營業總保險費

Anton Hansch (1813-1876) 奧地利畫家。

本頁有以下小節

上述所求得之保險費乃為純保險費以符號 $P$表示，然而真正的總保險費需再考慮附加保險費，此總保險費以符號 $P’$表示。因此，計算總保險費之前須先決定附加保險費之算法，而附加保險費之計算一般可依下列兩個方式來決定:

(i) 附加保險費可按純保險費 $P$或總保險費 $P’$之比例附加。

常數法: 其附加保險費係額外增加一常數用 $C$，因此總保險費 $P’$之計算式為 $P’=P+C$。

比例法: 係按比例增加

若附加保險費係依純保險費 $P$之比例 $\kappa$附加，則總保險費 $P’$之計算式為
\[P’=P+\kappa\cdot P=(1+\kappa )\cdot P\mbox{。}\]
若附加保險費係依總保險費 $P’$之比例 $\kappa$附加，則總保險費 $P’$之計算式為
\[P’=P+\kappa\cdot P’\mbox{，}\]
因此，可解得
\[P’=\frac{1}{1-\kappa}\cdot P\mbox{。}\]

比例及常數法: 係同時按常數法及比例法增加。

若附加保險費係額外增加一常數用 $C$及依純保險費 $P$之比例 $\kappa$增加，則總保險費 $P’$之計算式為
\[P’=P+\kappa\cdot P+C=(1+\kappa )\cdot P+C\mbox{。}\]
若附加保險費係額外增加一常數用 $C$及依總保險費 $P’$之比例 $\kappa$增加，則總保險費 $P’$之計算式為
\[P’=P+\kappa\cdot P’+C\mbox{，}\]
因此，可解得
\[P’=\frac{1}{1-\kappa}\cdot (P+C)\mbox{。}\]

(ii) 附加保險費可按保單之招攬、簽發、維持、保全契約等等所需之經費，依照支出時間及型態附加，而其組成要素可考慮下列三種:

訂定新契約所需之費用: 這是保險公司招攬新契約時，於第一年所必須支付之費用，其中包括獎金、佣金及體檢費用等等所需之費用。通常係以單位保額為基礎計算。
維持費用: 從契約第一年度開始，為維持整個保險期間契約保全之有效性必須額外支付之費用，例如人事成本等等。通常亦以單位保額為基礎計算。而維持費用又根據繳費期間及繳費期滿來分別收取不同保額。
公司之收費費用: 通常係按總保險費 $P’$之一定比率來計算。其收費方式又根據簽訂新契約時之收費費用比率、繳費期間之收費費用比率及繳費期滿後之收費費用比率來分別計算不同之收費費用。

總保險費之計算也是依照收支平衡原則，其計算公式如下:
\begin{align}
\mbox{總保險費現值} & =\mbox{純保險費現值}+\mbox{附加保險費現值}\nonumber\\
& =\mbox{純保險費現值}+\mbox{新契約費用}+\mbox{維持費用現值}+\mbox{收費費用現值。}\label{eq388}\tag{1}
\end{align}
接著將推導各種不同型式壽險之營業總保險費。

\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}

終身壽險營業總保險費.

自保險契約有效之日起，被保險人不論何時身故，保險公司皆得給付 $1$元保險金。附加保險費之組成要素考慮如下:

訂定新契約所需之費用以符號 $\alpha$表之。
公司之收費費用通常係按總保險費 $P’$之一定比率來計算。簽訂新契約之公司收費費用比率以符號 $\gamma^{\prime\prime}$表之，
因此實際之公司收費費用為 $\gamma^{\prime\prime}\cdot P’$。

躉繳營業總保險費.

依收支平衡原則，如(\ref{eq388})式所示，則躉繳營業總保險費計算公式如下。

若採用身故當年末給付保險金方式，其躉繳營業總保險費以符號 $A_{x}^{\prime}$表之。依收支平衡原則及定期生死合險保險費頁之(1)式，可得
\[A_{x}^{\prime}=A_{x}+\alpha +\gamma^{\prime\prime}\cdot A_{x}^{\prime}
=1-d\cdot\ddot{a}_{x}+\alpha +\gamma^{\prime\prime}\cdot A_{x}^{\prime}\mbox{。}\]
經移項後得總保險費之計算公式
\[A_{x}^{\prime}=\frac{1+\alpha -d\cdot\ddot{a}_{x}}{1-\gamma^{\prime\prime}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot A_{x}^{\prime}$。
若採用身故即刻給付保險金方式，其躉繳營業總保險費以符號 $\bar{A}_{x}^{\prime}$表之。依收支平衡原則及定期壽險保險費頁之(3)式，可得
\[\bar{A}_{x}^{\prime}=\bar{A}_{x}+\alpha+\gamma^{\prime\prime}\cdot A_{x}^{\prime}
=\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot a_{x}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x}+1+\alpha
+\gamma^{\prime\prime}\cdot A_{x}^{\prime}\mbox{。}\]
經移項後得總保險費之計算公式
\[\bar{A}_{x}^{\prime}=\frac{2+2\alpha +\left (1-\delta\right )\cdot a_{x}-\left (1+\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x}}
{2\cdot\left (1-\gamma^{\prime\prime}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故即刻給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot\bar{A}_{x}^{\prime}$。

年繳營業總保險費.

將分別討論繳費期間為終身及繳費期間為 $q$年之不同情形。

繳費終身.

首先考慮繳費期間為終身，訂定新契約所需之費用以符號 $\alpha$表之。其它附加保險費之組成要素如下: 每年所需繳交之維持費用以符號 $\beta$表之，假設年初繳費，則繳費總現值為
\begin{align*}
& \beta +\beta\cdot v\cdot {}_{1}p_{x}+\beta\cdot v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+
\cdots +\beta\cdot v^{\omega -x}\cdot {}_{\omega -x}p_{x}\\
& \quad =\beta\cdot\left (1+v\cdot {}_{1}p_{x}+v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+\cdots +
v^{\omega -x}\cdot {}_{\omega -x}p_{x}\right )=\beta\cdot\ddot{a}_{x}\mbox{。}
\end{align*}

公司之收費費用通常係按總保險費 $P’$之一定比率來計算。

簽訂新契約時此收費費用比率以符號 $\gamma^{\prime\prime}$表之，因此實際之公司收費費用為 $\gamma^{\prime\prime}\cdot P’$。
每年所需繳交之公司收費費用以符號 $\gamma$表之，假設年初繳費，則繳費總現值為 $\gamma\cdot P’\cdot\ddot{a}_{x}$。

年繳營業總保險費計算公式如下。

(i) 若採用身故當年末給付保險金方式，其年繳營業總保險費以符號 $P_{x}^{\prime}$表之。若 $t$年後仍然生存時，其年繳營業總保險費 $P_{x}^{\prime}$之現值為
\[P_{x}^{\prime}\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}=P_{x}^{\prime}\cdot {}_{t}E_{x}\mbox{。}\]
因此總保費收入現值為
\[P_{x}^{\prime}\cdot {}_{0}E_{x}+P_{x}^{\prime}\cdot {}_{1}E_{x}
+P_{x}^{\prime}\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots +P_{x}^{\prime}\cdot {}_{\omega -x}E_{x}
=P_{x}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x}\mbox{。}\]
同理，純保險費的現值為 $P_{x}\cdot\ddot{a}_{x}$，依據收支平衡原則(\ref{eq388})式可得
\[P_{x}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x}=P_{x}\cdot\ddot{a}_{x}+\left (\alpha +
\beta\cdot\ddot{a}_{x}+\gamma^{\prime\prime}\cdot P_{x}^{\prime}+
\gamma\cdot P_{x}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x}\right )\mbox{。}\]
依據終身壽險保費頁之(7)式，經移項後得總保險費之計算公式
\begin{align*}
P_{x}^{\prime} & =\frac{1}{1-\gamma -\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x}}}
\cdot\left (P_{x}+\beta +\frac{\alpha}{\ddot{a}_{x}}\right )\\
& =\frac{1}{1-\gamma -\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x}}}\cdot
\left (\beta -d+\frac{1+\alpha}{\ddot{a}_{x}}\right )\mbox{ (依據終身壽險保費頁之(7)式)}\\
& =\frac{1+\alpha +(\beta -d)\cdot\ddot{a}_{x}}{(1-\gamma )\cdot\ddot{a}_{x}-\gamma^{\prime\prime}}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot P_{x}^{\prime}$。

(ii) 若採用身故即刻給付保險金方式，其年繳營業總保險費以符號 $P(\bar{A}_{x}^{\prime})$表之。因總保險費的現值為 $P(\bar{A}_{x}^{\prime})\cdot\ddot{a}_{x}$及純保險費的現值為 $P(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x}$，依據收支平衡原則，可得
\[P(\bar{A}_{x}^{\prime})\cdot\ddot{a}_{x}=P(\bar{A}_{x})\cdot\ddot{a}_{x}+\left (\alpha +\beta\cdot\ddot{a}_{x}
+\gamma^{\prime\prime}\cdot P(\bar{A}_{x}^{\prime})+\gamma\cdot P(\bar{A}_{x}^{\prime})\cdot\ddot{a}_{x}\right )\mbox{。}\]
依據終身壽險保費頁之(10)式，經移項後得總保險費之計算公式
\begin{align*}
P(\bar{A}_{x}^{\prime}) & =\frac{1}{1-\gamma -\frac{\gamma^{\prime\prime}}
{\ddot{a}_{x}}}\cdot\left (P(\bar{A}_{x})+\beta+\frac{\alpha}{\ddot{a}_{x}}\right )\\
& =\frac{1}{1-\gamma -\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x}}}
\cdot\left [\frac{1}{\ddot{a}_{x}}\cdot\left (1+\frac{\delta}{2}\right )-\delta
+\beta +\frac{\alpha}{\ddot{a}_{x}}\right ]\mbox{ (依據終身壽險保費頁之(10)式)}\\
& =\frac{1+\frac{\delta}{2}+\alpha +(\beta -\delta )\cdot\ddot{a}_{x}}
{(1-\gamma )\cdot\ddot{a}_{x}-\gamma^{\prime\prime}}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人身故即刻給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot P(\bar{A}_{x}^{\prime})$。

繳費期間為q年.

假設年繳保費之繳費期間為 $q$年，其它附加保險費之組成要素如下: 每年所需繳交之維持費用以符號 $\beta$表之，假設年初繳費，則繳費總現值為
\begin{align*}
& \beta +\beta\cdot v\cdot {}_{1}p_{x}+\beta\cdot v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+\cdots +\beta\cdot v^{q-1}\cdot {}_{q-1}p_{x}\\
& \quad = beta\cdot\left (1+v\cdot {}_{1}p_{x}+v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+\cdots +
v^{q-1}\cdot {}_{q-1}p_{x}\right )=\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}

公司之收費費用通常係按總保險費 $P’$之一定比率來計算。

簽訂新契約時此收費費用比率以符號 $\gamma^{\prime\prime}$表之，因此實際之公司收費費用為 $\gamma^{\prime\prime}\cdot P’$。
每年所需繳交之公司收費費用以符號 $\gamma$表之，假設年初繳費，則繳費總現值為 $\gamma\cdot P’\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}$。

年繳營業總保險費計算公式如下。

(i) 若採用身故當年末給付保險金方式，其年繳營業總保險費以符號 $P_{x,q}^{\prime}$表之，則總保費收入現值為
\[P_{x,q}^{\prime}\cdot {}_{0}E_{x}+P_{x,q}^{\prime}\cdot {}_{1}E_{x}
+P_{x,q}^{\prime}\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots +P_{x,q}^{\prime}\cdot {}_{q-1}E_{x}
=P_{x,q}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\mbox{。}\]
同理，純保險費的現值為 $P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}$，依據收支平衡原則(\ref{eq388})式可得
\[P_{x,q}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}=P_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
+\left (\alpha +\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+\gamma^{\prime\prime}\cdot P_{x,q}^{\prime}+
\gamma\cdot P_{x,q}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\right )\mbox{。}\]
依據終身壽險保費頁之(9)式經移項後得總保險費之計算公式
\begin{align*}
P_{x,q}^{\prime} & =\frac{1}{1-\gamma-\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}}
\cdot\left (P_{x,q}+\beta +\frac{\alpha}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\\
& =\frac{1}{1-\gamma -\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}}\cdot
\left (\beta -d\cdot\ddot{a}_{x}+\frac{1+\alpha}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{ (依據終身壽險保費頁之(9)式)}\\
& =\frac{1+\alpha +(\beta -d\cdot\ddot{a}_{x})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
{(1-\gamma )\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\gamma^{\prime\prime}}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot P_{x,q}^{\prime}$。

(ii) 若採用身故即刻給付保險金方式，其年繳營業總保險費以符號 $P(\bar{A}_{x,q}^{\prime})$表之。因總保險費的現值為 $P(\bar{A}_{x,q}^{\prime})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}$及純保險費的現值為 $P(\bar{A}_{x,q})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}$，依據收支平衡原則，可得
\[P(\bar{A}_{x,q}^{\prime})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}=P(\bar{A}_{x,q})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+
\left (\alpha +\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+\gamma^{\prime\prime}\cdot P(\bar{A}_{x,q}^{\prime})+
\gamma\cdot P(\bar{A}_{x,q}^{\prime})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\right )\mbox{。}\]
依據終身壽險保費頁之(11)式，經移項後得總保險費之計算公式
\begin{align*}
P(\bar{A}_{x,q}^{\prime}) & =\frac{1}{1-\gamma-\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}}\cdot\left (P(\bar{A}_{x,q})
+\beta +\frac{\alpha }{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\\
& =\frac{1}{1-\gamma-\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}}
\cdot\left [\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-\delta\cdot\frac{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
+\frac{\alpha +\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right ]\mbox{ (依據終身壽險保費頁之(11)式)}\\
& =\frac{1+\alpha +\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\right )}
{(1-\gamma )\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\gamma^{\prime\prime}}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人身故即刻給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot P(\bar{A}_{x,q}^{\prime})$。

\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}

定期壽險營業總保險費.

假設被保險人投保 $n$年定期壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後 $n$年內身故時，保險公司得給付保險金 $1$元。假設年繳保費之繳費期間為 $q$年而保單契約之保障期間為 $n$年，其中 $q<n$。當然允許 $q=n$，也就是年繳保費之繳費期間與保障期間皆相同為 $n$年。

躉繳營業總保險費.

訂定新契約所需之費用以符號 $\alpha$表之，其它附加保險費之組成要素如下: 於保障期間 $n$年內，此維持費用以符 $\beta^{\prime}$表之，而繳費總現值為
\begin{align*}
& \beta^{\prime} +\beta^{\prime}\cdot v\cdot {}_{1}p_{x}+\beta^{\prime}\cdot v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+
\cdots +\beta^{\prime}\cdot v^{n-1}\cdot {}_{n-1}p_{x}\\
& \quad =\beta^{\prime}\cdot\left (1+v\cdot {}_{1}p_{x}+v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+\cdots +
v^{n-1}\cdot {}_{n-1}p_{x}\right )=\beta^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}

公司之收費費用通常係按總保險費 $P’$之一定比率來計算。

簽訂新契約之公司收費費用比率以符號 $\gamma^{\prime\prime}$表之，因此實際之收費費用為 $\gamma^{\prime\prime}\cdot P’$。
於保障期間 $n$年內，此公司收費費用比率以符號 $\gamma^{\prime}$表之，而收費總現值為 $\gamma^{\prime}\cdot P’\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}$。

躉繳營業總保險費計算公式如下。

(i) 若採用身故當年末給付保險金方式，其躉繳營業總保險費以符號 $A_{x:n\!\rceil}^{1\prime}$表之。依收支平衡原則及定期壽險保險費頁之(1)式，可得
\begin{align*}
A_{x:n\!\rceil}^{1\prime} & = A_{x:n\!\rceil}^{1}+\alpha +\beta^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\gamma^{\prime\prime}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1\prime}+\gamma\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\\
& =(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}+\alpha+\beta^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\gamma^{\prime\prime}
\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1\prime}+\gamma\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
經移項後得總保險費之計算公式
\[A_{x:n\!\rceil}^{1\prime}=\frac{\alpha -a_{x:n\!\rceil}+\left (1-d+\beta^{\prime}\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
{1-\gamma^{\prime\prime}-\gamma\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人保險契約期滿仍生存時或身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1\prime}$。

(ii) 若採用身故即刻給付保險金方式，其躉繳營業總保險費以符號 $\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime}$表之。依收支平衡原則及定期壽險保險費頁之(3)式，可得
\begin{align*}
\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime} & =\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+\alpha +\beta^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\gamma^{\prime\prime}\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime}+\gamma\cdot \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}+\alpha
+\beta^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\gamma^{\prime\prime}\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime}
+\gamma\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
經移項後得總保險費之計算公式
\[\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime}=\frac{2\alpha -\left (1+\delta\right )\cdot
a_{x:n\!\rceil}+\left (1-\delta +2\beta^{\prime}\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
{2\cdot\left (1-\gamma^{\prime\prime}-\gamma\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人保險契約期滿仍生存時或身故即刻給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime}$。

年繳營業總保險費.

除了訂定新契約所需之費用 $\alpha$外，其它附加保險費之組成要素考慮如下: 維持費用將分成繳費期間及繳費期滿討論。

於繳費期間，此維持費用以符號 $\beta$表之。假設年初繳費，則繳費 $q$年之總現值為
\begin{align*}
& \beta +\beta\cdot v\cdot {}_{1}p_{x}+\beta\cdot v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+\cdots +\beta\cdot v^{q-1}\cdot {}_{q-1}p_{x}\\
& \quad =\beta\cdot\left (1+v\cdot {}_{1}p_{x}+v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+\cdots +v^{q-1}\cdot {}_{q-1}p_{x}\right )
=\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
於繳費期滿 $q$年後但仍在保障期間 $n$年內，此維持費用以符號 $\beta^{\prime}$表之，而繳費總現值為
\[\begin{align}
& \beta^{\prime} v^{u}\cdot {}_{q}p_{x}+\beta^{\prime}\cdot v^{u+1}\cdot {}_{u+1}p_{x}
+\beta^{\prime}\cdot v^{u+2}\cdot {}_{u+2}p_{x}+\cdots +\beta^{\prime}\cdot v^{n-1}\cdot {}_{n-1}p_{x}\\
& \quad =\beta^{\prime}\cdot\left [\left (1+v\cdot {}_{1}p_{x}
+v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+\cdots +v^{n-1}\cdot {}_{n-1}p_{x}\right )\right .\\
& \quad \left .-\left (1+v\cdot {}_{1}p_{x}+v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+\cdots +v^{q-1}\cdot {}_{q-1}p_{x}\right )\right ]\\
& \quad =\beta^{\prime}\cdot\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\right )\mbox{。}
\end{align}\]

公司之收費費用通常係按總保險費 $P’$之一定比率來計算。

簽訂新契約之公司收費費用比率以符號 $\gamma^{\prime\prime}$表之，因此實際之收費費用為 $\gamma^{\prime\prime}\cdot P’$。
於繳費期間，此公司收費費用比率以符號 $\gamma$表之。假設年初繳費，則繳費 $q$年之總現值為 $\gamma\cdot P’\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}$。
於繳費期滿 $q$年後但仍在保障期間 $n$年內，此公司收費費用比率以符號 $\gamma^{\prime}$表之，而收費總現值為 $\gamma^{\prime}\cdot P’\cdot (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:q\!\rceil})$。

年繳營業總保險費計算公式如下。

(i) 假設年繳保費之繳費期間與保障期間皆相同為 $n$年。

若採用身故當年末給付保險金方式，其年繳營業總保險費以符號 $P_{x:n\!\rceil}^{1\prime}$表之。因總保險費的現值為 $P_{x:n\!\rceil}^{1\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}$及純保險費的現值為 $P_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}$，
依收支平衡原則可得
\[P_{x:n\!\rceil}^{1\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}=
P_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\left (\alpha +
\beta\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\gamma^{\prime\prime}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{\prime}+
\gamma\cdot P_{x:n\!\rceil}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\right )\mbox{。}\]
依據定期壽險保險費頁之(6)式，經移項後得總保險費之計算公式
\begin{align*}
P_{x:n\!\rceil}^{1\prime} & =\frac{1}{1-\gamma
-\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}^{1}
+\frac{\alpha}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\beta\right )\\
& =\frac{1}{1-\gamma -\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}
\cdot\left (-d+1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
+\frac{\alpha}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\beta\right )\mbox{ (依據定期壽險保險費頁之(6)式)}\\
& =\frac{\alpha -a_{x:n\!\rceil}+\left (\beta -d+1\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
{\left (1-\gamma\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\gamma^{\prime\prime}}\mbox{。}
\end{align*}
若採用身故即刻給付保險金方式，其年繳營業總保險費以符號 $P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime})$表之。因總保險費的現值為 $P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}$及純保險費的現值為 $P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}$，依收支平衡原則可得
\[P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}=
P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\left (\alpha +\beta\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+
\gamma^{\prime\prime}\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime})+
\gamma\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\right )\mbox{。}\]
依據定期壽險保險費頁之(10)式，經移項後得總保險費之計算公式
\begin{align*}
P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime}) & =\frac{1}{1-\gamma-\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\cdot
\left (P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+\frac{\alpha}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\beta\right )\\
& =\frac{1}{1-\gamma -\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\cdot\left [\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot\frac{a_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\frac{\alpha}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\beta\right ]\\
& =\frac{2\alpha -(1+\delta )\cdot a_{x:n\!\rceil}+\left (2\beta -\delta +1\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
{2\cdot\left (1-\gamma\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-2\gamma^{\prime\prime}}\mbox{。}
\end{align*}

(ii) 假設年繳保費之繳費期間為 $q$年與契約保障期間 $n$年不同，其中 $q<n$。

若採用身故當年末給付保險金方式，其年繳營業總保險費以符號 $P_{x:q\!\rceil}^{1\prime}$表之。因總保險費的現值為 $P_{x:q\!\rceil}^{1\prime}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}$及純保險費的現值為 $P_{x:q\!\rceil}^{1}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}$，依據收支平衡原則可得
\begin{align*}
P_{x:q\!\rceil}^{1\prime}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil} & =P_{x:q\!\rceil}^{1}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+\alpha
+\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+\beta^{\prime}\cdot\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\right )\\
&\quad +\gamma^{\prime\prime}\cdot P_{x:q\!\rceil}^{1\prime}
+\gamma\cdot P_{x:q\!\rceil}^{1\prime}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
+\gamma^{\prime}\cdot P_{x:q\!\rceil}^{1\prime}\cdot (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:q\!\rceil})\mbox{。}
\end{align*}
依據定期壽險保險費頁之(6)式，經移項後得總保險費之計算公式
\begin{align*}
P_{x:q\!\rceil}^{1\prime} & =\frac{1}{1-\gamma +\gamma^{\prime}
-\frac{\gamma^{\prime\prime}+\gamma^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}}\cdot\left [P_{x:q\!\rceil}^{1}+\beta -\beta^{\prime}
+\frac{\alpha +\beta^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right ]\\
& =\frac{1}{1-\gamma +\gamma^{\prime}-\frac{\gamma^{\prime\prime}+\gamma^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}}\cdot\left [\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-a_{x:n\!\rceil}\right )+\beta -\beta^{\prime}+\frac{\alpha +\beta^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right ]\\
& =\frac{\left (\beta^{\prime}-d+1\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}+\alpha +\left (\beta -\beta^{\prime}\right )
\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\left (1-\gamma +\gamma^{\prime}\right )\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
-\gamma^{\prime\prime}-\gamma^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人身故即刻給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot P_{x:q\!\rceil}^{1\prime}$。
若採用身故即刻給付保險金方式，其躉繳營業總保險費以符號 $P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime})$表之。因總保險費的現值為 $P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}$及純保險費的現值為 $P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}$，依據收支平衡原則可得
\begin{align*}
P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil} & =P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
+\alpha +\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+\beta^{\prime}\cdot\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\right )\\
& \quad +\gamma^{\prime\prime}\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime})
+\gamma\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
+\gamma^{\prime}\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime})\cdot (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:q\!\rceil})\mbox{。}
\end{align*}

假設保險公司需於被保險人身故即刻給付$\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1\prime})$。

\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}

延期之終身壽險營業總保險費.

延期 $m$年之終身壽險係指保單契約約定被保險人若於 $m$年末仍生存，則當被保險人在該年之後身故時，保險公司需給付 $1$元保險金。假設年繳保費之繳費期間為 $q$年。

躉繳營業總保險費.

依收支平衡原則，如(\ref{eq388})式所示，則躉繳營業總保險費計算公式如下。若採用身故當年末給付保險金方式，
其躉繳營業總保險費以符號 $A_{x}^{\prime}$表之。依收支平衡原則及(\ref{eq390})式，可得
\begin{align*}
A_{x}^{\prime} & =A_{x}+\alpha +\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+\gamma^{\prime\prime}\cdot A_{x}^{\prime}
+\gamma\cdot A_{x}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\\
& =1-d\cdot\ddot{a}_{x}+\alpha +\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
+\gamma\cdot A_{x}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
經移項後得總保險費之計算公式
\[A_{x}^{\prime}=\frac{1+\alpha -d\cdot\ddot{a}_{x}+\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
{1-\gamma^{\prime\prime}-\gamma\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot A_{x}^{\prime}$。

\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}

定期生死合險營業總保險費.

假設被保險人投保 $n$年定期生死合險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後 $n$年內身故或保險契約期滿仍生存時，保險公司皆得給付保險金 $1$元。附加保險費之組成要素考慮如下:

訂定新契約所需之費用: 這是保險公司招攬新契約時，於第一年所必須支付之費用，其中包括獎金、佣金及體檢費用等等所需之費用。通常係以單位保額為基礎計算，此費用以符號 $\alpha$表之。
維持費用: 假設年繳保費之繳費期間為 $q$年而保單契約之保障期間為 $n$年，其中 $q<n$。從契約第一年度開始至契約終止為止，為維持整個保險期間契約保全之有效性必須額外支付之費用，例如人事成本等等。通常亦以單位保額為基礎計算。於繳費期間此維持費用以符 $\beta$表之。

假設年初繳費，則繳費 $q$年之總現值為
\begin{align*}
& \beta +\beta\cdot v\cdot {}_{1}p_{x}+\beta\cdot v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+
\cdots +\beta\cdot v^{q-1}\cdot {}_{q-1}p_{x}\\
& \quad =\beta\cdot\left (1+v\cdot {}_{1}p_{x}+v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+\cdots +v^{q-1}\cdot {}_{q-1}p_{x}\right )
=\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
若於繳費期滿 $q$年後但仍在保障期間 $n$年內，此維持費用以符號 $\beta^{\prime}$表之，而繳費總現值為
\begin{align*}
& \beta^{\prime} v^{u}\cdot {}_{q}p_{x}+\beta^{\prime}\cdot v^{u+1}\cdot {}_{u+1}p_{x}
+\beta^{\prime}\cdot v^{u+2}\cdot {}_{u+2}p_{x}+\cdots +\beta^{\prime}\cdot v^{n-1}\cdot {}_{n-1}p_{x}\\
& \quad =\beta^{\prime}\cdot\left [\left (1+v\cdot {}_{1}p_{x}+v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+\cdots +
v^{n-1}\cdot {}_{n-1}p_{x}\right )\right .\\
& \quad\quad \left .-\left (1+v\cdot {}_{1}p_{x}+v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+\cdots +v^{q-1}\cdot {}_{q-1}p_{x}\right )\right ]\\
& \quad =\beta^{\prime}\cdot\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\right )\mbox{。}
\end{align*}

公司之收費費用: 通常係按總保險費 $P’$之一定比率來計算。簽訂新契約時此收費費用比率以符號 $\gamma^{\prime\prime}$表之，
因此實際之收費費用為 $\gamma^{\prime\prime}\cdot P’$。於繳費期間此收費費用比率以符號 $\gamma$表之。假設年初繳費，則繳費$q$年之總現值為
\[\gamma\cdot P’\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\mbox{。}\]
若於繳費期滿 $q$年後但仍在保障期間 $n$年內，此收費費用比率以符號 $\gamma^{\prime}$表之，而收費總現值為
\[\gamma^{\prime}\cdot P’\cdot\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\right )\mbox{。}\]

上述之各項費用可用下表說明:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
& \mbox{第一年費用} & \mbox{續年費用} & \mbox{續年費用}\\ \hline
& \mbox{簽訂新契約之當時費用} & \mbox{繳費期間每年繼續支付} & \mbox{繳費期滿每年繼續支付}\\ \hline
\mbox{單位保額} & \alpha & \beta & \beta^{\prime}\\ \hline
\mbox{收費費用比率} & \gamma^{\prime\prime} & \gamma & \gamma^{\prime}\\ \hline
&&&\\
\mbox{保單簽約時之現值} & \alpha +\gamma^{\prime\prime}\cdot P’
& (\beta +\gamma\cdot P’)\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
& (\beta^{\prime}+\gamma^{\prime}\cdot P’)\cdot (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:q\!\rceil})\\
&&&\\ \hline
\end{array}\]

躉繳營業總保險費.

若採用身故當年末給付保險金方式，其躉繳營業總保險費以符號 $A_{x:n\!\rceil}^{\prime}$表之。而其附加保險費之現值包括新契約費 $\alpha$及維持費用 $\beta\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}$。依收支平衡原則，如(\ref{eq388})式所示，依據定期生死合險保險費頁之(1)式，可得
\begin{align*}
A_{x:n\!\rceil}^{\prime} & =A_{x:n\!\rceil}+\alpha+\beta^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\\
& =1-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\alpha+\beta^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\mbox{ (依據定期生死合險保險費頁之(1)式)}\\
& =\alpha +\left (1-d+\beta^{\prime}\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人保險契約期滿仍生存時或身故當年末給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot A_{x:n\!\rceil}^{\prime}$。

若採用身故即刻給付保險金方式，其躉繳營業總保險費以符號 $A_{x:n\!\rceil}^{\prime}$表之。依收支平衡原則及定期生死合險保險費頁之(2)式，，可得
\begin{align*}
\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{\prime} & =\bar{A}_{x:n\!\rceil}+\alpha+\beta^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1+\alpha
+\beta^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\mbox{ (依據定期生死合險保險費頁之(2)式)}\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta +2\beta^{\prime}\right )
\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1+\alpha\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人保險契約期滿仍生存時或身故即刻給付 $\Lambda$元保險金，則躉繳純保費應為 $\Lambda\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{\prime}$。

年繳營業總保險費.

而其附加保險費之現值除了新契約費 $\alpha$及維持費用 $\beta\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}$，還有收費費用。因此，需分別討論年繳保費之繳費期間與保障期間相同與不同之情形。

(i) 假設年繳保費之繳費期間與保障期間皆相同為 $n$年。其收費費用包括第一年收費費用之現值 $\gamma^{\prime\prime}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{\prime}$及續年收費費用之現值 $\gamma\cdot P_{x:n\!\rceil}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}$。

若採用身故當年末給付保險金方式，其年繳營業總保險費以符號 $P_{x:n\!\rceil}^{\prime}$表之。因總保險費的現值為 $P_{x:n\!\rceil}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}$及純保險費的現值為 $P_{x:n\!\rceil}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}$，依據收支平衡原則
\[\mbox{總保險費的現值}=\mbox{純保險費的現值}+\mbox{附加保險費現值。}\]
因此可得
\[P_{x:n\!\rceil}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}=P_{x:n\!\rceil}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\left (\alpha +
\gamma^{\prime\prime}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{\prime}+\beta\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+
\gamma\cdot P_{x:n\!\rceil}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\right )\mbox{。}\]
依據定期生死合險保險費頁之(5)式，經移項後得總保險費之計算公式
\begin{align*}
P_{x:n\!\rceil}^{\prime} & =\frac{1}{1-\gamma-\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}
+\frac{\alpha}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\beta\right )\\
& =\frac{1}{1-\gamma-\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\cdot\left (
+\frac{1+\alpha}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\beta -d\right )\mbox{ (依據定期生死合險保險費頁之(5)式)。}
\end{align*}
若採用身故即刻給付保險金方式，其年繳營業總保險費以符號 $P(A_{x:n\!\rceil}^{\prime})$表之。依據收支平衡原則，可得
\[P(A_{x:n\!\rceil}^{\prime})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}=P(A_{x:n\!\rceil})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\left (\alpha +
\gamma^{\prime\prime}\cdot P(A_{x:n\!\rceil}^{\prime})+\beta\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+
\gamma\cdot P(A_{x:n\!\rceil}^{\prime})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\right )\mbox{。}\]
依據定期生死合險保險費頁之(8)式，經移項後得總保險費之計算公式
\begin{align*}
P(A_{x:n\!\rceil}^{\prime}) & =\frac{1}{1-\gamma
-\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\cdot\left (P(A_{x:n\!\rceil})
+\frac{\alpha}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\beta\right )\\
& =\frac{1}{1-\gamma -\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}
\cdot\left [\frac{1}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )
\cdot\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
+\frac{\alpha}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\beta\right ]\mbox{ (依據定期生死合險保險費頁之(8)式)。}
\end{align*}

(ii) 假設年繳保費之繳費期間為 $q$年與契約保障期間 $n$年不同，其中 $q<n$。其收費費用包括第一年收費費用之現值 $\gamma^{\prime\prime}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{\prime}$，續年繳費期間收費費用之現值 $\gamma\cdot P_{x:n\!\rceil}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}$及續年繳費期滿收費費用之現值 $(\beta^{\prime}+\gamma^{\prime}\cdot P_{x:q\!\rceil}^{\prime})\cdot(\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:q\!\rceil})$。其年繳營業總保險費以符號 $P_{x:q\!\rceil}^{\prime}$表之，依據收支平衡原則可得
\begin{align*}
P_{x:q\!\rceil}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil} & =P_{x:q\!\rceil}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\\
& \quad +\left [\alpha +\gamma^{\prime\prime}\cdot P_{x:q\!\rceil}^{\prime}+\beta\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+
\gamma\cdot P_{x:q\!\rceil}^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
+\left (\beta^{\prime}+\gamma^{\prime}\cdot P_{x:q\!\rceil}^{\prime}\right )\cdot
\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}
經移項後得總保險費之計算公式
\[P_{x:q\!\rceil}^{\prime}=\frac{1}{1-\gamma +\gamma^{\prime}
-\frac{\gamma^{\prime\prime}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
-\frac{\gamma^{\prime}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}}\cdot\left [P_{x:q\!\rceil}
+\frac{\alpha}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}+\beta^{\prime}\cdot\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
+(\beta -\beta^{\prime})\right ]\mbox{。}\]