每年遞增數次且定期遞增之人壽保險金

Cornelis Springer (1817-1891) was a Dutch landscape painter.

本頁有以下小節

• 每年遞增數次且定期遞增之終身壽險
• 每年遞增數次且定期遞增之定期壽險
• 每年遞增數次且定期遞增之延期終身壽險
• 每年遞增數次且定期遞增之延期定期壽險

\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}

每年遞增數次且定期遞增之終身壽險.

\ref{a} 假設每年分成 \(h\)期，定期遞增 \(k\)年之終身壽險仍可分為期末給付、即刻給付與瞬時遞增型之即刻給付。

期末給付.

假設被保險人在 \(x\)歲時投保每年分成 \(h\)期且定期遞增 \(k\)年之期末給付終身壽險。保單契約約定，被保險人若於保單契約生效後之第 \(1/h\)年內(即第 \(1\)年內之第 \(1/h\)期內)身故時，於第 \(1/h\)年末給付保險金 \(1/h\)元，在第 \(1/h\)至 \(2/h\)年內(即第 \(1\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內)身故時，於 \(2/h\)年末給付保險金 \(2/h\)元，如此每增加 \(1/h\)年，保險金增加 \(1/h\)元。依此類推，第 \(k-1\)至 \((k-1)+(1/h)\)年內(即第 \(k\)年內之第 \(1/h\)期內)身故時，於第 \((k-1)+(1/h)\)年末給付保險金 \((k-1)+(1/h)\)元，在第 \((k-1)+(1/h)\)至 \((k-1)+(2/h)\)年內(即第 \(k\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內)身故時，於第 \((k-1)+(2/h)\)年末給付保險金 \((k-1)+(2/h)\)元，如此繼續下去至第 \(k\)年末給付保險金 \(k\)元。之後，自第 \(k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 \(k\)元，直至終身，其被保險人之總給付現值以符號 \((I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x}\)表示。依據之前之類似論點，上述之給付方式可近似的解釋成保單契約生效後之第 \(1\)年內(即每年遞增數次之人壽保險金頁之(24)式之 \(t=0\))身故時，保險公司需於第 \(1\)年末給付保險金 \((h+1)/2h\)元，第 \(2\)年內(即每年遞增數次之人壽保險金頁之(24)式之 \(t=1\))身故時，保險公司需於第 \(2\)年末給付保險金 \(1+(h+1)/2h\)元，第 \(3\)年內(即每年遞增數次之人壽保險金頁之(24)式之 \(t=2\))身故時，保險公司需於第 \(3\)年末給付保險金 \(2+(h+1)/2h\)元，依此類推，第 \(k\)年內身故時，保險公司需於第 \(k\)年末給付保險金 \((k-1)+(h+1)/2h\)元，之後，自第 \(k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當年末給付保險金 \(k\)元，直至終身。此類型給付方式之被保險人之總給付現值以符號 \((\widehat{I}_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x}\)表示。也就是說 \((I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x}\approx (\widehat{I}_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x}\)。接著，將推導 \((\widehat{I}_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x}\)之計算式。考慮下面之情形:

• 投保 \(k\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \((h+1)/2h\)元，其現值為 \(((h+1)/2h)\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{1|}A_{x}\)
• 投保延期 \(2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{2|}A_{x}\)
• 依此類推，最後，投保延期 \(k-1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{k-1|}A_{x}\)。

將上述之所有情形加總後即為年金現值 \((\widehat{I}_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x}\)，由定期遞增型人壽保險金頁之(15)式，其計算公式為
\begin{align*}
(\widehat{I}_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x} & =\frac{h+1}{2h}\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}
+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{t|}A_{x}=\frac{h+1}{2h}\cdot\left (A_{x}-{}_{k|}A_{x}\right )+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{t|}A_{x}\\
& =\left (\frac{h+1}{2h}-1\right )\cdot A_{x}+\left (1-\frac{h+1}{2h}\right )\cdot {}_{k|}A_{x}-{}_{k|}A_{x}
+\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}A_{x}\\
& =\frac{1-h}{2h}\cdot \left (A_{x}-{}_{k|}A_{x}\right )-{}_{k|}A_{x}+(I_{k\!\rceil}A)_{x}\mbox{ (由定期遞增型人壽保險金頁之(15)式)}\\
& =(I_{k\!\rceil}A)_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{k|}A_{x}\mbox{。}
\end{align*}
因此，可得
\[(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x}\approx (\widehat{I}_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x}
=(I_{k\!\rceil}A)_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{k|}A_{x}\mbox{。}\]

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 \(1/h\)年內身故時，於第 \(1/h\)年末給付保險金  \(\Lambda/h\)元，在第 \(1/h\)至 \(2/h\)年內身故時，於 \(2/h\)年末給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此每增加 \(1/h\)年，保險金增加 \(\Lambda/h\)元。依此類推，第 \(k-1\)至 \((k-1)+(1/h)\)年內身故時，於第 \((k-1)+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(1/h)]\)元，在第 \((k-1)+(1/h)\)至 \((k-1)+(2/h)\)年內身故時，於第 \((k-1)+(2/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(2/h)]\)元，如此繼續下去至第 \(k\)年末給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元。之後，自第 \(k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至終身。簡而言之，每年總遞增金額為 \(\Lambda\)元。所以，將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，即可得
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x}\approx
\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}
\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{k|}A_{x}\mbox{。}\]

第二種情形，假設考慮第 \(1\)年之總遞增金額為 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(k\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元，每年總遞增金額為 \(\lambda\)元至第 \(k\)年，之後，自第 \(k+1\)年起，每年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元直至終身。因每年分成 \(h\)次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 \(1\)年內之第 \(1/h\)期內身故時，於第 \(1/h\)年末給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(1\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內身故時，於第 \(2/h\)年末給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此至第 \(1\)年末需給付保險金 \(\Lambda\)元。第 \(2\)年內之第 \(1/h\)期內身故時，於第 \(1+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(2\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內身故時，於第 \(1+(2/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda +(2\lambda/h)\)元，如此至第 \(2\)年末需給付保險金 \(\Lambda +\lambda\)元。依此類推，第 \(k\)年內之第 \(1/h\)期內身故時，於第 \(k-1+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(k\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內身故時，於第 \(k-1+(2/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(2\lambda/h)\)元，如此繼續下去至第 \(k\)年末需給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。之後，自第 \(k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，直至終身。為便於計算，我們取其近似值，考慮每年之平均保險金。依據之前的論點，可得第 \(x\)年至 \(x+1\)年之平均保險金為 \(\Lambda\cdot (h+1)/2h\)。若 \(1\leq t\leq k-1\)，第 \(x+t\)年至 \(x+t+1\)年之平均保險金為
\[\Lambda +(t-1)\cdot\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\mbox{。}\]
若 \(t\geq k\)，第 \(x+t\)年至 \(x+t+1\)年之平均保險金為 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。換句話說，依據每年之平均保險金，可以近似的考慮成保單契約生效後之第 \(1\)年內身故時，保險公司需於第 \(1\)年末給付保險金 \(\Lambda\cdot (h+1)/2h\)元，第 \(2\)年內身故時，保險公司需於第 \(2\)年末給付保險金 \(\Lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\)元，第 \(3\)年內身故時，保險公司需於第 \(3\)年末給付保險金 \(\Lambda +\lambda+\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\)元，依此類推，第 \(k\)年內身故時，保險公司需於第 \(k\)年末給付保險金 \(\Lambda +(k-2)\cdot\lambda +\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\)元。之後，自第 \(k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當年末給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，直至終身。為推導此類型給付方式之總給付現值計算式，可考慮下面之情形:

• 投保 \(1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\cdot (h+1)/2h\)元，其現值為 \((\Lambda\cdot (h+1)/2h)\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{1|}A_{x}\)
• 投保延期 \(1\)年之 \(k-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\)元，其現值為 \(\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot {}_{1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{2|}A_{x}\)
• 依此類推，最後，投保延期 \(k-1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{k-1|}A_{x}\)。

將上述之所有情形加總後即為近似總給付保險金現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & \approx\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}+\Lambda\cdot {}_{1|}A_{x}
+\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot {}_{1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=2}^{k-1}{}_{t|}A_{x}\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot\left (A_{x:1\!\rceil}^{1}+{}_{1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}\right )
+\lambda\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}+\Lambda\cdot {}_{1|}A_{x}\\
& \quad +\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )
\cdot {}_{1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=2}^{k-1}{}_{t|}A_{x}\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\left (A_{x}-{}_{1|}A_{x}\right )+\Lambda\cdot {}_{1|}A_{x}\\
& \quad +\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot\left ({}_{1|}A_{x}-{}_{k|}A_{x}\right )
-\lambda\cdot\left (A_{x}+{}_{1|}A_{x}\right )+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}A_{x}\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{1|}A_{x}\\
& \quad -\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot {}_{k|}A_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付.

假設被保險人在 \(x\)歲時投保每年分成 \(h\)期且定期遞增 \(k\)年之即刻給付終身壽險，其被保險人之總給付現值以符號 \((I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\)表示。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\begin{equation}{\label{eq159}}\tag{43}
(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\approx (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
-{}_{k|}\bar{A}_{x}\mbox{。}
\end{equation}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 \(1/h\)年內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(1/h\)至 \(2/h\)年內身故時，即刻給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此每增加 \(1/h\)年，保險金增加 \(\Lambda/h\)元。依此類推，第 \(k-1\)至 \((k-1)+(1/h)\)年內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(1/h)]\)元，在第 \((k-1)+(1/h)\)至 \((k-1)+(2/h)\)年內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(2/h)]\)元，如此繼續下去至第 \(k\)年末給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元。之後，自第 \(k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需即刻給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至終身。簡而言之，每年總遞增金額為 \(\Lambda\)元。所以，將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，即可得
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\approx
\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}
\cdot \bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x}\mbox{。}\]

第二種情形，假設考慮第$1$年之總遞增金額為 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(k\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元，每年總遞增金額為 \(\lambda\)元至第 \(k\)年，之後，自第 \(k+1\)年起，每年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元直至終身。因每年分成 \(h\)次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 \(1\)年內之第 \(1/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(1\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此至第 \(1\)年末需給付保險金 \(\Lambda\)元。第 \(2\)年內之第 \(1/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(2\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(2\lambda/h)\)元，如此至第 \(2\)年末需給付保險金 \(\Lambda +\lambda\)元。依此類推，第 \(k\)年內之第 \(1/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(k\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(2\lambda/h)\)元，如此繼續下去至第 \(k\)年末需給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。之後，自第 \(k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需即刻給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，直至終身。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\begin{align}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x}\nonumber\\
& -\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )
\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\mbox{。}\label{eq177}\tag{44}
\end{align}

瞬時定期遞增型之即刻給付.

若上述每年遞增 \(h\)次之即刻給付終身壽險中之 \(h\)考慮成無窮大時，即為瞬時定期遞增 \(k\)年之即刻給付終身壽險。其身故保險金將隨時間增加而遞增直至第 \(k\)年末，之後，自第 \(k+1\)年起，身故保險金皆固定為 \(k\)元。保單契約約定，被保險人若於保單契約生效後之任何 \(t/h\)時間身故且 \(t\leq h\cdot k\)，保險公司需即刻給付保險金 \(t/h\)元。若 \(t>h\cdot k\)，則保險公司皆即刻給付保險金 \(k\)元，其被保險人之總給付現值以符號 \((\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)表示，接著將推導其計算式，首先，將依現值收支平衡原則來推導 \((I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \((I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot (I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\)，而總保險金支出現值為
\[\frac{1}{h}\cdot v^{\frac{1}{h}}\cdot d_{x}+\frac{2}{h}\cdot v^{\frac{2}{h}}\cdot d_{x+\frac{1}{h}}+\cdots +
k\cdot v^{k}\cdot d_{x+k-\frac{1}{h}}+k\cdot v^{k+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+k}+\cdots
+k\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -\frac{1}{h}}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot (I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}=\sum_{t=0}^{h\cdot k-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{\frac{t+1}{h}}\cdot d_{x+\frac{t}{h}}
+k\cdot\sum_{t=h\cdot k}^{h(\omega -x)-1}v^{\frac{t+1}{h}}\cdot d_{x+\frac{t}{h}}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{h\cdot k-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{\frac{t+1}{h}}\cdot d_{x+\frac{t}{h}}+\frac{k}{l_{x}}\cdot\sum_{t=h\cdot k}^{h(\omega -x)-1}v^{\frac{t+1}{h}}\cdot d_{x+\frac{t}{h}}\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{h\cdot k-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{\frac{t+1}{h}}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{h}}-l_{x+\frac{t}{h}}\right )-\frac{k}{l_{x}}\cdot\sum_{t=h\cdot k}^{h(\omega -x)-1}v^{\frac{t+1}{h}}\cdot
\left (l_{x+\frac{t+1}{h}}-l_{x+\frac{t}{h}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
當 \(h\)趨近於無窮大時，則現值 \((I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\)之極限值就趨近即刻給付的現值 \((\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)，所以可得
\begin{equation}{\label{eq90**}}\tag{45}
(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=\lim_{h\rightarrow\infty}(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\mbox{。}
\end{equation}
令 \(N_{1}=h\cdot k\)。因此，可考慮將區間 \([0,k]\)分成 \(N_{1}\)等份。此時可將下式視為黎曼-史提捷斯和:
\[\sum_{t=0}^{h\cdot k-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{\frac{t+1}{h}}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{h}}-l_{x+\frac{t}{h}}\right )=
\sum_{s=0}^{N_{1}-1}\frac{s+1}{h}\cdot v^{\frac{s+1}{r}}\cdot
\left (l_{x+\frac{s+1}{r}}-l_{x+\frac{s}{r}}\right )\mbox{。}\]
令 \(N_{2}=h\cdot (\omega -x-k)\)。因此，可考慮將區間 \([k,\omega -x]\)分成 \(N_{2}\)等份。此時可將下式視為黎曼-史提捷斯和:
\begin{align*}
\sum_{t=h\cdot k}^{h(\omega -x)-1}v^{\frac{t+1}{h}}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{h}}-l_{x+\frac{t}{h}}\right )
& =\sum_{t=0}^{h(\omega -x-k)-1}v^{k+\frac{t+1}{h}}\cdot\left (l_{x+k+\frac{t+1}{h}}-l_{x+k+\frac{t}{h}}\right )\\
& =\sum_{s=0}^{N_{2}-1}v^{k+\frac{s+1}{h}}\cdot\left (l_{x+k+\frac{s+1}{h}}-l_{x+k+\frac{s}{h}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
當 \(h\)趨近於無窮大時，則 \(N_{1}\)及 \(N_{2}\)亦趨近於無窮大，因此可得黎曼-史提捷斯積分為
\[\lim_{h\rightarrow\infty}\sum_{t=0}^{h\cdot k-1}\frac{t+1}{h}\cdot v^{\frac{t+1}{h}}\cdot
\left (l_{x+\frac{t+1}{h}}-l_{x+\frac{t}{h}}\right )=\lim_{N_{1}\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N_{1}-1}\frac{s+1}{h}\cdot v^{\frac{s+1}{r}}\cdot\left (l_{x+\frac{s+1}{r}}-l_{x+\frac{s}{r}}\right )=\int_{0}^{k}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\]
及
\[\lim_{h\rightarrow\infty}\sum_{t=h\cdot k}^{h(\omega -x)-1}v^{\frac{t+1}{h}}\cdot
\left (l_{x+\frac{t+1}{h}}-l_{x+\frac{t}{h}}\right )=\lim_{N_{2}\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N_{2}-1}v^{k+\frac{s+1}{h}}\cdot
\left (l_{x+k+\frac{s+1}{h}}-l_{x+k+\frac{s}{h}}\right )=\int_{k}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}\]
由(\ref{eq90**})式可得
\begin{equation}{\label{eq91**}}\tag{46}
(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{0}^{k}
t\cdot v^{t}dl_{x+t}-\frac{k}{l_{x}}\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因為
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{，}\]
由(\ref{eq91**})式可推 \((\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)之計算式為
\begin{align}
(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x} & =\int_{0}^{k}t\cdot v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt
+k\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt\nonumber\\
& =\int_{0}^{k}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+k\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
\mbox{。}\label{eq176}\tag{47}
\end{align}
由利息與確定年金頁之(4)式可知
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{，}\]
因此 \(v^{t}=e^{-\delta t}\)，如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \((\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)亦可寫成
\[(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=\int_{0}^{k}t\cdot e^{-\delta t}\cdot
{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+k\cdot\int_{k}^{\omega -x}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
另外，由(\ref{eq159})式可知 \((\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)之近似值為
\[(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot\bar{A}_{x}
-{}_{k|}\bar{A}_{x}\right ]=(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}-\frac{1}{2}\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{k|}\bar{A}_{x}\mbox{。}\]

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之任何 \(t/h\)時間身故且 \(t\leq h\cdot k\)，保險公司需即刻給付保險金 \(t\cdot\Lambda/h\)元。若 \(t>h\cdot k\)，則保險公司皆即刻給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至終身。簡而言之，每年總遞增金額為 \(\Lambda\)元。所以，將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，即可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot (\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\\
& =\Lambda\cdot\int_{0}^{k}t\cdot e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+k\cdot\Lambda\cdot\int_{k}^{\omega -x}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& \approx\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}-\frac{\Lambda}{2}\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
-\Lambda\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 \(1\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot t/h\)元，其中 \(t=1,\cdots ,h\)。第 \(2\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(\lambda\cdot t/h)\)元，其中 \(t=h+1,\cdots ,2h\)。依此類推，每年遞增 \(\lambda\)元，第 \(k\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(k-2)\cdot\lambda +(\lambda\cdot t/h)\)元，其中 \(t=(k-1)\cdot h+1,\cdots ,k\cdot h\)。自第 \(k+1\)年開始後之任何時間身故時，即刻給付固定保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。如此繼續下去，至被保險人身故為止。其被保險人之總給付現值以符號 \((G\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)表示，接著將推導其計算式。首先，將依現值收支平衡原則來推導 \((GI_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \((GI_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot (GI_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\)。依據每年遞增數次之人壽保險金頁之(30)式之推導過程，可考慮下列情形:

• 第 \(1\)年內之現值為
  \[\lim_{h\rightarrow\infty}\Gamma_{1}^{(h)}=-\Lambda\cdot\int_{0}^{1}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}\]
• 第 \(2\)年內之現值為
  \[\lim_{h\rightarrow\infty}\Gamma_{2}^{(h)}=-(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{1}^{2}v^{t}dl_{x+t}
  -\lambda\cdot\int_{1}^{2}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}\]
• 第 \(3\)年內之現值為
  \[\lim_{h\rightarrow\infty}\Gamma_{3}^{(h)}=-(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{2}^{3}v^{t}dl_{x+t}
  -\lambda\cdot\int_{2}^{3}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}\]
• 依此類推，第 \(k\)年內之現值為
  \[\lim_{h\rightarrow\infty}\Gamma_{k}^{(h)}=-(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{k-1}^{k}v^{t}dl_{x+t}
  -\lambda\cdot\int_{k-1}^{k}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}\]
• 被保險人若於契約生效後第 \(s\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，其中 \(s\geq k+1\)及 \(t=(s-1)\cdot h+1,\cdots ,s\cdot h\)。所以其現值為
  \[\Gamma_{s}^{(h)}=\left (\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\right )
  \cdot\left (v^{s-1+\frac{1}{h}}\cdot d_{x+s-1}+v^{s-1+\frac{2}{h}}\cdot
  d_{x+s-1+\frac{1}{h}}+\cdots +v^{s}\cdot d_{x+s-1+\frac{h-1}{h}}\right )\mbox{。}\]
  若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
  \[\lim_{h\rightarrow\infty}\Gamma_{s}^{(h)}=
  -\left (\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\right )\cdot\int_{s-1}^{s}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}\]

將上述之所有情形相加，即可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\lim_{h\rightarrow\infty}\left (\sum_{s=1}^{k}\Gamma_{s}^{(h)}
+\sum_{s=k+1}^{\omega -x}\Gamma_{s}^{(h)}\right )\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\left [\Lambda\cdot\int_{0}^{1}t\cdot v^{t}dl_{x+t}+(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{1}^{k}
v^{t}dl_{x+t}+\lambda\cdot\int_{1}^{k}t\cdot v^{t}dl_{x+t}\right .\\
& \hspace{8mm}\left .+\left (\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\right )\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\right ]\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\left [(\Lambda -\lambda )\cdot\left (
\int_{0}^{1}t\cdot v^{t}dl_{x+t}+\int_{1}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\right )+\lambda\cdot\left (\int_{0}^{k}t\cdot v^{t}dl_{x+t}
+k\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\right )\right ]\\
& =(\Lambda -\lambda )\cdot\left (\int_{0}^{1}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\int_{1}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )
+\lambda\cdot (\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\mbox{ (由(\ref{eq176})式)}\\
& \approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x}\right .\\
&\hspace{8mm}\left .-\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )
\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\right ]\mbox{ (由(\ref{eq177})式)}\\
& =\left (\frac{\Lambda}{2}-\lambda\right )\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}+\frac{\Lambda -\lambda}{2}\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x}
-\left (\frac{\lambda -\Lambda}{2}+\lambda\right )\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\mbox{。}
\end{align*}

\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}

每年遞增數次且定期遞增之定期壽險.

假設每年分成 \(h\)期，定期遞增 \(k\)年之 \(n\)年定期壽險仍可分為期末給付、即刻給付與瞬時遞增型之即刻給付。

期末給付.

假設被保險人在 \(x\)歲時投保每年分成 \(h\)期且定期遞增 \(k\)年之期末給付 \(n\)年定期壽險，其中 \(k<n\)。保單契約約定，被保險人若於保單契約生效後之第 \(1/h\)年內(即第 \(1\)年內之第 \(1/h\)期內)身故時，於第 \(1/h\)年末給付保險金 \(1/h\)元，在第 \(1/h\)至 \(2/h\)年內(即第 \(1\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內)身故時，於第 \(2/h\)年末給付保險金 \(2/h\)元，如此每增加 \(1/h\)年，保險金增加 \(1/h\)元。依此類推，第 \(k-1\)至 \((k-1)+(1/h)\)年內(即第 \(k\)年內之第 \(1/h\)期內)身故時，於第 \((k-1)+(1/h)\)年末給付保險金 \((k-1)+(1/h)\)元，在第 \((k-1)+(1/h)\)至 \((k-1)+(2/h)\)年內(即第 \(k\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內)身故時，於第 \((k-1)+(2/h)\)年末給付保險金 \((k-1)+(2/h)\)元，如此繼續下去至第 \(k\)年末。之後，自第 \(k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 \(k\)元，直至第 \(n\)年，其被保險人之總給付現值以符號 \((I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示。依據上述之類似論點，為求得其近似計算公式，可考慮下面之情形:

• 投保 \(k\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \((h+1)/2h\)元，其現值為 \(((h+1)/2h)\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(2\)年之 \(n-2\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{2|}A_{x:n-2\!\rceil}^{1}\)
• 依此類推，最後，投保延期 \(k-1\)年之 \(n-k+1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{k-1|}A_{x:n-k+1\!\rceil}^{1}\)。

將上述之所有情形加總後，由定期遞增型人壽保險金頁之(21)式，即可得其近似計算公式為
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1} & \approx\frac{h+1}{2h}\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& =\frac{h+1}{2h}\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}-A_{x:n\!\rceil}^{1}+\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [\frac{h+1}{2h}\cdot\left (M_{x}-M_{x+k}\right )-\left (M_{x}-M_{x+n}\right )\right ]
+(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =\left (\frac{h+1}{2h}-1\right )\cdot\frac{M_{x}-M_{x+k}}{D_{x}}-\frac{M_{x+k}-M_{x+n}}{D_{x}}+(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{k|}A_{x:n-k\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 \(1/h\)年內身故時，於第 \(1/h\)年末給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(1/h\)至 \(2/h\)年內身故時，於 \(2/h\)年末給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此每增加 \(1/h\)年，保險金增加 \(\Lambda/h\)元。依此類推，第 \(k-1\)至 \((k-1)+(1/h)\)年內身故時，於第 \((k-1)+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(1/h)]\)元，在第 \((k-1)+(1/h)\)至 \((k-1)+(2/h)\)年內身故時，於第 \((k-1)+(2/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(2/h)]\)元，如此繼續下去至第 \(k\)年末給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元。之後，自第 \(k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至第 \(n\)年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 \(\Lambda\)元。所以，將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，即可得
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}
\approx\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}
\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{k|}A_{x:n-k\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]

第二種情形，假設考慮第 \(1\)年之總遞增金額為 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(k\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元，每年總遞增金額為 \(\lambda\)元至第 \(k\)年，之後，自第 \(k+1\)年起，每年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元直至終身。因每年分成 \(h\)次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 \(1\)年內之第 \(1/h\)期內身故時，於第 \(1/h\)年末給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(1\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內身故時，於第 \(2/h\)年末給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此至第 \(1\)年末需給付保險金 \(\Lambda\)元。第 \(2\)年內之第 \(1/h\)期內身故時，於第 \(1+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(2\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內身故時，於第 \(1+(2/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda +(2\lambda/h)\)元，如此至第 \(2\)年末需給付保險金 \(\Lambda +\lambda\)元。依此類推，第 \(k\)年內之第 \(1/h\)期內身故時，於第 \(k-1+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(k\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內身故時，於第 \(k-1+(2/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(2\lambda/h)\)元，如此繼續下去至第 \(k\)年末需給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。之後，自第 \(k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，第 \(n\)年為止。依據之前之類似論點。為推導此類型給付方式之總給付現值計算式，可考慮下面之情形:

• 投保 \(1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\cdot (h+1)/2h\)元，其現值為 \((\Lambda\cdot (h+1)/2h)\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(1\)年之 \(k-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\)元，其現值為 \(\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot {}_{1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(2\)年之 \(n-2\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{2|}A_{x:n-2\!\rceil}^{1}\)
• 依此類推，最後，投保延期 \(k-1\)年之 \(n-k+1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{k-1|}A_{x:n-k+1\!\rceil}^{1}\)。

將上述之所有情形加總後即為近似總給付保險金現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & \approx\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}+\Lambda\cdot {}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}+\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot {}_{1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\sum_{t=2}^{k-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\nonumber\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot\left (A_{x:1\!\rceil}^{1}+{}_{1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}\right )
+\lambda\cdot A_{x:1\!\rceil}^{1}+\Lambda\cdot {}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\nonumber\\
& \quad +\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot {}_{1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\sum_{t=2}^{k-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\nonumber\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\left (A_{x}-{}_{1|}A_{x}\right )+\Lambda\cdot {}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\nonumber\\
& \quad +\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot\left ({}_{1|}A_{x}-{}_{k|}A_{x}\right )
-\lambda\cdot\left ({}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\right )
+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\nonumber\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot A_{x:k\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{1|}A_{x}-\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}
+\lambda\right )\cdot {}_{k|}A_{x}\nonumber\\
& \quad -(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{n|}A_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\label{eq188}\tag{48}
\end{align*}

即刻給付.

假設被保險人在 \(x\)歲時投保每年分成 \(h\)期且定期遞增 \(k\)年之即刻給付 \(n\)年定期壽險，其中 \(k<n\)，其被保險人之總給付現值以符號 \((I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\[(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\approx (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{h-1}{2h}\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 \(1/h\)年內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(1/h\)至 \(2/h\)年內身故時，即刻給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此每增加 \(1/h\)年，保險金增加 \(\Lambda/h\)元。依此類推，第 \(k-1\)至 \((k-1)+(1/h)\)年內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(1/h)]\)元，在第 \((k-1)+(1/h)\)至 \((k-1)+(2/h)\)年內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(2/h)]\)元，如此繼續下去至第 \(k\)年末給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元。之後，自第 \(k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需即刻給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至第 \(n\)年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 \(\Lambda\)元。所以，將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，即可得
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
\approx\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}
\cdot \bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]

第二種情形，假設考慮第 \(1\)年之總遞增金額為 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(k\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元，每年總遞增金額為 \(\lambda\)元至第 \(k\)年，之後，自第 \(k+1\)年起，每年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元直至終身。因每年分成 \(h\)次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 \(1\)年內之第 \(1/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(1\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此至第 \(1\)年末需給付保險金 \(\Lambda\)元。第 \(2\)年內之第 \(1/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(2\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(2\lambda/h)\)元，如此至第 \(2\)年末需給付保險金 \(\Lambda +\lambda\)元。依此類推，第 \(k\)年內之第 \(1/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(k\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(2\lambda/h)\)元，如此繼續下去至第 \(k\)年末需給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。之後，自第 \(k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需即刻給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，第 \(n\)年為止。依據之前類似論點，其近似總給付保險金現值計算公式為
\begin{align}
\mbox{被保險人之總給付現值} & \approx\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot
\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}
\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x}-\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x}\nonumber\\
& \quad -(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{n|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\label{eq178}\tag{49}
\end{align}

瞬時定期遞增型之即刻給付.

假設被保險人在 \(x\)歲時投保瞬時定期遞增 \(k\)年之即刻給付 \(n\)年定期壽險，其被保險人之總給付現值以符號 \((\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示。依據上述之類似論點，可得其計算公式為
\begin{align*}
(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1} & =\int_{0}^{k}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+k\cdot\int_{k}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& \approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
-{}_{k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}\right ]\\
& =(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{1}{2}\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之任何 \(t/h\)時間身故，保險公司需即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot t/h\)元，至第 \(n\)年為止。將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，即可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot (\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =\Lambda\cdot\left (\int_{0}^{k}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+k\cdot\int_{k}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )\\
& \approx\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{\Lambda}{2}\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}
-\Lambda\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 \(1\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot t/h\)元，其中 \(t=1,\cdots ,h\)。第 \(2\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(\lambda\cdot t/h)\)元，其中 \(t=h+1,\cdots ,2h\)。依此類推，每年遞增 \(\lambda\)元，第 \(s\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(s-2)\cdot\lambda +(\lambda\cdot t/h)\)元，其中 \(t=(s-1)\cdot h+1,\cdots ,s\cdot h\)，如此繼續下去，至第 \(n\)年為止。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =(\Lambda -\lambda )\cdot\left (\int_{0}^{1}t\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\int_{1}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )+\lambda\cdot (\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& \approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot
\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x}\right .\nonumber\\
& \quad \left .-\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x}
-(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{n|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\right ] \mbox{ (根據(\ref{eq178})式)}\\
& =\left (\frac{\Lambda}{2}-\lambda\right )\cdot\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}+\frac{\Lambda -\lambda}{2}\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x}
-\left (\frac{\lambda -\Lambda}{2}+\lambda\right )\cdot {}_{k|}\bar{A}_{x}-(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{n|}\bar{A}_{x}
+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}

每年遞增數次且定期遞增之延期終身壽險.

假設每年分成 \(h\)期，定期遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年終身壽險仍可分為期末給付、即刻給付與瞬時遞增型之即刻給付。

期末給付.

假設被保險人在 \(x\)歲時投保每年分成 \(h\)期且一年定期遞增 \(k\)年之期末給付延期 \(m\)年終身壽險。保單契約約定，被保險人若於保單契約生效後之第 \(m+(1/h)\)年內(即第 \(m+1\)年內之第 \(1/h\)期內)身故時，於第 \(m+(1/h)\)年末給付保險金 \(1/h\)元，在第 \(m+(1/h)\)至 \(m+(2/h)\)年內(即第 \(m+1\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內)身故時，於第 \(m+(2/h)\)年末給付保險金 \(2/h\)元，如此每增加 \(1/h\)年，保險金增加 \(1/h\)元。依此類推，至第 \(m+k\)年末。之後，自第 \(m+k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 \(k\)元，直至終身，其被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x}\)表示。依據上述之類似論點，為求得其近似計算公式，可考慮下面之情形:

• 投保延期 \(m\)年 \(k\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \((h+1)/2h\)元，其現值為 \(((h+1)/2h)\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+1|}A_{x}\)
• 投保延期 \(m+2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+2|}A_{x}\)
• 依此類推，最後，投保延期 \(m+k-1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+k-1|}A_{x}\)。

將上述之所有情形加總後，由定期遞增型人壽保險金頁之(22)式，即可得其近似計算公式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x} & =\frac{h+1}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x}=\frac{h+1}{2h}\cdot\left ({}_{m|}A_{x}-{}_{m+k|}A_{x}\right )+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x}\\
& =\left (\frac{h+1}{2h}-1\right )\cdot {}_{m|}A_{x}+
\left (1-\frac{h+1}{2h}\right )\cdot {}_{m+k|}A_{x}-{}_{m+k|}A_{x}+\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x}\\
& =\frac{1-h}{2h}\cdot \left ({}_{m|}A_{x}-{}_{m+k|}A_{x}\right )-{}_{m+k|}A_{x}+{}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}\\
& ={}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{m+k|}A_{x}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 \(m+(1/h)\)年內身故時，於第 \(m+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(m+(1/h)\)至 \(m+(2/h)\)年內身故時，於 \(m+(2/h)\)年末給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此每增加 \(1/h\)年，保險金增加 \(\Lambda/h\)元。依此類推，第 \(m+k-1\)至 \(m+k-1+(1/h)\)年內身故時，於第 \(m+k-1+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(1/h)]\)元，在第 \(m+k-1+(1/h)\)至 \(m+k-1+(2/h)\)年內身故時，於第 \(m+k-1+(2/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(2/h)]\)元，如此繼續下去至第 \(m+k\)年末給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元。之後，自第 \(m+k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至終身。簡而言之，每年總遞增金額為 \(\Lambda\)元。所以，將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，即可得
\[\mbox{被保險人之總給付現值}=\Lambda\cdot ({}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x}\approx
\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}
\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{m+k|}A_{x}\mbox{。}\]

第二種情形，假設考慮第 \(m+1\)年之總遞增金額為 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(m+3\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(m+k\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元，每年總遞增金額為 \(\lambda\)元至第 \(m+k\)年，之後，自第 \(m+k+1\)年起，每年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元直至終身。因每年分成 \(h\)次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 \(m+1\)年內之第 \(m+(1/h)\)期內身故時，於第 \(m+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(m+1\)年內之第 \(m+(1/h)\)至 \(m+(2/h)\)期內身故時，於第 \(m+(2/h)\)年末給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此至第 \(m+1\)年末需給付保險金 \(\Lambda\)元。第 \(m+2\)年內之第 \(m+1+1/h\)期內身故時，於第 \(m+1+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(m+2\)年內之第 \(m+1+(1/h)\)至$m+1+(2/h)$期內身故時，於第 \(m+1+(2/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda +(2\lambda/h)\)元，如此至第 \(m+2\)年末需給付保險金 \(\Lambda +\lambda\)元。依此類推，第 \(m+k\)年內之第 \(m+k-1+1/h\)期內身故時，於第 \(m+k-1+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(m+k\)年內之第 \(m+k-1+(1/h)\)至 \(m+k-1+(2/h)\)期內身故時，於第 \(m+k-1+(2/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(2\lambda/h)\)元，如此繼續下去至第 \(m+k\)年末需給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。之後，自第 \(m+k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，直至終身。依據上述之類似論點，為求得其近似計算公式，可考慮平均保險金及下面之情形:

• 投保延期 \(m\)年之 \(1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\cdot (h+1)/2h\)元，其現值為 \((\Lambda\cdot (h+1)/2h)\cdot {}_{m|}A_{x:1\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m+1|}A_{x}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之 \(k-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\)元，其現值為 \(\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot {}_{m+1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(m+2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+2|}A_{x}\)
• 依此類推，最後，投保延期 \(m+k-1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+k-1|}A_{x}\)。

將上述之所有情形加總後即為近似總給付保險金現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & \approx\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:1\!\rceil}^{1}+\Lambda\cdot {}_{m+1|}A_{x}+\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot {}_{m+1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=2}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x}\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot\left (
{}_{m|}A_{x:1\!\rceil}^{1}+{}_{m+1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}\right )
+\lambda\cdot {}_{m|}A_{x:1\!\rceil}^{1}+\Lambda\cdot {}_{m+1|}A_{x}\\
& \quad +\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )
\cdot {}_{m+1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=2}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x}\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot {}_{m}A_{x:k\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\left ({}_{m|}A_{x}-{}_{m+1|}A_{x}\right )+\Lambda\cdot {}_{m+1|}A_{x}\\
& \quad +\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )
\cdot\left ({}_{m+1|}A_{x}-{}_{m+k|}A_{x}\right )-\lambda\cdot\left ({}_{m|}A_{x}+{}_{m+1|}A_{x}\right )
+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x}\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m+1|}A_{x}\\
& \quad -\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )
\cdot {}_{m+k|}A_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付.

假設被保險人在 \(x\)歲時投保每年分成 \(h\)期且定期遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年即刻給付終身壽險，其被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\)表示。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\begin{equation}{\label{eq179}}\tag{50}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\approx {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}
-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{m+k|}\bar{A}_{x}\mbox{。}
\end{equation}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 \(m+(1/h)\)年內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(m+(1/h)\)至 \(m+(2/h)\)年內身故時，即刻給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此每增加 \(1/h\)年，保險金增加 \(\Lambda/h\)元。依此類推，第 \(m+k-1\)至 \(m+k-1+(1/h)\)年內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(1/h)]\)元，在第 \(m+k-1+(1/h)\)至 \(m+k-1+(2/h)\)年內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(2/h)]\)元，如此繼續下去至第 \(m+k\)年末給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元。之後，自第 \(m+k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需即刻給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至終身。簡而言之，每年總遞增金額為 \(\Lambda\)元。所以，將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，即可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot ({}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\\
& \approx\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}
\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，假設考慮第 \(m+1\)年之總遞增金額為 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(m+3\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(m+k\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元，每年總遞增金額為 \(\lambda\)元至第 \(m+k\)年，之後，自第 \(m+k+1\)年起，每年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元直至終身。因每年分成 \(h\)次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 \(m+1\)年內之第 \(m+(1/h)\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(m+1\)年內之第 \(m+(1/h)\)至 \(m+(2/h)\)期內身故時，即刻給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此至第 \(m+1\)年末需給付保險金 \(\Lambda\)元。第 \(m+2\)年內之第 \(m+1+1/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(m+2\)年內之第 \(m+1+(1/h)\)至 \(m+1+(2/h)\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(2\lambda/h)\)元，如此至第 \(m+2\)年末需給付保險金 \(\Lambda +\lambda\)元。依此類推，第 \(m+k\)年內之第 \(m+k-1+1/h\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(m+k\)年內之第 \(m+k-1+(1/h)\)至 \(m+k-1+(2/h)\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(2\lambda/h)\)元，如此繼續下去至第 \(m+k\)年末需給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。之後，自第 \(m+k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需即刻給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，直至終身。依據上述之類似論點，可求得其近似計算公式為
\begin{align}
\mbox{被保險人之總給付現值}
& \approx\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )
\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}+\left (\Lambda -\lambda\right )
\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x}\nonumber\\
& -\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )
\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\mbox{。}\label{eq180}\tag{51}
\end{align}

瞬時定期遞增型之即刻給付.

假設被保險人在 \(x\)歲時投保瞬時定期遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年即刻給付終身壽險，其被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)表示。依據上述之類似論點，可得其計算公式為
\[{}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=\int_{m}^{m+k}(t-m)\cdot v^{t}
\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+k\cdot\int_{m+k}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值亦可寫成
\[{}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=\int_{m}^{m+k}(t-m)\cdot e^{-\delta t}\cdot
{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+k\cdot\int_{m+k}^{\omega -x}e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
依據(\ref{eq179})式，可得近似計算公式為
\begin{align*}
{}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x} & \approx\lim_{h\rightarrow\infty}{}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x}\\
& =\lim_{h\rightarrow\infty}\left ({}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}
-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{m+k|}\bar{A}_{x}\right )\\
& ={}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}-\frac{1}{2}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{m+k|}\bar{A}_{x}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效 \(m\)年後之任何 \(t/h\)時間身故且 \(t\leq h\cdot k\)，保險公司需即刻給付保險金 \(t\cdot\Lambda/h\)元。若 \(t>h\cdot k\)，則保險公司皆即刻給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至終身。簡而言之，每年總遞增金額為 \(\Lambda\)元。所以，將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，即可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\\
& \approx\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}
-\frac{\Lambda}{2}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 \(m+1\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot t/h\)元，其中 \(t=1,\cdots ,h\)。第 \(m+2\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(\lambda\cdot t/h)\)元，其中 \(t=h+1,\cdots ,2h\)。依此類推，每年遞增 \(\lambda\)元，第 \(m+k\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(k-2)\cdot\lambda +(\lambda\cdot t/h)\)元，其中 \(t=(k-1)\cdot h+1,\cdots ,k\cdot h\)。自第 \(m+k+1\)年開始後之任何時間身故時，即刻給付固定保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。如此繼續下去，至被保險人身故為止。依據上述之類似論點，可求得其近似計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =(\Lambda -\lambda )\cdot\left (\int_{m}^{m+1}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\int_{m+1}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )+\lambda\cdot {}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\\
& \approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )
\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x}\right .\\
& \hspace{8mm}\left .-\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )
\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\right ]\mbox{ (依據(\ref{eq180})式)}\\
& =\left (\frac{\Lambda}{2}-\lambda\right )\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}+\frac{\Lambda -\lambda}{2}\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x}-\left (\frac{\lambda -\Lambda}{2}+\lambda\right )\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x}
+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\mbox{。}
\end{align*}

\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}

每年遞增數次且定期遞增之延期定期壽險.

假設每年分成 \(h\)期，定期遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，其中 \(k<n\)，可分為期末給付、即刻給付與瞬時遞增型之即刻給付。

期末給付.

假設被保險人在 \(x\)歲時投保每年分成 \(h\)期且定期遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年期末給付之 \(n\)年定期壽險，其中 \(k<n\)。保單契約約定，被保險人若於保單契約生效後之第 \(m+(1/h)\)年內(即第 \(m+1\)年內之第 \(1/h\)期內)身故時，於第 \(m+(1/h)\)年末給付保險金 \(1/h\)元，在第 \(m+(1/h)\)至 \(m+(2/h)\)年內(即第 \(m+1\)年內之第 \(1/h\)至 \(2/h\)期內)身故時，於第 \(m+(2/h)\)年末給付保險金 \(2/h\)元，如此每增加 \(1/h\)年，保險金增加 \(1/h\)元。依此類推，至第 \(m+k\)年末。之後，自第 \(m+k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 \(k\)元，直至第 \(m+n\)年，其被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示。依據上述之類似論點，為求得其近似計算公式，可考慮平均保險金及下面之情形:

• 投保延期 \(m\)年之 \(k\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \((h+1)/2h\)元，其現值為 \(((h+1)/2h)\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(m+2\)年之 \(n-2\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+2|}A_{x:n-2\!\rceil}^{1}\)
• 依此類推，最後，投保延期 \(m+k-1\)年之 \(n-k+1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+k-1|}A_{x:n-k+1\!\rceil}^{1}\)。

將上述之所有情形加總後，由定期遞增型人壽保險金頁之(23)式，即可得其近似計算公式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1} & \approx\frac{h+1}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}
+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& =\frac{h+1}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [\frac{h+1}{2h}\cdot\left (M_{x+m}-M_{x+m+k}\right )-\left (M_{x+m}-M_{x+m+n}\right )\right ]
+{}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =\left (\frac{h+1}{2h}-1\right )\cdot\frac{M_{x+m}-M_{x+m+k}}{D_{x}}
-\frac{M_{x+m+k}-M_{x+m+n}}{D_{x}}+{}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& ={}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{m+k|}A_{x:n-k\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 \(m+(1/h)\)年內身故時，於第 \(m+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(m+(1/h)\)至 \(m+(2/h)\)年內身故時，於 \(m+(2/h)\)年末給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此每增加 \(1/h\)年，保險金增加 \(\Lambda/h\)元。依此類推，第 \(m+k-1\)至 \(m+k-1+(1/h)\)年內身故時，於第 \(m+k-1+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(1/h)]\)元，在第 \(m+k-1+(1/h)\)至 \(m+k-1+(2/h)\)年內身故時，於第 \(m+k-1+(2/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(2/h)]\)元，如此繼續下去至第 \(m+k\)年末給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元。之後，自第 \(m+k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至第 \(m+n\)年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 \(\Lambda\)元。所以，將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，即可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& \approx\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{m+k|}A_{x:n-k\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，假設考慮第 \(m+1\)年之總遞增金額為 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(m+3\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(m+k\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元，每年總遞增金額為 \(\lambda\)元至第 \(m+k\)年，之後，自第 \(m+k+1\)年起，每年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元直至終身。因每年分成 \(h\)次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 \(m+1\)年內之第 \(m+(1/h)\)期內身故時，於第 \(m+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(m+1\)年內之第 \(m+(1/h)\)至 \(m+(2/h)\)期內身故時，於第 \(m+(2/h)\)年末給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此至第 \(m+1\)年末需給付保險金 \(\Lambda\)元。第 \(m+2\)年內之第 \(m+1+1/h\)期內身故時，於第 \(m+1+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(m+2\)年內之第 \(m+1+(1/h)\)至 \(m+1+(2/h)\)期內身故時，於第 \(m+1+(2/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda +(2\lambda/h)\)元，如此至第 \(m+2\)年末需給付保險金 \(\Lambda +\lambda\)元。依此類推，第 \(m+k\)年內之第 \(m+k-1+1/h\)期內身故時，於第 \(m+k-1+(1/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(m+k\)年內之第 \(m+k-1+(1/h)\)至$m+k-1+(2/h)$期內身故時，於第 \(m+k-1+(2/h)\)年末給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(2\lambda/h)\)元，如此繼續下去至第 \(m+k\)年末需給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。之後，自第 \(m+k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需於當期末給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，直至第 \(m+n\)年為止。依據上述之類似論點，為求得其近似計算公式，可考慮平均保險金及下面之情形:

• 投保延期 \(m\)年之 \(1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\cdot (h+1)/2h\)元，其現值為 \((\Lambda\cdot (h+1)/2h)\cdot {}_{m|}A_{x:1\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m+1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之 \(k-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\)元，其現值為 \(\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot {}_{m+1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(m+2\)年之 \(n-2\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+2|}A_{x:n-2\!\rceil}^{1}\)
• 依此類推，最後，投保延期 \(m+k-1\)年之 \(n-k+1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+k-1|}A_{x:n-k+1\!\rceil}^{1}\)。

將上述之所有情形加總後即為近似總給付保險金現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & \approx\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot {}_{m|}A_{x:1\!\rceil}^{1}+\Lambda\cdot {}_{m+1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}
+\frac{\lambda\cdot (h+1)}{2h}\cdot {}_{m+1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=2}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot\left ({}_{m|}A_{x:1\!\rceil}^{1}+{}_{m+1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}\right )
+\lambda\cdot {}_{m|}A_{x:1\!\rceil}^{1}+\Lambda\cdot {}_{m+1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\\
& \quad +\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot {}_{m+1|}A_{x:k-1\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\sum_{t=2}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\left ({}_{m|}A_{x}-{}_{m+1|}A_{x}\right )+\Lambda\cdot {}_{m+1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\\
& \quad +\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot\left ({}_{m+1|}A_{x}-{}_{m+k|}A_{x}\right )\\
& \quad -\lambda\cdot\left ({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{m+1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\right )
+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\\
& =\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot {}_{m|}A_{x:k\!\rceil}^{1}
+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m+1|}A_{x}\\
& \quad -\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot (h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot {}_{m+k|}A_{x}-(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{m+n|}A_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付.

假設被保險人在 \(x\)歲時投保每年分成 \(h\)期且定期遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年即刻給付之 \(n\)年定期壽險，其中 \(k<n\)，其被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\begin{equation}{\label{eq181}}\tag{52}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\approx {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{m+k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{equation}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 \(m+(1/h)\)年內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(m+(1/h)\)至 \(m+(2/h)\)年內身故時，即刻給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此每增加 \(1/h\)年，保險金增加 \(\Lambda/h\)元。依此類推，第 \(m+k-1\)至 \(m+k-1+(1/h)\)年內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(1/h)]\)元，在第 \(m+k-1+(1/h)\)至 \(m+k-1+(2/h)\)年內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot [(k-1)+(2/h)]\)元，如此繼續下去至第 \(m+k\)年末給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元。之後，自第 \(m+k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需即刻給付保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至第 \(m+n\)年為止。簡而言之，每年總遞增金額為 \(\Lambda\)元。所以，將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，即可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot{}_{m|}(I_{k\!\rceil}^{(h)}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& \approx\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{\Lambda\cdot (h-1)}{2h}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，假設考慮第 \(m+1\)年之總遞增金額為 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(m+3\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(m+k\)年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元，每年總遞增金額為 \(\lambda\)元至第 \(m+k\)年，之後，自第 \(m+k+1\)年起，每年之總遞增金額為 \(\Lambda +(k-1)\lambda\)元直至終身。因每年分成 \(h\)次遞增，所以實際給付情形為被保險人若於保單契約生效後之第 \(m+(1/h)\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda/h\)元，在第 \(m+(1/h)\)至 \(m+(2/h)\)期內身故時，即刻給付保險金 \(2\Lambda/h\)元，如此至第 \(m+1\)年末需給付保險金 \(\Lambda\)元。第 \(m+1+(1/h)\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(m+1+(1/h)\)至 \(m+1+(2/h)\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(2\lambda/h)\)元，如此至第 \(m+2\)年末需給付保險金 \(\Lambda +\lambda\)元。依此類推，第 \(m+k-1+(1/h)\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(\lambda/h)\)元，在第 \(m+k-1+(1/h)\)至 \(m+k-1+(2/h)\)期內身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda (k-2)\cdot\lambda +(2\lambda/h)\)元，如此繼續下去至第 \(m+k\)年末需給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。之後，自第 \(m+k+1\)年起，若被保險人身故，則保險公司需即刻給付保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，第 \(m+n\)年為止。依據之前類似論點，其近似總給付保險金現值計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & \approx\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot
{}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}
\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x}-\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot(h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x}\\
& \quad -(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{m+n|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

瞬時定期遞增型之即刻給付.

假設被保險人在 \(x\)歲時投保瞬時定期遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年即刻給付之 \(n\)年定期壽險，其被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示。依據上述之類似論點，可得其計算公式為
\begin{align*}
{}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1} & =\int_{m}^{m+k}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+k\cdot\int_{m+k}^{m+n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& \approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [{}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{m+k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}\right ]\mbox{ (依據(\ref{eq181})式)}\\
& ={}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}-\frac{1}{2}\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-{}_{m+k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於保單契約生效 \(m\)年後之任何 \(t/h\)時間身故，保險公司需即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot t/h\)元，至第 \(m+n\)年為止。將上述之推導過程 \(\Lambda\)倍，即可得
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值}
& =\Lambda\cdot {}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& \approx\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}
-\frac{\Lambda}{2}\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}-\Lambda\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x:n-k\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

第二種情形，被保險人若於保單契約生效後之第 \(m+1\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda\cdot t/h\)元，其中 \(t=1,\cdots ,h\)。第 \(m+2\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(\lambda\cdot t/h)\)元，其中 \(t=h+1,\cdots ,2h\)。依此類推，每年遞增 \(\lambda\)元，第 \(m+s\)年內之任何 \(t/h\)時間身故時，即刻給付保險金 \(\Lambda +(s-2)\cdot\lambda +(\lambda\cdot t/h)\)元，其中 \(t=(s-1)\cdot h+1,\cdots ,s\cdot h\)，如此繼續下去，至第 \(m+n\)年為止。依據上述之類似論點，可得其近似計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =(\Lambda -\lambda )\cdot\left (\int_{m}^{m+1}(t-m)\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\int_{m+1}^{m+n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )+\lambda\cdot {}_{m|}(\bar{I}_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& \approx\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\left (\frac{\Lambda\cdot (h+1)}{2h}-\lambda\right )\cdot
{}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}+\left (\Lambda -\lambda\right )\cdot\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x}\right .\nonumber\\
& \quad\left .-\left (\frac{(\lambda -\Lambda )\cdot(h+1)}{2h}+\lambda\right )\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x}
-(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{m+n|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\right ]\\
& =\left (\frac{\Lambda}{2}-\lambda\right )\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x:k\!\rceil}^{1}+\frac{\Lambda -\lambda}{2}\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x}-\left (\frac{\lambda -\Lambda}{2}+\lambda\right )\cdot {}_{m+k|}\bar{A}_{x}\\
&\quad  -(\Lambda -2\lambda )\cdot {}_{m+n|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}