1}{2h}\cdot P_{q}(\bar{A}_{x})+\frac{h-1}{2h}\cdot
\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\right ]\\
& =P_{q}(\bar{A}_{x})+P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x})\cdot\left [\frac{1}{2h}\cdot
\left (\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-\delta\cdot\frac{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}
由上式可以明顯看出，若採用身故即刻給付保險金方式，其與年繳保費 $P_{q}(\bar{A}_{x})$比較將會產生
\[P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x})\cdot\left [\frac{1}{2h}\cdot\left (\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-\delta\cdot
\frac{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )+\frac{h-1}{2h}\cdot
\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\right ]\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則年賦保險費應為 $\Lambda\cdot P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x})$元。

\begin{equation}{\label{f}}\tag{F}\mbox{}\end{equation}

連續繳費.

年末給付及繳費至終身.

當 $h$趨近於無窮大時，即為所謂的連續繳費情形。採用身故當年末給付保險金方式。假設繳費至終身，則其保險費以符號 $\bar{P}_{x}$表示。依據(\ref{eq240})式之平衡原則，可得以下關係式
\[\bar{P}_{x}\cdot\bar{a}_{x}=A_{x}\mbox{，}\]
其中 $\bar{a}_{x}$定義於(\ref{eq249})式，因此可解得
\[\bar{P}_{x}=\frac{A_{x}}{\bar{a}_{x}}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}}\mbox{。}\]
另外，又可表為
\[\bar{P}_{x}=\frac{A_{x}}{\bar{a}_{x}}=\frac{\ddot{a}_{x}\cdot P_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}}
=\frac{P_{x}}{1-\frac{1}{2}\cdot (P_{x}+d)}\mbox{。}\]
因此可推得
\begin{equation}{\label{eq242}}\tag{31}
\bar{P}_{x}=P_{x}+\frac{1}{2}\cdot\bar{P}_{x}\cdot (P_{x}+d)\mbox{。}
\end{equation}
上式亦可由另一觀點得知。因為
\[\bar{P}_{x}=\lim_{h\rightarrow\infty}P_{x}^{(h)}\mbox{，}\]
依據(\ref{eq241})式，可得
\[\lim_{h\rightarrow\infty}P_{x}^{(h)}=P_{x}+\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{(h)}\cdot (P_{x}+d)
\right ]\mbox{，}\]
上式經計算後即可得(\ref{eq241})式。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則真實保險費應為 $\Lambda\cdot\bar{P}_{x}$元。

年末給付及繳費期間為q年.

假設繳費期間為 $q$年，則其保險費以符號 $\bar{P}_{x,q}$表示。若假設 $h$趨近於無窮大，則期末給付與期初給付亦將趨近於相同。依據基本型生存年金頁之(31)式，定義
\begin{align}
\bar{a}_{x:q\!\rceil} & =\lim_{h\rightarrow\infty}a_{x:q\!\rceil}^{(h)}
=\lim_{h\rightarrow\infty}\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}
=\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{q}E_{x}\right )\right ]\nonumber\\
& =\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{q}E_{x}\right )=\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{1}{2}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )\label{eq423}\tag{32}\mbox{。}
\end{align}
依據收支平衡原則，可得以下關係式
\[\bar{P}_{x,q}\cdot\bar{a}_{x:q\!\rceil}=A_{x}\mbox{，}\]
因此可解得
\[\bar{P}_{x,q}=\frac{A_{x}}{\bar{a}_{x:q\!\rceil}}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{1}{2}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則真實保險費應為 $\Lambda\cdot\bar{P}_{x,q}$元。

即刻給付及繳費至終身.

採用身故即刻給付保險金方式。假設繳費期間為終身，則其保險費以符號 $\bar{P}(\bar{A}_{x})$表示。依據(\ref{eq250})式，可得
\[\bar{P}(\bar{A}_{x})\cdot\bar{a}_{x}=\bar{A}_{x}\mbox{。}\]
因此可解得
\[\bar{P}(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\bar{a}_{x}}=\frac{1-\delta\cdot\bar{a}_{x}}{\bar{a}_{x}}
=\frac{1}{\bar{a}_{x}}-\delta\mbox{。}\]
另外可得
\[\bar{P}(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\bar{a}_{x}}=\frac{\bar{A}_{x}}{A_{x}}\cdot\frac{A_{x}}{\bar{a}_{x}}=
\left (\frac{\bar{A}_{x}}{A_{x}}\right )\cdot\bar{P}_{x}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則年繳純保費應為 $\Lambda\cdot\bar{P}(\bar{A}_{x})$元。

即刻給付及繳費期間為q年.

假設繳費期間為 $q$年，則其保險費以符號 $\bar{P}_{q}(\bar{A}_{x})$表示。依據(\ref{eq250})式，可得
\[\bar{P}_{q}(\bar{A}_{x})\cdot\bar{a}_{x:q\!\rceil}=\bar{A}_{x}\mbox{。}\]
因此可解得
\[\bar{P}_{q}(\bar{A}_{x})=\frac{\bar{A}_{x}}{\bar{a}_{x:q\!\rceil}}=\frac{1-\delta\cdot\bar{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{1}{2}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則年繳純保費應為 $\Lambda\cdot\bar{P}_{q}(\bar{A}_{x})$元。

\begin{equation}{\label{g}}\tag{G}\mbox{}\end{equation}

比較表.

將上述之結果歸納如下。

繳費期間為終身.

假設被保險人繳費至終身，則其躉繳保險費、年繳保險費及連續保險費之計算公式歸納如下表。

\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
保費類別 & 年末給付 & 即刻給付\\ \hline
&&\\
躉繳保險費 & A_{x}=1-d\cdot\ddot{a}_{x} & {\displaystyle \bar{A}_{x}=1-\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )}\\
&&\\ \hline
&&\\
年繳保險費 & {\displaystyle P_{x}=\frac{1}{\ddot{a}_{x}}-d}
& {\displaystyle P(\bar{A}_{x})=\frac{1}{\ddot{a}_{x}}\cdot\left (1+\frac{\delta}{2}\right )-\delta}\\
&&\\ \hline
&&\\
連續保險費 & {\displaystyle \bar{P}_{x}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}}}
& {\displaystyle \bar{P}(\bar{A}_{x})=\frac{1}{\bar{a}_{x}}-\delta}\\
&&\\ \hline
\end{array}\]

假設將每年分成 $h$期，則有三類分期保險費，包括真實保險費、年賦保險費及比例分攤保險費，其計算公式歸納如下表: 分期保險費(每年分成 $h$期)。

\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\mbox{保費類別} & \mbox{年末給付} & \mbox{即刻給付}\\ \hline
&&\\
& {\displaystyle P_{x}^{(h)}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}}}
& {\displaystyle P^{(h)}(\bar{A}_{x})=\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}}}\\
\mbox{真實保險費} &&\\
& \mbox{與年繳保險費$P_{x}$之差額為} & \mbox{與年繳保險費$P(\bar{A}_{x})$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{(h)}\cdot\frac{1}{\ddot{a}_{x}}}
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x})\cdot\frac{1}{\ddot{a}_{x}}}\\
&&\\ \hline
&&\\
& {\displaystyle P_{x}^{[h]}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}\cdot (1-\frac{h-1}{2h}\cdot d)}}
& {\displaystyle P^{[h]}(\bar{A}_{x})=\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}}\\
\mbox{年賦保險費} &&\\
& \mbox{與年繳保險費$P_{x}$之差額為} & \mbox{與年繳保險費$P(\bar{A}_{x})$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{[h]}\cdot d}
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x})\cdot\delta\cdot\left (1-\frac{1}{2\ddot{a}_{x}}\right )}\\
&&\\ \hline
&&\\
& {\displaystyle P_{x}^{\{h\}}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2h}\cdot d\cdot\ddot{a}_{x}}}
& {\displaystyle P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})=\frac{1-\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )}
{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2h}\cdot\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )}}\\
\mbox{比例分攤保險費} &&\\
& \mbox{與年繳保險費$P_{x}$之差額為} & \mbox{與年繳保險費$P(\bar{A}_{x})$之差額為}\\
& {\displaystyle P_{x}^{\{h\}}\cdot\left (\frac{1}{2\ddot{a}_{x}}-\frac{d}{2h}\right )}
& {\displaystyle P^{\{h\}}(\bar{A}_{x})\cdot\left [\left (1+\frac{\delta}{2h}\right )\cdot\frac{1}{2\ddot{a}_{x}}-\frac{\delta}{2h}\right ]}\\
&&\\ \hline
\end{array}\]

繳費期間為q年.

假設被保險人繳費期間為 $q$年而非終身，則其躉繳保險費、年繳保險費及連續保險費之計算公式歸納如下表。

\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\mbox{保費類別} & \mbox{年末給付} & \mbox{即刻給付}\\ \hline
&&\\
\mbox{年繳保險費} & {\displaystyle P_{x,q}=\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left (1-d\cdot\ddot{a}_{x}\right )}
& {\displaystyle P_{q}(\bar{A}_{x})=\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-\delta\cdot\frac{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{連續保險費} & {\displaystyle \bar{P}_{x,q}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{1}{2}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}}
& {\displaystyle \bar{P}_{q}(\bar{A}_{x})=\frac{1-\delta\cdot\bar{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{1}{2}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}}\\
&&\\ \hline
\end{array}\]

假設將每年分成 $h$期，則有三類分期保險費，包括真實保險費、年賦保險費及比例分攤保險費，其計算公式歸納如下表。

\[\begin{array}{|c|c|}\hline
\mbox{繳費方式} & \mbox{真實保險費}\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P_{x,q}^{(h)}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}}\\
\mbox{年末給付} &\\ & \mbox{與年繳保險費$P_{x,q}$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P_{x,q}^{(h)}\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\\
&\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})=\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}}\\
\mbox{即刻給付} &\\ & \mbox{與年繳保險費$P_{q}(\bar{A}_{x})$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{(h)}(\bar{A}_{x})\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\\
&\\ \hline
\end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|}\hline
\mbox{繳費方式} & \mbox{年賦保險費}\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P_{x,q}^{[h]}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\frac{h+1}{2h}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (a_{x:q\!\rceil}+1-d\cdot\ddot{a}_{x}\right )}}\\
\mbox{年末給付} &\\ & \mbox{與年繳保險費$P_{x,q}$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P_{x,q}^{[h]}\cdot\left (1+d\cdot\ddot{a}_{x}-\frac{1+a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\\
&\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})=\frac{1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})}{\frac{h+1}{2h}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (a_{x:q\!\rceil}+1-\delta\cdot (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2})\right )}}\\
\mbox{即刻給付} &\\ & \mbox{與年繳保險費$P_{q}(\bar{A}_{x})$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{[h]}(\bar{A}_{x})\cdot\left (1+\delta\cdot\frac{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-\frac{1+a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\\
&\\ \hline
\end{array}\]

\[\begin{array}{|c|c|}\hline
\mbox{繳費方式} & \mbox{比例分攤保險費}\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P_{x,q}^{\{h\}}
=\frac{2h\cdot\left (1-d\cdot\ddot{a}_{x}\right )}{(h+1)\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+(h-1)\cdot a_{x:q\!\rceil}-1+d\cdot\ddot{a}_{x}}}\\
\mbox{年末給付} &\\ & \mbox{與年繳保險費$P_{x,q}$之差額為}\\
& {\displaystyle P_{x,q}^{\{h\}}\cdot\left [\frac{1}{2h}\cdot\left (\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-d\cdot\ddot{a}_{x}\right )
-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\right ]}\\
&\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x})=\frac{2h\cdot\left (1-\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )\right )}
{(h+1)\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+(h-1)\cdot a_{x:q\!\rceil}-1+\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )}}\\
\mbox{即刻給付} &\\ & \mbox{與年繳保險費$P_{q}(\bar{A}_{x})$之差額為}\\
& {\displaystyle P_{q}^{\{h\}}(\bar{A}_{x})\cdot\left [\frac{1}{2h}\cdot\left (\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-\delta\cdot
\frac{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )+\frac{h-1}{2h}\cdot
\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\right ]}\\
&\\ \hline
\end{array}\]