每年遞增數次之人壽保險金

William Keith (1838-1911) was a Scottish-American painter.

本頁有以下小節

此類型之壽險其給付之額度不只是每年增加一次而是一年分數次增加。換句話說，如被保險人在同一年身故但在當年之不同時段時，則其給付金額亦有差異。

\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}

每年遞增數次之終身壽險.

假設每年分成 $h$期，每年遞增 $h$次之終身壽險可分為期末給付、即刻給付與瞬時遞增型之即刻給付。

期末給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保每年遞增 $h$次之期末給付終身壽險，保單契約約定，被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$年內(即第 $1$年內之第 $1/h$期內)身故時，於第 $1/h$年末給付保險金 $1/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內(即第 $1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內)身故時，於第 $2/h$年末給付保險金 $2/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $1/h$元。依此類推，例如在第 $t$至 $t+(1/h)$年內(即第 $t+1$年內之第 $1/h$期內)身故時，於第 $t+(1/h)$年末給付保險金 $t+(1/h)$元，在第 $t+(1/h)$至 $t+(2/h)$年內(即第 $t+1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內)身故時，於第 $t+(2/h)$年末給付保險金 $t+(2/h)$元，如此繼續下去，至被保險人身故為止，其被保險人之總給付現值以符號 $(I^{(h)}A)_{x}$表示。為便於計算，我們取其近似值，也就是考慮第 $x+t$年至 $x+t+1$年之平均保險金。當然，在第 $x+t$年至 $x+t+1$年間只會身故一次。因此可假設在第 $x+t$年至 $x+t+1$年間之每一期皆身故(共 $h$期)，計算其總給付保險金，然後再平均即可得第 $x+t$年至 $x+t+1$年之平均保險金。很明顯地，其總給付保險金為
\[\frac{1}{h}\cdot\sum_{s=1}^{h}\left (t\cdot h+s\right )=h\cdot t+\frac{h+1}{2}\mbox{元。}\]
取上式之平均(共 $h$期)，則可近似地解釋成在保單契約生效後之第 $t+1$年內身故時，保險公司需於 $t+1$年末給付保險金
\begin{equation}{\label{eq154}}\tag{24}
t+\frac{h+1}{2h}\mbox{。}
\end{equation}
換句話說，上述之每年遞增 $h$次之期末給付終身壽險可近似的解釋成保單契約生效後之第 $1$年內(即(\ref{eq154})式之 $t=0$)身故時，保險公司需於第 $1$年末給付保險金 $(h+1)/2h$元，第 $2$年內(即(\ref{eq154})式之 $t=1$)身故時，保險公司需於第 $2$年末給付保險金 $1+(h+1)/2h$元，第 $3$年內(即(\ref{eq154})式之 $t=2$)身故時，保險公司需於第 $3$年末給付保險金 $2+(h+1)/2h$元，依此類推，第 $t+1$年內身故時，保險公司需於第 $t+1$年末給付保險金 $t+(h+1)/2h$元，如此繼續下去。此類型給付方式之被保險人之總給付現值以符號 $(\widehat{I}^{(h)}A)_{x}$表示。也就是說 $(I^{(h)}A)_{x}\approx (\widehat{I}^{(h)}A)_{x}$。接著，將推導 $(\widehat{I}^{(h)}A)_{x}$之計算式。考慮下面之情形:

投保終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $(h+1)/2h$元，其現值為 $((h+1)/2h)\cdot A_{x}=((h+1)/2h)\cdot {}_{0|}A_{x}$
投保延期 $1$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 ${}_{1|}A_{x}$
投保延期 $2$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 ${}_{2|}A_{x}$
依此類推，投保延期 $t$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 ${}_{t|}A_{x}$。

將上述之所有情形加總後即為總給付現值 $(\widehat{I}^{(h)}A)_{x}$，由遞增型人壽保險金頁之(2)式，其計算公式為
\begin{align*}
(\widehat{I}^{(h)}A)_{x} & =\frac{h+1}{2h}\cdot {}_{0|}A_{x}+\sum_{t=1}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x}
=\left (\frac{h+1}{2h}-1\right )\cdot {}_{0|}A_{x}+\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x}\\
& =(IA)_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot A_{x}\mbox{。}
\end{align*}
因此，可得
\begin{equation}{\label{eq156}}\tag{25}
(I^{(h)}A)_{x}\approx (\widehat{I}^{(h)}A)_{x}=(IA)_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot A_{x}\mbox{。}
\end{equation}

亦可依現值收支平衡原則來推導 $(\widehat{I}^{(h)}A)_{x}$之計算公式。假設 $x$歲時生存之 $l_{x}$個人每人繳納 $(\widehat{I}^{(h)}A)_{x}$元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 $x$歲起，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 $l_{x}\cdot (\widehat{I}^{(h)}A)_{x}$，而總保險金支出現值為
\[\frac{h+1}{2h}\cdot v\cdot d_{x}+\left (1+\frac{h+1}{2h}\right )\cdot v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots
+\left (\omega -x-1+\frac{h+1}{2h}\right )\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\begin{align*}
l_{x}\cdot (\widehat{I}^{(h)}A)_{x} & =\frac{h+1}{2h}\cdot v\cdot d_{x}+\left (1+\frac{h+1}{2h}\right )\cdot v^{2}\cdot d_{x+1}\\
& \quad +\cdots +\left (\omega -x-1+\frac{h+1}{2h}\right )\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}
\end{align*}
因此可解得
\begin{align*}
(\widehat{I}^{(h)}A)_{x} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}
\left (t++\frac{h+1}{2h}\right )\cdot v^{t+1}\cdot d_{x+t}\\
& =\frac{1}{v^{x}\cdot l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}\left (t++\frac{h+1}{2h}\right )\cdot v^{x+t+1}\cdot d_{x+t}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}\left (t+\frac{h+1}{2h}\right )\cdot C_{x+t}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [\sum_{t=0}^{\omega -x-1}
\left (t+1\right )\cdot C_{x+t}+\left (\frac{h+1}{2h}-1\right )\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}C_{x+t}\right ]\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}M_{x+t}+\frac{1-h}{2h}\cdot\frac{M_{x}}{D_{x}}\\
& =\frac{R_{x}}{D_{x}}-\frac{h-1}{2h}\cdot\frac{M_{x}}{D_{x}}\\
& =(IA)_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot A_{x}\mbox{。}
\end{align*}
此亦說明了 (\ref{eq156})式。

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於契約生效後之第 $1/h$年內身故時，於第 $1/h$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內身故時，於第 $2/h$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，如此繼續下去，至被保險人身故為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。所以，將上述之推導過程 $\Lambda$倍，即可得
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot (I^{(h)}A)_{x}\approx
\Lambda\cdot (IA)_{x}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}\cdot A_{x}\mbox{。}\]

第二種情形，假設考慮第 $1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年之總遞增金額為 $\lambda$元，直至終身。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $1$年內之第 $1/h$期內身故時，於第 $1/h$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，於第 $2/h$年末給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。第 $2$年內之第 $1/h$期內身故時，於第 $1+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $2$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，於第 $1+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，第 $t+1$年內之第 $1/h$期內身故時，於第 $t+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(t-1)\cdot\lambda +(\lambda/h)$元，在第 $t+1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，於第 $t+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(t-1)\cdot\lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $t+1$年末需給付保險金 $\Lambda +t\cdot\lambda$元，如此繼續下去，至被保險人身故為止。為便於計算，我們取其近似值，也就是考慮每年之平均保險金。依據之前的論點，可知第 $x$年至 $x+1$年之平均保險金(即保單契約生效後之第 $1$年之平均保險金)為 $\Lambda\cdot (h+1)/2h$。而第 $x+t$年至 $x+t+1$年之平均保險金(即保單契約生效後之第 $t+1$年之平均保險金)為
\[\Lambda +(t-1)\cdot\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\mbox{，}\]
其中 $t\geq 1$。換句話說，依據每年之平均保險金，可近似的考慮成保單契約生效後之第 $1$年內身故時，保險公司需於第 $1$年末給付保險金 $\Lambda\cdot (h+1)/2h$元，第 $2$年內身故時，保險公司需於第 $2$年末給付保險金 $\Lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}$元，第 $3$年內身故時，保險公司需於第 $3$年末給付保險金 $\Lambda +\lambda+\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}$元，依此類推，第 $t$年內身故時，保險公司需於第 $t$年末給付保險金 $\Lambda +(t-2)\cdot\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}$元，如此繼續下去，直至終身。為推導此類型給付方式之總給付現值計算式，可考慮下面之情形:

投保 $1$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda\cdot (h+1)/2h$元，其現值為 $(\Lambda\cdot (h+1)/2h)\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}$
投保延期 $1$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}$元，其現值為
\[\left (\Lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot{}_{1|}A_{x}\]
投保延期 $2$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\lambda$元，其現值為 $\lambda\cdot {}_{2|}A_{x}$
依此類推，投保延期 $t$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\lambda$元，其現值為 $\lambda\cdot {}_{t|}A_{x}$。

將上述之所有情形加總後即為近似總給付保險金現值，其計算公式為
\begin{align*}
& \mbox{被保險人之總給付現值}\approx\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot {}_{1|}A_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=2}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x}\\
& \quad =\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot\left (A_{x}-{}_{1|}A_{x}\right )
+\left (\Lambda -\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot {}_{1|}A_{x}
-\lambda\cdot {}_{0|}A_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x}\\
& \quad =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot A_{x}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{1|}A_{x}+\lambda\cdot (IA)_{x}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付

假設被保險人在 $x$歲時投保每年遞增 $h$次之即刻給付終身壽險，其被保險人之總給付現值以符號 $(I^{(h)}\bar{A})_{x}$表示。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\begin{equation}{\label{eq157}}\tag{26}
(I^{(h)}\bar{A})_{x}\approx (I\bar{A})_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot\bar{A}_{x}\mbox{。}
\end{equation}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$年內身故時即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，如此繼續下去，至被保險人身故為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。所以，將上述之推導過程 $\Lambda$倍，即可得
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot (I^{(h)}\bar{A})_{x}\approx
\Lambda\cdot (I\bar{A})_{x}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}\cdot \bar{A}_{x}\mbox{。}\]

(ii) 第二種情形，假設考慮第 $1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年之總遞增金額為 $\lambda$元，直至終身。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $1$年內之第 $1/h$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，即刻給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。第 $2$年內之第 $1/h$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $2$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，第 $t+1$年內之第 $1/h$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda (t-1)\cdot\lambda +(\lambda/h)$元，在第 $t+1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda (t-1)\cdot\lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $t+1$年末需給付保險金 $\Lambda +t\cdot\lambda$元，如此繼續下去，至被保險人身故為止。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\begin{equation}{\label{eq167}}\tag{27}
\mbox{被保險人之總給付現值}\approx
\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot \bar{A}_{x}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot (I\bar{A})_{x}\mbox{。}
\end{equation}

瞬時遞增型之即刻給付.

若上述每年遞增 $h$次之即刻給付終身壽險中之 $h$考慮成無窮大時，即為瞬時遞增型之即刻給付終身壽險。其身故保險金將隨時間增加而遞增。保單契約約定，被保險人若於保單契約生效後之任何 $t/h$時間身故時，保險公司需即刻給付保險金 $t/h$元，其中 $t\in\mathbb{N}$。被保險人之總給付現值以符號 $(\bar{I}\bar{A})_{x}$表示，接著將推導其計算式，而其計算式將以積分型式表示。此類型為抽象式之給付方式，因為所謂任何 $t/h$時間很難完全定義。若 $h$取 $365$，也就是將一年分成 $365$天，此時任何時間 $t$可視為天數。例如被保險人於保單契約生效後之第 $t$天身故，保險公司需即刻給付保險金 $t/365$元。同理，若 $h$取 $365\times 24=8760$，也就是將一年分成 $8760$小時，此時任何時間 $t$可視為小時數。例如被保險人於保單契約生效後之第 $t$小時身故，保險公司需即刻給付保險金 $t/8760$元。雖然，其近似值可經由(\ref{eq156})式求得，這裡將推導較為精確之積分型式計算式。首先，將依現值收支平衡原則來推導 $(I^{(h)}\bar{A})_{x}$之計算公式。假設 $x$歲時生存之 $l_{x}$個人每人繳納 $(I^{(h)}\bar{A})_{x}$元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 $x$歲起，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 $l_{x}\cdot (I^{(h)}\bar{A})_{x}$，而總保險金支出現值為
\[\frac{1}{h}\cdot v^{\frac{1}{h}}\cdot d_{x}+\frac{2}{h}\cdot v^{\frac{2}{h}}\cdot d_{x+\frac{1}{h}}+\cdots +
\frac{t+1}{h}\cdot v^{\frac{t+1}{h}}\cdot d_{x+\frac{t}{h}}+\cdots+\frac{\omega -x}{h}\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -\frac{1}{h}}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot (I^{(h)}\bar{A})_{x}=\sum_{t=0}^{h(\omega -x)-1}\frac{t+1}{h}
\cdot v^{\frac{t+1}{h}}\cdot d_{x+\frac{t}{h}}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align*}
(I^{(h)}\bar{A})_{x} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{h(\omega -x)-1}\frac{t+1}{h}
\cdot v^{\frac{t+1}{h}}\cdot d_{x+\frac{t}{h}}\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{h(\omega -x)-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{\frac{t+1}{h}}\cdot
\left (l_{x+\frac{t+1}{h}}-l_{x+\frac{t}{h}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
當 $h$趨近於無窮大時，則現值 $(I^{(h)}\bar{A})_{x}$之極限值就趨近即刻給付的現值 $(\bar{I}\bar{A})_{x}$，所以可得
\begin{equation}{\label{eq90*}}\tag{28}
(\bar{I}\bar{A})_{x}=\lim_{h\rightarrow\infty}(I^{(h)}\bar{A})_{x}=\lim_{h\rightarrow\infty}\left\{-\frac{1}{l_{x}}\cdot
\sum_{t=0}^{h(\omega -x)-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{\frac{t+1}{h}}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{h}}-l_{x+\frac{t}{h}}\right )\right\}\mbox{。}
\end{equation}
令 $N=h\cdot (\omega -x)$。因此，可考慮將區間 $[0,\omega -x]$分成 $N$等份。此時可將下式視為黎曼-史提捷斯和:
\[\sum_{t=0}^{h(\omega -x)-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{\frac{t+1}{h}}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{h}}-l_{x+\frac{t}{h}}\right )=
\sum_{s=0}^{N-1}\frac{s+1}{h}\cdot v^{\frac{s+1}{h}}\cdot\left (l_{x+\frac{s+1}{h}}-l_{x+\frac{s}{h}}\right )\mbox{。}\]
當 $h$趨近於無窮大時，則 $N$亦趨近於無窮大，因此可得黎曼-史提捷斯積分為
\begin{align*}
& \lim_{h\rightarrow\infty}\sum_{t=0}^{h(\omega -x)-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{\frac{t+1}{h}}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{h}}-l_{x+\frac{t}{h}}\right )\\
& \quad =\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N-1}\frac{s+1}{h}\cdot v^{\frac{s+1}{h}}\cdot\left (l_{x+\frac{s+1}{h}}-l_{x+\frac{s}{h}}\right )=\int_{0}^{\omega -x}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
由(\ref{eq90*})式可得
\begin{equation}{\label{eq91*}}\tag{29}
(\bar{I}\bar{A})_{x}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{0}^{\omega -x}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因為
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{，}\]
由(\ref{eq91*})式可推出 $(\bar{I}\bar{A})_{x}$之計算式為
\[(\bar{I}\bar{A})_{x}=\int_{0}^{\omega -x}t\cdot v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{0}^{\omega -x}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
由利息與確定年金頁之(4)式可知
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{，}\]
因此 $v^{t}=e^{-\delta t}$，如考慮息力 $\delta$，則總給付現值 $(\bar{I}\bar{A})_{x}$亦可寫成
\[(\bar{I}\bar{A})_{x}=\int_{0}^{\omega -x}t\cdot e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
另外，由(\ref{eq157})式可知 $(\bar{I}\bar{A})_{x}$之近似值為
\[(\bar{I}\bar{A})_{x}\approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [(I\bar{A})_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot\bar{A}_{x}\right ]
=(I\bar{A})_{x}-\frac{1}{2}\cdot\bar{A}_{x}\mbox{。}\]

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之任何 $t/h$時間身故，保險公司需即刻給付保險金 $\Lambda \cdot t/h$元。將上述之推導過程 $\Lambda$倍，即可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot (\bar{I}\bar{A})_{x}\\
& =\Lambda\cdot\int_{0}^{\omega -x}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& \approx\Lambda\cdot (I\bar{A})_{x}-\frac{\Lambda}{2}\cdot\bar{A}_{x}\mbox{。}
\end{align*}

被保險人若於契約生效後第 $1$年內(當年內)之任何 $t/h$時間身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 $\Lambda$元，其中 $t=1,\cdots ,h$。所以其現值為
\[\Gamma_{1}^{(h)}=\Lambda\cdot\left (\frac{1}{h}\cdot v^{\frac{1}{h}}\cdot d_{x}
+\frac{2}{h}\cdot v^{\frac{2}{h}}\cdot d_{x+\frac{1}{h}}+\cdots+v\cdot d_{x+\frac{h-1}{h}}\right )\mbox{。}\]
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，因為 $d_{x+\frac{t}{h}}=l_{x+\frac{t+1}{h}}-l_{x+\frac{t}{h}}$，依據之前推導過程，當$h$趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\[\lim_{h\rightarrow\infty}\Gamma_{1}^{(h)}=-\Lambda\cdot\int_{0}^{1}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}\]
被保險人若於契約生效後第 $2$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=h+1,\cdots ,2h$。所以其現值為
\begin{align*}
\Gamma_{2}^{(h)} & =\left (\Lambda +\frac{\lambda}{h}\right )\cdot v^{1+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+1}
+\left (\Lambda +\frac{2\lambda}{h}\right )\cdot v^{1+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+1+\frac{1}{h}}+\cdots
+(\Lambda +\lambda )\cdot v^{2}\cdot d_{x+1+\frac{h-1}{h}}\\
& =\Lambda\cdot\left (v^{1+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+1}+v^{1+\frac{2}{h}}\cdot
d_{x+1+\frac{1}{h}}+\cdots +v^{2}\cdot d_{x+1+\frac{h-1}{h}}\right )\\
& \quad +\lambda\cdot\left (\frac{1}{h}\cdot v^{1+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+1}
+\frac{2}{h}\cdot v^{1+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+1+\frac{1}{h}}+\cdots
+v^{2}\cdot d_{x+1+\frac{h-1}{h}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 $r$趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow\infty}\Gamma_{2}^{(h)} & =-\Lambda\cdot\int_{1}^{2}v^{t}dl_{x+t}
-\lambda\cdot\int_{1}^{2}(t-1)\cdot v^{t}dl_{x+t}\\
& =-(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{1}^{2}v^{t}dl_{x+t}-\lambda\cdot\int_{1}^{2}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
被保險人若於契約生效後第 $3$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +\lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=2h+1,\cdots ,3h$。所以其現值為
\begin{align*}
\Gamma_{3}^{(h)} & =\left (\Lambda +\lambda +\frac{\lambda}{h}\right )
\cdot v^{2+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+2}+\left (\Lambda +\lambda +\frac{2\lambda}{h}
\right )\cdot v^{2+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+2+\frac{1}{h}}\\
& \quad +\cdots+(\Lambda +2\lambda )\cdot v^{3}\cdot d_{x+2+\frac{h-1}{h}}\\
& =\left (\Lambda +\lambda\right )\cdot\left (v^{2+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+1}
+v^{2+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+2+\frac{1}{h}}+\cdots +v^{3}\cdot d_{x+1+\frac{h-1}{h}}\right )\\
& \quad +\lambda\cdot\left (\frac{1}{h}\cdot v^{2+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+1}
+\frac{2}{h}\cdot v^{2+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+2+\frac{1}{h}}+\cdots +v^{3}\cdot d_{x+2+\frac{h-1}{h}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 $r$趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow\infty}\Gamma_{3}^{(h)} & =-\left (\Lambda +\lambda\right )\cdot\int_{2}^{3}
v^{t}dl_{x+t}-\lambda\cdot\int_{2}^{3}(t-2)\cdot v^{t}dl_{x+t}\\
& =-(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{2}^{3}v^{t}dl_{x+t}-\lambda\cdot\int_{2}^{3}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
依此類推，被保險人若於契約生效後第 $s$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(s-2)\cdot\lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=(s-1)\cdot h+1,\cdots ,s\cdot h$。所以其現值為
\begin{align*}
\Gamma_{s}^{(h)} & =\left (\Lambda +(s-2)\cdot\lambda +\frac{\lambda}{h}\right )\cdot v^{s-1+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+s-1}\\
& \quad +\left (\Lambda +(s-2)\cdot\lambda +\frac{2\lambda}{h}\right )\cdot v^{s-1+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+s-1+\frac{1}{h}}\\
& \quad +\cdots +(\Lambda +(s-1)\cdot\lambda )\cdot v^{s}\cdot d_{x+s-1+\frac{h-1}{h}}\mbox{。}
\end{align*}
若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 $r$趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow\infty}\Gamma_{s}^{(h)} & =-\left (\Lambda +(s-2)\cdot\lambda\right )\cdot\int_{s-1}^{s}
v^{t}dl_{x+t}-\lambda\cdot\int_{s-1}^{s}(t-s+1)\cdot v^{t}dl_{x+t}\\
& =-(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{s-1}^{s}v^{t}dl_{x+t}-\lambda\cdot\int_{s-1}^{s}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}

將上述之所有情形相加，根據之前類似的論點即可得
\begin{align}
& \mbox{被保險人之總給付現值}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\lim_{h\rightarrow\infty}
\sum_{s=1}^{\omega -x}\Gamma_{s}^{(h)}\label{eq175}\tag{30}\\
& \quad =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\left [\Lambda\cdot\int_{0}^{1}t\cdot v^{t}dl_{x+t}+(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{1}^{\omega -x}
v^{t}dl_{x+t}+\lambda\cdot\int_{1}^{\omega -x}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\right ]\\
& \quad =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\left [(\Lambda -\lambda )\cdot\left (
\int_{0}^{1}t\cdot v^{t}dl_{x+t}+\int_{1}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\right )
+\lambda\cdot\int_{0}^{\omega -x}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\right ]\nonumber\\
& \quad =(\Lambda -\lambda )\cdot\left (\int_{0}^{1}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\int_{1}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )+\lambda\cdot (\bar{I}\bar{A})_{x}\nonumber\\
& \quad\approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot \bar{A}_{x}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x}
+\lambda\cdot (I\bar{A})_{x}\right ]\mbox{ (由(\ref{eq167})式)}\nonumber\\
& \quad =\left (\frac{\Lambda}{2}-\lambda\right )\cdot \bar{A}_{x}
+\frac{\Lambda -\lambda}{2}\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot (I\bar{A})_{x}\mbox{。}\nonumber
\end{align}

\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}

每年遞增數次之定期壽險.

假設每年分成 $h$期，每年遞增 $h$次之 $n$年定期壽險可分為期末給付、即刻給付與瞬時遞增型之即刻給付。

期末給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保每年遞增 $h$次之期末給付 $n$年定期壽險，保單契約約定，被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$年內身故時，於第 $1/h$年末給付保險金 $1/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內身故時，於 $2/h$年末給付保險金 $2/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $1/h$元。依此類推，例如在第 $t$至 $t+(1/h)$年內(即第 $t+1$年內之第 $1/h$期內)身故時，保險公司需即刻給付保險金 $t+(1/h)$元，在第 $t+(1/h)$至 $t+(2/h)$年內(即第 $t+1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內)身故時，保險公司需即刻給付保險金 $t+(2/h)$元，如此繼續下去，至第 $n$年為止，其被保險人之總給付現值以符號 $(I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}$表示。依據上述之類似論點，為求得其近似計算公式，可考慮下面之情形:

投保 $n$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $(h+1)/2h$元，其現值為 $((h+1)/2h)\cdot A_{x}=((h+1)/2h)\cdot {}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}$
投保延期 $1$年之 $n-1$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 ${}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}$
投保延期 $2$年之 $n-2$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 ${}_{2|}A_{x:n-2\!\rceil}^{1}$
依此類推，最後，投保延期 $n-1$年之 $1$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 ${}_{n-1|}A_{x:1\!\rceil}^{1}$。

將上述之所有情形加總後，由遞增型人壽保險金頁之(8)式，即可得其近似計算公式為
\begin{align}
(I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1} & \approx\frac{h+1}{2h}\cdot {}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\sum_{t=1}^{n-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}
=\left (\frac{h+1}{2h}-1\right )\cdot {}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\sum_{t=0}^{n-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\nonumber\\
& =(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\label{eq480}\tag{31}
\end{align}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於契約生效後之第 $1/h$年內身故時，於第 $1/h$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內身故時，於第 $2/h$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，如此繼續下去，至第 $n$年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。所以，將上述之推導過程 $\Lambda$倍，即可得
\begin{equation}{\label{eq168}}\tag{32}
\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot (I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\approx
\Lambda\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{equation}

第二種情形，假設考慮第 $1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年之總遞增金額為 $\lambda$元，至第 $n$年為止。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$期內身故時，於第 $1/h$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，於第 $2/h$年末給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。在第 $1+(1/h)$期內身故時，於第 $1+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $1+(1/h)$至 $1+(2/h)$期內身故時，於第 $1+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，在第 $t+(1/h)$期內身故時，於第 $t+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda (t-1)\cdot\lambda +(\lambda/h)$元，在第 $t+(1/h)$至 $t+(2/h)$期內身故時，於第 $t+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda (t-1)\cdot\lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $t+1$年末需給付保險金 $\Lambda +t\cdot\lambda$元，如此繼續下去，至第 $n$年為止。為便於計算，我們取其近似值，考慮每年之平均保險金。依據之前的論點，可得第 $x$年至 $x+1$年之平均保險金(即保單契約生效後之第 $1$年之平均保險金)為 $\Lambda\cdot (h+1)/2h$。而第 $x+t$年至 $x+t+1$年之平均保險金(即保單契約生效後之第 $t+1$年之平均保險金)為
\[\Lambda +(t-1)\cdot\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\mbox{，}\]
其中 $t\geq 1$。換句話說，依據每年之平均保險金，可以近似的考慮成保單契約生效後之第 $1$年內身故時，保險公司需於第 $1$年末給付保險金 $\Lambda\cdot (h+1)/2h$元，第 $2$年內身故時，保險公司需於第 $2$年末給付保險金 $\Lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}$元，第 $3$年內身故時，保險公司需於第 $3$年末給付保險金 $\Lambda +\lambda+\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}$元，依此類推，第 $t$年內身故時，保險公司需於第 $t$年末給付保險金 $\Lambda +(t-2)\cdot\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}$元，如此繼續下去，至第 $n$年為止。為推導此類型給付方式之總給付現值計算式，可考慮下面之情形:

投保 $1$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda\cdot (h+1)/2h$元，其現值為 $(\Lambda\cdot (h+1)/2h)\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}$
投保延期 $1$年之 $n-1$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為
\[\left (\Lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot{}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\]
投保延期 $2$年之 $n-2$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 $\lambda\cdot {}_{2|}A_{x:n-2\!\rceil}^{1}$
依此類推，最後，投保延期 $n-1$年之 $1$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 $\lambda\cdot {}_{n-1|}A_{x:1\!\rceil}^{1}$。

將上述之所有情形加總後即為近似總給付保險金現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & \approx\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}+\left (\Lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot {}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=2}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\nonumber\\
& =\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}+\left (\Lambda -\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )
\cdot {}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}-\lambda\cdot {}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot
\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\nonumber\\
& =\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot\frac{M_{x}-M_{x+1}}{D_{x}}+\left (\Lambda -\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot\frac{M_{x+1}-M_{x+n}}{D_{x}}-\lambda\cdot\frac{M_{x}-M_{x+n}}{D_{x}}+\lambda\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\nonumber\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot\frac{M_{x}-M_{x+1}}{D_{x}}+\left (\Lambda -2\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot\frac{M_{x+1}-M_{x+n}}{D_{x}}+\lambda\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\nonumber\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -2\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}
\right )\cdot {}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\label{eq182}\tag{33}
\end{align*}
當 $\Lambda =\lambda$時，則可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\frac{\Lambda\cdot (1-h)}{2h}\cdot\left (A_{x:1\!\rceil}^{1}+{}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\right )
+\Lambda\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =\frac{\Lambda\cdot (1-h)}{2h}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}+\Lambda\cdot (IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{，}
\end{align*}
此即為(\ref{eq168})式。

即刻給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保每年遞增 $h$次之即刻給付 $n$年定期壽險，其被保險人之總給付現值以符號 $(I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}$表示。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\[(I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\approx (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $1/h$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1/h$至 $2/h$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，如此繼續下去，至第 $n$年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。所以，將上述之推導過程 $\Lambda$倍，即可得
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot (I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\approx
\Lambda\cdot (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}\cdot \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]

(ii) 第二種情形，假設考慮第 $1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年之總遞增金額為 $\lambda$元，至第 $n$年為止。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $1$年內之第 $1/h$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，即刻給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。第 $2$年內之第 $1/h$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $2$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，第 $t+1$年內之第 $1/h$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda (t-1)\cdot\lambda +(\lambda/h)$元，在第 $t+1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda (t-1)\cdot\lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $t+1$年末需給付保險金 $\Lambda +t\cdot\lambda$元，如此繼續下去，至第 $n$年為止。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\begin{equation}{\label{eq169}}\tag{34}
\mbox{被保險人之總給付現值}\approx\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )
\cdot \bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}+\left (\Lambda -2\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}
\right )\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{equation}

瞬時遞增型之即刻給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保瞬時遞增型之即刻給付 $n$年定期壽險，其被保險人之總給付現值以符號 $(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}$表示。依據上述之類似論點，可得其計算公式為
\begin{align}
(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1} & =\int_{0}^{n}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\nonumber\\
& \approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\right ]
=(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{1}{2}\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\label{eq184}\tag{35}
\end{align}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之任何 $t/h$時間身故，保險公司需即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，至第 $n$年為止。將上述之推導過程 $\Lambda$倍，即可得
\begin{align}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot (\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\nonumber\\
& =\Lambda\cdot\int_{0}^{n}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\nonumber\\
& \approx\Lambda\cdot (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{\Lambda}{2}\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\label{eq185}\tag{36}
\end{align}

第二種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $1$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，其中 $t=1,\cdots ,h$。第 $2$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=h+1,\cdots ,2h$。依此類推，每年遞增 $\lambda$元，第 $s$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(s-2)\cdot\lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=(s-1)\cdot h+1,\cdots ,s\cdot h$，如此繼續下去，至第 $n$年為止。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\begin{align}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =(\Lambda -\lambda )\cdot\left (\int_{0}^{1}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\int_{1}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )+\lambda\cdot (\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\nonumber\\
& \approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot\bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -2\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot
(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\right ]\mbox{ (根據(\ref{eq169})式)}\nonumber\\
& =\left (\frac{\Lambda}{2}-\lambda\right )\cdot\bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}
+\frac{\Lambda -\lambda}{2}\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot (I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\label{eq186}\tag{37}
\end{align}

\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}

每年遞增數次之延期終身壽險.

假設每年分成 $h$期，每年遞增 $h$次之延期 $m$年終身壽險可分為期末給付、即刻給付與瞬時遞增型之即刻給付。

期末給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保每年遞增 $h$次之期末給付延期 $m$年之終身壽險，保單契約約定，被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時，於第 $m+(1/h)$年末給付保險金 $1/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，於 $m+(2/h)$年末給付保險金 $2/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $1/h$元。依此類推，至被保險人身故，其被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(I^{(h)}A)_{x}$表示。依據上述之類似論點，為求得其近似計算公式，可考慮下面之情形:

投保延期 $m$年終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $(h+1)/2h$元，其現值為 $((h+1)/2h)\cdot {}_{m|}A_{x}$
投保延期 $m+1$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 ${}_{m+1|}A_{x}$
投保延期 $m+2$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 ${}_{m+2|}A_{x}$
依此類推，投保延期 $m+t$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 ${}_{m+t|}A_{x}$。

將上述之所有情形加總後，由遞增型人壽保險金頁之(9)式，即可得其近似計算公式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I^{(h)}A)_{x} & \approx\frac{h+1}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x}+\sum_{t=m+1}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x}
=\left (\frac{h+1}{2h}-1\right )\cdot {}_{m|}A_{x}+\sum_{t=m}^{\omega -x-1}{}_{t|}A_{x}\\
& ={}_{m|}(IA)_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時，於第 $m+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，於第 $m+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，如此繼續下去，至被保險人身故為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。所以，將上述之推導過程 $\Lambda$倍，即可得
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot {}_{m|}(I^{(h)}A)_{x}\approx
\Lambda\cdot {}_{m|}(IA)_{x}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x}\mbox{。}\]

第二種情形，假設考慮第 $m+1$年之總遞增金額為 $\Lambda$元，第 $m+2$年之總遞增金額為 $\Lambda +\lambda$元，第 $m+3$年之總遞增金額為 $\Lambda +2\lambda$元，依此類推，每年之總遞增金額為 $\lambda$元，直至終身。因每年分成 $h$次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 $m+1$年內之第 $1/h$期內身故時，於第 $m+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $m+1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，於第 $m+(2/h)$年末給付保險金 $2\Lambda/h$元，如此至第 $m+1$年末需給付保險金 $\Lambda$元。第 $m+2$年內之第 $1/h$期內身故時，於第 $m+1+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(\lambda/h)$元，在第 $m+2$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，於第 $m+1+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $m+2$年末需給付保險金 $\Lambda +\lambda$元。依此類推，第 $m+t+1$年內之第 $1/h$期內身故時，於第 $m+t+(1/h)$年末給付保險金 $\Lambda (t-1)\cdot\lambda +(\lambda/h)$元，在第 $m+t+1$年內之第 $1/h$至 $2/h$期內身故時，於第 $m+t+(2/h)$年末給付保險金 $\Lambda (t-1)\cdot\lambda +(2\lambda/h)$元，如此至第 $m+t+1$年末需給付保險金 $\Lambda +t\cdot\lambda$元，如此繼續下去，至被保險人身故為止。為便於計算，我們取其近似值，考慮每年之平均保險金。依據之前的論點，可得第 $x+m$年至 $x+m+1$年之平均保險金(即保單契約生效後之第 $m+1$年之平均保險金)為 $\Lambda\cdot (h+1)/2h$。而第 $x+m+t$年至 $x+m+t+1$年之平均保險金(即保單契約生效後之第 $m+t+1$年之平均保險金)為
\[\Lambda +(t-1)\cdot\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\mbox{，}\]
其中 $t\geq 1$。換句話說，依據每年之平均保險金，可以近似的考慮成保單契約生效後之第 $m+1$年內身故時，保險公司需於第 $m+1$年末給付保險金 $\Lambda\cdot (h+1)/2h$元，第 $m+2$年內身故時，保險公司需於第 $m+2$年末給付保險金 $\Lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}$元，第 $m+3$年內身故時，保險公司需於第 $m+3$年末給付保險金 $\Lambda +\lambda+\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}$元，依此類推，第 $m+t$年內身故時，保險公司需於第 $m+t$年末給付保險金 $\Lambda +(t-2)\cdot\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}$元，如此繼續下去，直至終身。為推導此類型給付方式之總給付現值計算式，可考慮下面之情形:

投保延期 $m$年之 $1$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda\cdot (h+1)/2h$元，其現值為 $(\Lambda\cdot (h+1)/2h)\cdot {}_{m|}A_{x:1\!\rceil}^{1}$
投保延期 $m+1$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\Lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}$元，其現值為
\[\left (\Lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot {}_{m+1|}A_{x}\]
投保延期 $m+2$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\lambda$元，其現值為 $\lambda\cdot {}_{m+2|}A_{x}$
依此類推，投保延期 $m+t$年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $\lambda$元，其現值為 $\lambda\cdot {}_{m+t|}A_{x}$。

將上述之所有情形加總後即為近似總給付保險金現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & \approx\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:1\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot {}_{m+1|}A_{x}
+\lambda\cdot\sum_{t=2}^{\omega -x-1}{}_{m+t|}A_{x}\\
& =\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot\left ({}_{m|}A_{x}-{}_{m+1|}A_{x}\right )
+\left (\Lambda -\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\right )\cdot {}_{m+1|}A_{x}-\lambda\cdot {}_{m|}A_{x}\\
& +\lambda\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{m+t|}A_{x}\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot {}_{m|}A_{x}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m+1|}A_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(IA)_{x}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保每年遞增 $h$次之即刻給付延期 $m$年之終身壽險，其被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x}$表示。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\begin{equation}{\label{eq172}}\tag{38}
{}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x}={}_{m|}(I\bar{A})_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x}\mbox{。}
\end{equation}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，如此繼續下去，至被保險人身故為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。所以，將上述之推導過程 $\Lambda$倍，即可得
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot {}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x}\approx
\Lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}\mbox{。}\]

瞬時遞增型之即刻給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保瞬時遞增型之即刻給付延期 $m$年之終身壽險，其被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}{}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x}$表示。首先，將依現值收支平衡原則來推導 ${}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x}$之計算公式。假設 $x$歲時生存之 $l_{x}$個人每人繳納 ${}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x}$元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 $x+m$歲起，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 $l_{x}\cdot {}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x}$，而總保險金支出現值為
\begin{align*}
& \frac{1}{h}\cdot v^{m+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+m}+\frac{2}{h}\cdot v^{m+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+m+\frac{1}{h}}+\cdots +
\frac{t+1}{h}\cdot v^{m+\frac{t+1}{h}}\cdot d_{x+m+\frac{t}{h}}\\
& \hspace{5mm}+\cdots+\frac{\omega -x-m}{h}\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -\frac{1}{h}}\mbox{。}
\end{align*}
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot {}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x}=\sum_{t=0}^{h(\omega -x-m)-1}\frac{t+1}{h}
\cdot v^{m+\frac{t+1}{h}}\cdot d_{x+m+\frac{t}{h}}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align*}
{}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{h(\omega -x-m)-1}\frac{t+1}{h}
\cdot v^{m+\frac{t+1}{h}}\cdot d_{x+m+\frac{t}{h}}\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{h(\omega -x-m)-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{m+\frac{t+1}{h}}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{h}}-l_{x+m+\frac{t}{h}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
當 $h$趨近於無窮大時，則現值 ${}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x}$之極限值就趨近即刻給付的現值 ${}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x}$，所以可得
\begin{align}
{}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x} & =\lim_{h\rightarrow\infty}{}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x}\nonumber\\
& =\lim_{h\rightarrow\infty}\left\{-\frac{1}{l_{x}}\cdot
\sum_{t=0}^{h(\omega -x-m)-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{m+\frac{t+1}{h}}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{h}}-l_{x+m+\frac{t}{h}}\right )\right\}\mbox{。}\label{eq*90*}\tag{40}
\end{align}
令 $N=h\cdot (\omega -x-m)$。因此，可考慮將區間 $[0,\omega -x-m]$分成 $N$等份。此時可將下式視為黎曼-史提捷斯和:
\[\sum_{t=0}^{h(\omega -x-m)-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{m+\frac{t+1}{h}}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{h}}-l_{x+m+\frac{t}{h}}\right )=\sum_{s=0}^{N-1}\frac{s+1}{h}\cdot v^{m+\frac{s+1}{h}}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{s+1}{h}}-l_{x+m+\frac{s}{h}}\right )\mbox{。}\]
當 $h$趨近於無窮大時，則 $N$亦趨近於無窮大，因此可得黎曼-史提捷斯積分為
\begin{align*}
& \lim_{h\rightarrow\infty}\sum_{t=0}^{h(\omega -x-m)-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{m+\frac{t+1}{h}}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{h}}-l_{x+m+\frac{t}{h}}\right )\\
& \quad =\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N-1}\frac{s+1}{h}\cdot v^{m+\frac{s+1}{h}}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{s+1}{h}}-l_{x+m+\frac{s}{h}}\right )\\
& \quad =\int_{0}^{\omega -x-m}t\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}=\int_{m}^{\omega -x}(t-m)\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
由(\ref{eq*90*})式可得
\begin{equation}{\label{eq*91*}}\tag{41}
{}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{m}^{\omega -x}(t-m)\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因為
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{，}\]
由(\ref{eq*91*})式可推出 ${}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x}$之計算式為
\[{}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x}=\int_{m}^{\omega -x}(t-m)\cdot v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{m}^{\omega -x}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
由利息與確定年金頁之(4)式可知
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{，}\]
因此 $v^{t}=e^{-\delta t}$，如考慮息力 $\delta$，則總給付現值 ${}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x}$亦可寫成
\[{}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x}=\int_{m}^{\omega -x}(t-m)\cdot e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
另外，由(\ref{eq172})式可知 ${}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x}$之近似值為
\[{}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x}\approx\lim_{h\rightarrow\infty}
\left [{}_{m|}(I\bar{A})_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}\right ]
={}_{m|}(I\bar{A})_{x}-\frac{1}{2}\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x}\mbox{。}\]

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效 $m$年後之任何 $t/h$時間身故，保險公司需即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，至終身。將上述之推導過程 $\Lambda$倍，即可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x}\\
& =\Lambda\cdot\int_{m}^{\omega -x}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& \approx\Lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x}-\frac{\Lambda}{2}\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $m+1$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，其中 $t=1,\cdots ,h$。第 $m+2$年內之任何$t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=h+1,\cdots ,2h$。依此類推，每年遞增 $\lambda$元，第 $m+s$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(s-2)\cdot\lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=(s-1)\cdot h+1,\cdots ,s\cdot h$，如此繼續下去，至被保險人身故為止。依據上述之類似論點，可考慮總保險金支出現值。支出情形分述如下:

第 $m+1$年之支出情形為
\[{}_{m|}\Gamma_{1}^{(h)}=\Lambda\cdot\left (\frac{1}{h}\cdot v^{m+\frac{1}{h}}
\cdot d_{x+m}+\frac{2}{h}\cdot v^{m+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+m+\frac{1}{h}}+\cdots
+v^{m+1}\cdot d_{x+m+\frac{h-1}{h}}\right )\mbox{。}\]
依據之前推導方式，可知
\[\lim_{h\rightarrow\infty}\Gamma_{1}^{(h)}=-\Lambda\cdot\int_{0}^{1}t\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}\mbox{。}\]
第 $m+2$年之支出情形為
\begin{align*}
{}_{m|}\Gamma_{2}^{(h)} & =\left (\Lambda +\frac{\lambda}{h}\right )\cdotv^{m+1+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+m+1}
+\left (\Lambda +\frac{2\lambda}{h}\right )\cdot v^{m+1+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+m+1+\frac{1}{h}}\\
& +\cdots +(\Lambda +\lambda )\cdot v^{m+2}\cdot d_{x+m+1+\frac{h-1}{h}}\\
& =\Lambda\cdot\left (v^{m+1+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+m+1}+v^{m+1+\frac{2}{h}}\cdot
d_{x+m+1+\frac{1}{h}}+\cdots +v^{m+2}\cdot d_{x+m+1+\frac{h-1}{h}}\right )\\
& +\lambda\cdot\left (\frac{1}{h}\cdot v^{m+1+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+m+1}
+\frac{2}{h}\cdot v^{m+1+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+m+1+\frac{1}{h}}+\cdots+v^{m+2}\cdot d_{x+m+1+\frac{h-1}{h}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
依據之前推導方式，可知
\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow\infty}\Gamma_{2}^{(h)} & =-\Lambda\cdot\int_{1}^{2}v^{m+t}dl_{x+m+t}
-\lambda\cdot\int_{1}^{2}(t-1)\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}\\
& -(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{1}^{2}v^{m+t}dl_{x+m+t}-\lambda\cdot\int_{1}^{2}t\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}\mbox{。}
\end{align*}
第 $m+3$年之支出情形為
\begin{align*}
{}_{m|}\Gamma_{3}^{(h)} & =\left (\Lambda +\lambda +\frac{\lambda}{h}\right )
\cdot v^{m+2+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+m+2}+\left (\Lambda +\lambda +\frac{2\lambda}{h}
\right )\cdot v^{m+2+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+m+2+\frac{1}{h}}
+\cdots+(\Lambda +2\lambda )\cdot v^{m+3}\cdot d_{x+m+2+\frac{h-1}{h}}\\
& =\left (\Lambda +\lambda\right )\cdot\left (v^{m+2+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+m+1}
+v^{m+2+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+m+2+\frac{1}{h}}+\cdots +v^{m+3}\cdot d_{x+m+1+\frac{h-1}{h}}\right )\\
& \quad +\lambda\cdot\left (\frac{1}{h}\cdot v^{m+2+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+m+1}
+\frac{2}{h}\cdot v^{m+2+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+m+2+\frac{1}{h}}+\cdots +v^{m+3}\cdot d_{x+m+2+\frac{h-1}{h}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
依據之前推導方式，可知
\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow\infty}\Gamma_{3}^{(h)} & =-\left (\Lambda +\lambda\right )\cdot\int_{2}^{3}
v^{m+t}dl_{x+m+t}-\lambda\cdot\int_{2}^{3}(t-2)\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}\\
& =-(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{2}^{3}v^{m+t}dl_{x+m+t}-\lambda\cdot\int_{2}^{3}t\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}\mbox{。}
\end{align*}
依此類推，第 $m+s$年之支出情形為
\begin{align*}
{}_{m|}\Gamma_{s}^{(h)} & =\left (\Lambda +(s-2)\cdot\lambda
+\frac{\lambda}{h}\right )\cdot v^{m+s-1+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+m+s-1}\\
& \quad +\left (\Lambda +(m+s-2)\cdot\lambda +\frac{2\lambda}{h}\right )\cdot
v^{m+s-1+\frac{2}{h}}\cdot d_{x+m+s-1+\frac{1}{h}}\\
& \quad +\cdots +(\Lambda +(s-1)\cdot\lambda )\cdot v^{m+s}\cdot d_{x+m+s-1+\frac{h-1}{h}}
\mbox{。}
\end{align*}
依據之前推導方式，可知
\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow\infty}{}_{m|}\Gamma_{s}^{(h)} & =-\left (\Lambda +(s-2)\cdot\lambda\right )\cdot\int_{s-1}^{s}
v^{m+t}dl_{x+m+t}-\lambda\cdot\int_{s-1}^{s}(t-s+1)\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}\\
& =-(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{s-1}^{s}v^{m+t}dl_{x+m+t}-\lambda\cdot\int_{s-1}^{s}t\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}\mbox{。}
\end{align*}

將上述之所有情形相加，根據之前類似的論點即可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\lim_{h\rightarrow\infty}
\sum_{s=1}^{\omega -x-m}{}_{m|}\Gamma_{s}^{(h)}\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\left [\Lambda\cdot\int_{0}^{1}t\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}+(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{1}^{\omega -x-m}
v^{m+t}dl_{x+m+t}+\lambda\cdot\int_{1}^{\omega -x-m}t\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}\right ]\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\left [(\Lambda -\lambda )\cdot\left (
\int_{0}^{1}t\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}+\int_{1}^{\omega -x-m}v^{m+t}dl_{x+m+t}\right )
+\lambda\cdot\int_{0}^{\omega -x-m}t\cdot v^{m+t}dl_{x+m+t}\right ]\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\left [(\Lambda -\lambda )\cdot\left (
\int_{m}^{m+1}(t-m)\cdot v^{t}dl_{x+t}+\int_{m+1}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\right )
+\lambda\cdot\int_{m}^{\omega -x}(t-m)\cdot v^{t}dl_{x+t}\right ]\\
& =(\Lambda -\lambda )\cdot\left (\int_{m}^{m+1}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\int_{m+1}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )+\lambda\cdot {}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x}\\
& \approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x}
+\lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x}\right ]\mbox{ (由(\ref{eq170})式)}\\
& =\left (\frac{\Lambda}{2}-\lambda\right )\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}
+\frac{\Lambda -\lambda}{2}\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x}\mbox{。}
\end{align*}

\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}

每年遞增數次之延期定期壽險.

假設每年分成 $h$期，每年遞增 $h$次之延期 $m$年之 $n$年定期壽險可分為期末給付、即刻給付與瞬時遞增型之即刻給付。

期末給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保每年遞增 $h$次之期末給付延期 $m$年之 $n$年定期壽險，保單契約約定，被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時，於第 $m+(1/h)$年末給付保險金 $1/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，於 $m+(2/h)$年末給付保險金 $2/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $1/h$元。依此類推，至第 $m+n$年為止，其被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}$表示。依據上述之類似論點，為求得其近似計算公式，可考慮下面之情形:

投保延期 $m$年之 $n$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $(h+1)/2h$元，其現值為 $((h+1)/2h)\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}$
投保延期 $m+1$年之 $n-1$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 ${}_{m+1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}$
投保延期 $m+2$年之 $n-2$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 ${}_{m+2|}A_{x:n-2\!\rceil}^{1}$
依此類推，最後，投保延期 $m+n-1$年之 $1$年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 $1$元，其現值為 ${}_{m+n-1|}A_{x:1\!\rceil}^{1}$。

將上述之所有情形加總後即可得其近似計算公式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1} & \approx\frac{h+1}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}
+\sum_{t=m+1}^{m+n-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& =\left (\frac{h+1}{2h}-1\right )\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\sum_{t=m}^{m+n-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& ={}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{ (由(\ref{eq163})式)}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保每年遞增 $h$次之即刻給付延期 $m$年之 $n$年定期壽險，其被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}$表示。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\[{}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}={}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{h-1}{2h}\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $m+(1/h)$年內身故時即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，在第 $m+(1/h)$至 $m+(2/h)$年內身故時，即刻給付保險金 $\Lambda/h$元，如此每增加 $1/h$年，保險金增加 $\Lambda/h$元。依此類推，如此繼續下去，至第 $m+n$年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 $\Lambda$元。所以，將上述之推導過程 $\Lambda$倍，即可得
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot {}_{m|}(I^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
\approx\Lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]

瞬時遞增型之即刻給付.

假設被保險人在 $x$歲時投保瞬時遞增型之即刻給付延期 $m$年之 $n$定期壽險，其被保險人之總給付現值以符號 ${}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}$表示。依據上述之類似論點，可得其計算公式為
\begin{align*}
{}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1} & =\int_{m}^{m+n}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& \approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [{}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot
{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\right ]={}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{1}{2}
\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效 $m$年後之任何 $t/h$時間身故，保險公司需即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，至第 $n$年為止。將上述之推導過程 $\Lambda$倍，即可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =\Lambda\cdot\int_{m}^{m+n}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& \approx\Lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{\Lambda}{2}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 $m+1$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda\cdot t/h$元，其中 $t=1,\cdots ,h$。第 $m+2$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=h+1,\cdots ,2h$。依此類推，每年遞增 $\lambda$元，第 $m+s$年內之任何 $t/h$時間身故時，即刻給付保險金 $\Lambda +(s-2)\cdot\lambda +(\lambda\cdot t/h)$元，其中 $t=(s-1)\cdot h+1,\cdots ,s\cdot h$，如此繼續下去，至第 $n$年為止。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =(\Lambda -\lambda )\cdot\left (\int_{m}^{m+1}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\int_{m+1}^{m+n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )+\lambda\cdot {}_{m|}(\bar{I}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& \approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}
-\lambda\right )\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}+\left (\Lambda -2\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}
\right )\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\right ]\mbox{ (根據(\ref{eq173})式)}\\
& =\left (\frac{\Lambda}{2}-\lambda\right )\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:1\!\rceil}^{1}
+\frac{\Lambda -\lambda}{2}\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot {}_{m|}(I\bar{A})_{x}\mbox{。}
\end{align*}

每年遞增數次之終身壽險.

期末給付.

即刻給付

瞬時遞增型之即刻給付.

每年遞增數次之定期壽險.

期末給付.

即刻給付.

瞬時遞增型之即刻給付.

每年遞增數次之延期終身壽險.

期末給付.

即刻給付.

瞬時遞增型之即刻給付.

每年遞增數次之延期定期壽險.

期末給付.

即刻給付.

瞬時遞增型之即刻給付.

Hsien-Chung Wu

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每年遞增數次之終身壽險.

期末給付.

即刻給付

瞬時遞增型之即刻給付.

每年遞增數次之定期壽險.

期末給付.

即刻給付.

瞬時遞增型之即刻給付.

每年遞增數次之延期終身壽險.

期末給付.

即刻給付.

瞬時遞增型之即刻給付.

每年遞增數次之延期定期壽險.

期末給付.

即刻給付.

瞬時遞增型之即刻給付.

Hsien-Chung Wu

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