每年分數次給付生存年金

Bartholomeus van Hove (1790-1880) was a Dutch painter.

本頁有以下小節

\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}

每年分數次給付且每年遞增一次之生存年金現值.

基本型態.

假設將每年分成 $h$次給付且每年遞增一次，第 $1$年總給付年金 $1$元，如此類推，每年增加給付年金 $1$元，其各種不同生存年金現值茲分述如下。

(i) 遞增型終身生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $1/h$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $1$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $2/h$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $2$元，如此繼續下去，至被保險人身故為止。依據遞增型生存年金頁之(2)式及基本型生存年金頁之(25)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
(Ia)_{x}^{(h)} & =\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}a_{x}^{(h)}\\
& \approx\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}\left (N_{x+t+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x+t}\right )\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left (S_{x+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot N_{x}\right )\mbox{。}
\end{align*}
事實上，由基本型生存年金頁之(6)式知 $N_{x}=D_{x}+D_{x+1}+\cdots +D_{\omega -1}$。

(ii) 遞增型定期生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $1/h$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $1$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $2/h$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $2$元，如此繼續下去，至第 $n$年末之總給付年金 $n$元為止。依據遞增型生存年金頁之(5)式及基本型生存年金頁之(32)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
(Ia)_{x:n\!\rceil}^{(h)} & =\sum_{t=0}^{n-1}{}_{t|}a_{x:n-t\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{n-1}\left [N_{x+t+1}-N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (D_{x+t}-D_{x+n}\right )\right ]\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [S_{x+1}-S_{x+n+1}-n\cdot N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}
\cdot\left (N_{x}-N_{x+n}-n\cdot D_{x+n}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(iii) 遞增型之延期終身生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $1/h$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $1$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $2/h$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $2$元，如此繼續下去，至被保險人身故為止。依據遞增型生存年金頁之(9)式及基本型生存年金頁之(25)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
{}_{m|}(Ia)_{x}^{(h)} & =\sum_{t=m}^{\omega -x-1}{}_{t|}a_{x}^{(h)}=\sum_{t=0}^{\omega -x-m-1}{}_{m+t|}a_{x}^{(h)}\\
& \approx\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-m-1}\left (N_{x+m+t+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x+m+t}\right )\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left (S_{x+m+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot N_{x+m}\right )\mbox{。}
\end{align*}

(iv) 遞增型之延期定期生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $1/h$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $1$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $2/h$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $2$元，如此繼續下去，直到第 $m+n$年末之總給付年金 $n$元為止。依據遞增型生存年金頁之(11)式及基本型生存年金頁之(32)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
& {}_{m|}(Ia)_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\sum_{t=0}^{n-1}{}_{m+t|}a_{x:n-t\!\rceil}^{(h)}\\
& \quad\approx\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{n-1}\left [N_{x+m+t+1}-N_{x+m+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot
\left (D_{x+m+t}-D_{x+m+n}\right )\right ]\\
& \quad =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [S_{x+m+1}-S_{x+m+n+1}-n\cdot N_{x+m+n+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (N_{x+m}-N_{x+m+n}-n\cdot D_{x+m+n}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(v) 定期遞增型之終身生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $1/h$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $1$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $2/h$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $2$元，如此類推，至第 $k$年末總給付年金 $k$元，之後，自第 $k+1$年起，其給付方式與第 $k$年相同至終身。依據遞增型生存年金頁之(13)式及基本型生存年金頁之(25)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}a)_{x}^{(h)} & =\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}a_{x}^{(h)}\\
& \approx\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{k-1}\left (N_{x+t+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x+t}\right )\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [S_{x+1}-S_{x+k+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (N_{x}-N_{x+k}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(vi) 定期遞增型之定期生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $1/h$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $1$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $2/h$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $2$元，如此類推，至第 $k$年末總給付年金 $k$元，之後，自第 $k+1$年起，其給付方式與第 $k$年相同，至第 $n$年末之總給付年金 $k$元為止。依據遞增型生存年金頁之(15)式及基本型生存年金頁之(32)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}^{(h)} & =\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}a_{x:n-t\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{k-1}\left [N_{x+t+1}-N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (D_{x+t}-D_{x+n}\right )\right ]\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [S_{x+1}-S_{x+k+1}-k\cdot N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (N_{x}-N_{x+k}-k\cdot D_{x+n}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(vii) 定期遞增型之延期終身生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $1/h$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $1$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $2/h$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $2$元，如此類推，至第 $m+k$年末總給付年金 $k$元，之後，自第 $m+k+1$年起，其給付方式與第 $m+k$年相同，至被保險人身故為止。依據遞增型生存年金頁之(17)式及基本型生存年金頁之(25)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x}^{(h)}& =\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}a_{x}^{(h)}\\
& \approx\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{k-1}\left (N_{x+t+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x+t}\right )\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left (S_{x+m+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot N_{x+m}\right )\mbox{。}
\end{align*}

(viii) 定期遞增型之延期定期生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $1/h$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $1$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $2/h$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $2$元，如此類推，至第 $m+k$年末總給付年金 $k$元，之後，自第 $m+k+1$年起，其給付方式與第 $m+k$年相同，直到第 $m+n$年末之總給付年金 $k$元為止。依據遞增型生存年金頁之(19)式及基本型生存年金頁之(32)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
& {}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}a_{x:n-t\!\rceil}^{(h)}\\
& \quad\approx\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{k-1}\left [N_{x+m+t+1}-N_{x+m+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot
\left (D_{x+m+t}-D_{x+m+n}\right )\right ]\\
& \quad =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [S_{x+m+1}-S_{x+m+k+1}-k\cdot N_{x+m+n+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (N_{x+m}-N_{x+m+k}-k\cdot D_{x+m+n}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

廣義型態.

假設將每年分成 $h$次給付且每年遞增一次，第 $1$年總給付年金 $\Lambda$元，第 $2$年總給付年金 $\Lambda +\lambda$元，第 $3$年總給付年金 $\Lambda +2\lambda$元，如此類推，每年增加給付年金 $\lambda$元，其各種不同生存年金現值茲分述如下。

(i) 遞增型終身生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot\Lambda$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $\Lambda$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot (\Lambda +\lambda )$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $\Lambda +\lambda$元，第 $3$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot (\Lambda +2\lambda )$元，則第 $3$年末之總給付年金為 $\Lambda +2\lambda$元，如此繼續下去，至被保險人身故為止。依據遞增型生存年金頁之(4)式及基本型生存年金頁之(22)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x}^{(h)}+\lambda\cdot (Ia)_{x}^{(h)}\\
& \approx (\Lambda -\lambda)\cdot\left (\frac{N_{x+1}}{D_{x}}+\frac{h-1}{2h}\right )
+\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left (S_{x+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot N_{x}\right )\mbox{。}
\end{align*}

(ii) 遞增型定期生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot\Lambda$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $\Lambda$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot (\Lambda +\lambda )$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $\Lambda +\lambda$元，如此繼續下去，至第 $n$年末之總給付年金 $\Lambda +(n-1)\cdot\lambda$元為止。依據遞增型生存年金頁之(6)式及基本型生存年金頁之(28)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x:n\!\rceil}^{(h)}+\lambda\cdot (Ia)_{x:n\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx\frac{\Lambda -\lambda}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+1}-N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x}-D_{x+n})\right ]\\
& \quad +\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [S_{x+1}-S_{x+n+1}-n\cdot N_{x+n+1}+
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (N_{x}-N_{x+n}-n\cdot D_{x+n}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(iii) 遞增型之延期終身生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot\Lambda$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $\Lambda$元。第 $m+2$年內之每$1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot (\Lambda +\lambda )$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $\Lambda +\lambda$元，如此繼續下去，至被保險人身故為止。依據遞增型生存年金頁之(10)式及基本型生存年金頁之(25)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x}^{(h)}+\lambda\cdot {}_{m|}(Ia)_{x}^{(h)}\\
& \approx\frac{\Lambda -\lambda}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m+1}+D_{x+m}\cdot\frac{h-1}{2h}\right ]
+\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left (S_{x+m+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot N_{x+m}\right )\mbox{。}
\end{align*}

(iv) 遞增型之延期定期生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot\Lambda$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $\Lambda$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot (\Lambda +\lambda )$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $\Lambda +\lambda$元，如此繼續下去，直到第 $m+n$年末之總給付年金 $\Lambda +(n-1)\cdot\lambda$元為止。依據遞增型生存年金頁之(12)式及基本型生存年金頁之(34)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
& \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}^{(h)}+\lambda\cdot {}_{m|}(Ia)_{x:n\!\rceil}^{(h)}\\
& \quad\approx\frac{\Lambda -\lambda}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}+\frac{h+1}{2h}\cdot (D_{x+m}-D_{x+m+n})\right ]\\
& \quad\quad+\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [S_{x+m+1}-S_{x+m+n+1}-n\cdot N_{x+m+n+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (N_{x+m}-N_{x+m+n}-n\cdot D_{x+m+n}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(v) 定期遞增型之終身生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot\Lambda$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $\Lambda$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot (\Lambda +\lambda )$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $\Lambda +\lambda$元，如此類推，至第 $k$年末總給付年金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，之後，自第 $k+1$年起，其給付方式與第 $k$年相同至終身。依據遞增型生存年金頁之(14)式及基本型生存年金頁之(22)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x}^{(h)}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}a)_{x}^{(h)}\\
& \approx (\Lambda -\lambda)\cdot\left (\frac{N_{x+1}}{D_{x}}+\frac{h-1}{2h}\right )
+\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [S_{x+1}-S_{x+k+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (N_{x}-N_{x+k}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(vi) 定期遞增型之定期生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot\Lambda$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $\Lambda$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot (\Lambda +\lambda )$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $\Lambda +\lambda$元，如此類推，至第 $k$年末總給付年金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，之後，自第 $k+1$年起，其給付方式與第 $k$年相同，至第 $n$年末之總給付年金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元為止。依據遞增型生存年金頁之(16)式及基本型生存年金頁之(28)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x:n\!\rceil}^{(h)}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx\frac{\Lambda -\lambda}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+1}-N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x}-D_{x+n})\right ]\\
& \quad +\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [S_{x+1}-S_{x+k+1}-k\cdot N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}
\cdot\left (N_{x}-N_{x+k}-k\cdot D_{x+n}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(vii) 定期遞增型之延期終身生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot\Lambda$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $\Lambda$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot (\Lambda +\lambda )$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $\Lambda +\lambda$元，如此類推，至第 $m+k$年末總給付年金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，之後，自第 $m+k+1$年起，其給付方式與第 $m+k$年相同，至被保險人身故為止。依據遞增型生存年金頁之(18)式及基本型生存年金頁之(25)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x}^{(h)}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x}^{(h)}\\
& \approx\frac{\Lambda -\lambda}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m+1}+D_{x+m}\cdot\frac{h-1}{2h}\right ]
+\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left (S_{x+m+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot N_{x+m}\right )\mbox{。}
\end{align*}

(viii) 定期遞增型之延期定期生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot\Lambda$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $\Lambda$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot (\Lambda +\lambda )$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $\Lambda +\lambda$元，如此類推，至第 $m+k$年末總給付年金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，之後，自第 $m+k+1$年起，其給付方式與第 $m+k$年相同，直到第 $m+n$年末之總給付年金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元為止。依據遞增型生存年金頁之(20)式(\ref{eq119})及基本型生存年金頁之(34)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
& \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda )\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}^{(h)}
+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}^{(h)}\\
& \quad\approx\frac{\Lambda -\lambda}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}+\frac{h+1}{2h}\cdot (D_{x+m}-D_{x+m+n})\right ]\\
& \quad\quad +\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [S_{x+m+1}-S_{x+m+k+1}-k\cdot N_{x+m+n+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (N_{x+m}-N_{x+m+k}-k\cdot D_{x+m+n}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}

每年分數次給付且每年遞增數次之生存年金現值.

基本型態.

假設將每年分成 $h$次給付且每年遞增 $h$次，如此每增加 $1/h$年，年金增加 $1/h$元，其各種不同生存年金現值茲分述如下。

(i) 遞增型終身生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1/h$年末(即第 $1$年內之第 $1/h$期末)給付年金 $1/h$元，第 $2/h$年末(即第 $1$年內之第 $2/h$期末)給付年金 $2/h$元，如此至第 $1$年末給付年金 $1$元。接著，第 $(h+1)/h$年末(即第 $2$年內之第 $1/h$期末)給付年金 $(h+1)/h$元，第 $(h+2)/h$年末(即第 $2$年內之第 $2/h$期末)給付年金 $(h+2)/h$元，如此至第 $2$年末給付年金 $2$元。依此類推，第 $(t\cdot h+1)/h$年末(即第 $t+1$年內之第 $1/h$期末)給付年金 $(t\cdot h+1)/h$元，第 $(t\cdot h+2)/h$年末(即第 $t+1$年內之第 $2/h$期末)給付年金 $(t\cdot h+2)/h$元，如此至第 $t+1$年末給付年金 $t+1$元，如此繼續下去，至被保險人身故為止，其年金現值以符號 $(I^{(h)}a)_{x}$表示。可知，第 $t+1$年末之總給付年金為
\[\frac{1}{h}\cdot\sum_{s=1}^{h}\left (t\cdot h+s\right )=h\cdot t+\frac{h+1}{2}\mbox{。}\]
因此，在保單契約生效後之第 $t+1$年內平均每期給付年金為
\begin{equation}{\label {eq153}}\tag{21}
t+\frac{h+1}{2h}\mbox{。}
\end{equation}
為便於計算，我們取其近似值，將每期的概念擴大成每年的概念。因此(\ref{eq153})式便可近似的解釋為第 $x+t+1$年末之給付年金。換句話說，上述之每年分成 $h$次給付且每年遞增 $h$次之給付方式可近似的解釋成保單契約生效後之第 $1$年末(即(\ref{eq153})式之 $t=0$)給付年金 $(h+1)/2h$元，第 $2$年末(即(\ref{eq153})式之 $t=1$)給付年金 $1+(h+1)/2h$元，第 $3$年末(即(\ref{eq153})式之 $t=2$)給付年金 $2+(h+1)/2h$元，依此類推，第 $t+1$年末給付年金 $t+(h+1)/2h$元，如此至被保險人身故為止。此類型給付方式之年金現值以符號 $(\widehat{I}^{(h)}a)_{x}$表示。也就是說 $(I^{(h)}a)_{x}\approx (\widehat{I}^{(h)}a)_{x}$。接著，將推導 $(\widehat{I}^{(h)}a)_{x}$之計算式。考慮下面之情形:

每年末給付生存年金 $(h+1)/2h$元至身故，其現值為 $((h+1)/2h)\cdot {}_{0|}a_{x}=((h+1)/2h)\cdot\cdot a_{x}$
延期 $1$年後，每年末給付生存年金 $1$元至身故，其現值為 ${}_{1|}a_{x}$
延期 $2$年後，每年末給付生存年金 $1$元至身故，其現值為 ${}_{2|}a_{x}$
依此類推，延期 $t$年後，每年末給付生存年金 $1$元至身故，其現值為 ${}_{t|}a_{x}$。

將上述之所有情形加總後即為年金現值 $(I^{(h)}a)_{x}\approx (\widehat{I}^{(h)}a)_{x}$，其計算公式為
\begin{align*}
(I^{(h)}a)_{x}\approx (\widehat{I}^{(h)}a)_{x} & =\frac{h+1}{2h}\cdot {}_{0|}a_{x}+\sum_{t=1}^{\omega -x-1}{}_{t|}a_{x}
=\left (\frac{h+1}{2h}-1\right )\cdot {}_{0|}a_{x}+\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}a_{x}\\
& =\frac{1-h}{2h}\cdot a_{x}+(Ia)_{x}=(Ia)_{x}-\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x}\mbox{。}
\end{align*}

(ii) 未完: 練習

\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}

每年分數次給付之遞減型生存年金現值.

基本型態.

假設將每年分成 $h$次給付且每年遞減一次，第 $1$年總給付年金 $n$元，如此類推，每年減少給付年金 $1$元，其各種不同生存年金現值茲分述如下。

(i) 遞減型定期生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $n/h$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $n$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $(n-1)/h$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $n-1$元，如此繼續下去，至第 $n$年末之總給付年金 $1$元為止。依據遞減型生存年金頁之(2)式及基本型生存年金頁之(28)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
(Da)_{x:n\!\rceil}^{(h)} & =\sum_{t=1}^{n}a_{x:t\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx\sum_{t=1}^{n}\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+1}-N_{x+t+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x}-D_{x+t})\right ]\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+n+2}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (n\cdot D_{x}-N_{x+1}+N_{x+n+1}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(ii) 遞減型之延期定期生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $n/h$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $n$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $(n-1)/h$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $n-1$元，如此繼續下去，直到第 $m+n$年末之總給付年金 $1$元為止。依據遞減型生存年金頁之(4)式及基本型生存年金頁之(32)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
{}_{m|}(Da)_{x:n\!\rceil}^{(h)} & =\sum_{t=1}^{n}{}_{m|}a_{x:t\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx\sum_{t=1}^{n}\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m+1}-N_{x+m+t+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x+m}-D_{x+m+t})\right ]\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+n+2}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (n\cdot D_{x+m}-N_{x+m+1}+N_{x+m+n+1}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(iii) 定期遞減型之終身生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $n/h$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $n$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $(n-1)/h$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $n-1$元，如此類推，至第 $k$年末總給付年金 $n-k+1$元，之後，自第 $k+1$年起，其給付方式與第 $k$年相同至終身。依據定期遞減型生存年金頁之(6)式、基本型生存年金頁之(22)及(28)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
(D_{k\!\rceil}a)_{x}^{(h)} & =(n-k+1)\cdot a_{x}^{(h)}+\sum_{t=1}^{k-1}a_{x:t\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx (n-k+1)\cdot\left (\frac{N_{x+1}}{D_{x}}+\frac{h-1}{2h}\right )
+\sum_{t=1}^{k-1}\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+1}-N_{x+t+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x}-D_{x+t})\right ]\\
& =(n-k+1)\cdot\left (\frac{N_{x+1}}{D_{x}}+\frac{h-1}{2h}\right )+\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [(k-1)\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left ((k-1)\cdot D_{x}-N_{x+1}+N_{x+k}\right )\right ]\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{h-1}{2h}\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left ((k-1)\cdot D_{x}-N_{x+1}+N_{x+k}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(iv) 定期遞減型之定期生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $n/h$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $n$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $(n-1)/h$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $n-1$元，如此類推，至第 $k$年末總給付年金 $n-k+1$元，之後，自第 $k+1$年起，其給付方式與第 $k$年相同，至第 $n$年末之總給付年金 $n-k+1$元為止。依據定期遞減型生存年金頁之(8)式及基本型生存年金頁之(28)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
(D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}^{(h)} & =(n-k+1)\cdot a_{x:n\!\rceil}^{(h)}+\sum_{t=1}^{k-1}a_{x:t\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx (n-k+1)\cdot\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+1}-N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x}-D_{x+n})\right ]\\
& \quad +\sum_{t=1}^{k-1}\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+1}-N_{x+t+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x}-D_{x+t})\right ]\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+1}-N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x}-D_{x+n})\right ]\\
& \quad +\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [(k-1)\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left ((k-1)\cdot D_{x}-N_{x+1}+N_{x+k}\right )\right ]\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{1}{D_{x}}\cdot\left (-N_{x+n+1}-\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x+n}\right )\\
& \quad +\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (n\cdot D_{x}-N_{x+1}+N_{x+k}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(v) 定期遞減型之延期終身生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $n/h$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $n$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $(n-1)/h$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $n-1$元，如此類推，至第 $m+k$年末總給付年金 $n-k+1$元，之後，自第 $m+k+1$年起，其給付方式與第 $m+k$年相同至終身。依據定期遞減型生存年金頁之(10)式、基本型生存年金頁之(25)及(32)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
{}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x}^{(h)} & =(n-k+1)\cdot {}_{m|}a_{x}^{(h)}+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}a_{x:t\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx (n-k+1)\cdot\left [\frac{N_{x+m+1}}{D_{x}}+\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\frac{h-1}{2h}\right ]\\
& \quad +\sum_{t=1}^{k-1}\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m+1}-N_{x+m+t+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x+m}-D_{x+m+t})\right ]\\
& =(n-k+1)\cdot\left [\frac{N_{x+m+1}}{D_{x}}+\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\frac{h-1}{2h}\right ]\\
& \quad +\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [(k-1)\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left ((k-1)\cdot D_{x+m}-N_{x+m+1}+N_{x+m+k}\right )\right ]\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (n\cdot D_{x+m}-N_{x+m+1}+N_{x+m+k}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(vi) 定期遞減型之延期定期生存年金現值:假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $n/h$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $n$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $(n-1)/h$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $n-1$元，如此類推，至第 $m+k$年末總給付年金 $n-k+1$元，之後，自第 $m+k+1$年起，其給付方式與第 $m+k$年相同，直到第 $m+n$年末之總給付年金 $n-k+1$元為止。依據定期遞減型生存年金頁之(12)式及基本型生存年金頁之(32)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
{}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}^{(h)} & =(n-k+1)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}^{(h)}+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}a_{x:t\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx (n-k+1)\cdot\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x+m}-D_{x+m+n})\right ]\\
& \quad +\sum_{t=1}^{k-1}\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m+1}-N_{x+m+t+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x+m}-D_{x+m+t})\right ]\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x+m}-D_{x+m+n})\right ]\\
& \quad +\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [(k-1)\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left ((k-1)\cdot D_{x+m}-N_{x+m+1}+N_{x+m+k}\right )\right ]\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [-N_{x+m+n+1}-\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x+m+n}\right ]\\
& \quad +\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (n\cdot D_{x+m}-N_{x+m+1}+N_{x+m+k}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

廣義型態.

假設將每年分成 $h$次給付且每年遞減一次，第 $1$年總給付年金 $\Lambda +(n-1)\cdot\lambda$元，第 $2$年總給付年金 $\Lambda +(n-2)\cdot\lambda$元，第 $3$年總給付年金 $\Lambda +(n-3)\cdot\lambda$元，如此類推，每年減少給付年金 $\lambda$元，並遞減至 $\Lambda$元為止，其各種不同生存年金現值茲分述如下。

(i) 遞減型定期生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot [\Lambda +(n-1)\cdot\lambda ]$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $\Lambda +(n-1)\cdot\lambda$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot [\Lambda +(n-2)\cdot\lambda ]$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $\Lambda +(n-2)\cdot\lambda$元，如此繼續下去，至第 $n$年末之總給付年金 $\Lambda$元為止。依據遞減型生存年金頁之(3)式及基本型生存年金頁之(28)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x:n\!\rceil}^{(h)}+\lambda\cdot (Da)_{x:n\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx\frac{\Lambda -\lambda}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+1}-N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x}-D_{x+n})\right ]\\
& \quad +\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+n+2}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (n\cdot D_{x}-N_{x+1}+N_{x+n+1}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(ii) 遞減型之延期定期生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot [\Lambda +(n-1)\cdot\lambda ]$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $\Lambda +(n-1)\cdot\lambda$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot [\Lambda +(n-2)\cdot\lambda ]$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $\Lambda +(n-2)\cdot\lambda$元，如此繼續下去，直到第 $m+n$年末之總給付年金 $\Lambda$元為止。依據遞減型生存年金頁之(5)式及基本型生存年金頁之(32)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}^{(h)}+\lambda\cdot {}_{m|}(Da)_{x:n\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx\frac{\Lambda -\lambda}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x+m}-D_{x+m+n})\right ]\\
& \quad +\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+n+2}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (n\cdot D_{x+m}-N_{x+m+1}+N_{x+m+n+1}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

接著考慮定期遞減 $k$年之各種不同生存年金現值。假設將每年分成 $h$次給付且每年遞減一次，第 $1$年總給付年金 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元，第 $2$年總給付年金 $\Lambda +(k-2)\cdot\lambda$元，第 $3$年總給付年金 $\Lambda +(k-3)\cdot\lambda$元，如此類推，每年減少給付年金 $\lambda$元，並遞減至 $\Lambda$元為止，其各種不同生存年金現值茲分述如下。

(i) 定期遞減型之終身生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot [\Lambda +(k-1)\cdot\lambda ]$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元。第 $2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot [\Lambda +(k-2)\cdot\lambda ]$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $\Lambda +(k-2)\cdot\lambda$元，如此類推，至第 $k$年末總給付年金 $\Lambda$元，之後，自第 $k+1$年起，其給付方式與第 $k$年相同至終身。依據定期遞減型生存年金頁之(7)式(\ref{eq132})及基本型生存年金頁之(22)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot a_{x}^{(h)}+\lambda\cdot (D_{k\!\rceil}a)_{x}^{(h)}\\
& \approx (\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot\left [\frac{N_{x+1}}{D_{x}}+\frac{h-1}{2h}\right ]+\lambda\cdot (n-k+1)\cdot\frac{h-1}{2h}\\
& \quad +\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left ((k-1)\cdot D_{x}-N_{x+1}+N_{x+k}\right )\right ]\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot\frac{N_{x+1}}{D_{x}}+\Lambda\cdot\frac{h-1}{2h}\\
& \quad +\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left ((k-1)\cdot D_{x}-N_{x+1}+N_{x+k}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(ii) 定期遞減型之定期生存年金現值: 假設保單契約生效後之第 $1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot [\Lambda +(k-1)\cdot\lambda ]$元，則第 $1$年末之總給付年金為 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元。第 $2$年內之每$1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot [\Lambda +(k-2)\cdot\lambda ]$元，則第 $2$年末之總給付年金為 $\Lambda +(k-2)\cdot\lambda$元，如此類推，至第 $k$年末總給付年金 $\Lambda$元，之後，自第 $k+1$年起，其給付方式與第 $k$年相同，至第 $n$年末之總給付年金 $\Lambda +(n-k)\cdot\lambda$元為止。依據定期遞減型生存年金頁之(9)式(\ref{eq133})及基本型生存年金頁之(28)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot a_{x:n\!\rceil}^{(h)}+\lambda\cdot (D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx\frac{\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1)}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+1}-N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x}-D_{x+n})\right ]\\
& \quad +(n-k+1)\cdot\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left (-N_{x+n+1}-\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x+n}\right )\\
& \quad +\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (n\cdot D_{x}-N_{x+1}+N_{x+k}\right )\right ]\\
& =\frac{\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1)}{D_{x}}\cdot\left (N_{x+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x}\right )-\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot
\left (N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x+n}\right )\\
& \quad +\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (n\cdot D_{x}-N_{x+1}+N_{x+k}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(iii) 定期遞減型之延期終身生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot [\Lambda +(k-1)\cdot\lambda ]$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot [\Lambda +(k-2)\cdot\lambda ]$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $\Lambda +(k-2)\cdot\lambda$元，如此類推，至第 $m+k$年末總給付年金 $\Lambda$元，之後，自第 $m+k+1$年起，其給付方式與第 $m+k$年相同至終身。依據定期遞減型生存年金頁之(11)式及基本型生存年金頁之(25)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}a_{x}^{(h)}+\lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x}^{(h)}\\
& \approx (\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot\left [\frac{N_{x+m+1}}{D_{x}}+\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\frac{h-1}{2h}\right ]\\
& \quad +\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (n\cdot D_{x+m}-N_{x+m+1}+N_{x+m+k}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

(iv) 定期遞增型之延期定期生存年金現值: 假設現年 $x$歲之投保人於 $m$年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 $m+1$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot [\Lambda +(k-1)\cdot\lambda ]$元，則第 $m+1$年末之總給付年金為 $\Lambda +(k-1)\cdot\lambda$元。第 $m+2$年內之每 $1/h$期末給付年金 $\frac{1}{h}\cdot [\Lambda +(k-2)\cdot\lambda ]$元，則第 $m+2$年末之總給付年金為 $\Lambda +(k-2)\cdot\lambda$元，如此類推，至第 $m+k$年末總給付年金 $\Lambda$元，之後，自第 $m+k+1$年起，其給付方式與第 $m+k$年相同，直到第 $m+n$年末之總給付年金 $\Lambda$元為止。依據定期遞減型生存年金頁之(13)式(\ref{eq135})及基本型生存年金頁之(32)式，可得計算式如下:
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}^{(h)}
+\lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}^{(h)}\\
& \approx\frac{\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1)}{D_{x}}\cdot\left [
N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x+m}-D_{x+m+n})\right ]\\
& \quad +(n-k+1)\cdot\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [-N_{x+m+n+1}-\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x+m+n}\right ]\\
& \quad +\frac{\lambda}{D_{x}}\cdot\left [n\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+k+1}
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (n\cdot D_{x+m}-N_{x+m+1}+N_{x+m+k}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}

\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}

列表比較.

遞增型.

因 $D_{x}$、 $N_{x}$及 $S_{x}$之值可查表得知，茲將各種年金之計算式整理如下表。下表考慮基本型態年末給付生存年金之現值，假設起始年給付年金 $1$元且每年遞增 $1$元:
\[\begin{array}{lc}\hline
\mbox{類別} & \mbox{年末給付生存年金之現值}\\ \hline
\mbox{遞增型終身保險} & {\displaystyle (Ia)_{x}=\frac{S_{x+1}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增型$n$年定期保險} & {\displaystyle (Ia)_{x:n\!\rceil}=\frac{S_{x+1}-S_{x+n+1}-n\cdot N_{x+n+1}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增型延期$m$年終身保險} & {\displaystyle {}_{m|}(Ia)_{x}=\frac{S_{x+m+1}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增型延期$m$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle {}_{m|}(Ia)_{x:n\!\rceil}=\frac{S_{x+m+1}-S_{x+m+n+1}-n\cdot N_{x+m+n+1}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增$k$年之終身保險} & {\displaystyle (I_{k\!\rceil}a)_{x}=\frac{S_{x+1}-S_{x+k+1}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增$k$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle (I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}=\frac{S_{x+1}-S_{x+k+1}-k\cdot N_{x+n+1}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增$k$年之延期$m$年終身保險} & {\displaystyle {}_{m|}(Ia)_{x}=\frac{S_{x+m+1}-S_{x+m+k+1}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增$k$年且延期$m$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle {}_{m|}(Ia)_{x:n\!\rceil}=\frac{S_{m+x+1}-S_{m+x+k+1}-k\cdot N_{m+x+n+1}}{D_{x}}}\\ \hline
\end{array}\]

下表考慮基本型態年初給付生存年金之現值，假設起始年給付年金 $1$元且每年遞增 $1$元:
\[\begin{array}{lc}\hline
\mbox{類別} & \mbox{年初給付生存年金之現值}\\ \hline
\mbox{遞增型終身保險} & {\displaystyle (I\ddot{a})_{x}=\frac{S_{x}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增型$n$年定期保險} & {\displaystyle (I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}=\frac{S_{x}-S_{x+n}-n\cdot N_{x+n}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增型延期$m$年終身保險} & {\displaystyle {}_{m|}(I\ddot{a})_{x}=\frac{S_{x+m}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增型延期$m$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle {}_{m|}(I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}=\frac{S_{x+m}-S_{x+m+n}-n\cdot N_{x+m+n}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增$k$年之終身保險} & {\displaystyle (I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}=\frac{S_{x}-S_{x+k}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增$k$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle (I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}=\frac{S_{x}-S_{x+k}-k\cdot N_{x+n}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增$k$年之延期$m$年終身保險} & {\displaystyle {}_{m|}(I\ddot{a})_{x}=\frac{S_{x+m}-S_{x+m+k}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞增$k$年且延期$m$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle {}_{m|}(I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}=\frac{S_{m+x}-S_{m+x+k}-k\cdot N_{m+x+n}}{D_{x}}}\\ \hline
\end{array}\]

下表考慮廣義型態年末給付生存年金之現值，假設起始年給付年金 $\Lambda$元且每年遞增 $\lambda$元:
\[\begin{array}{ll}\hline
\mbox{類別} & \mbox{年末給付生存年金之現值}\\ \hline
\mbox{遞增型終身保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x}+\lambda\cdot (Ia)_{x}\\
\mbox{遞增型$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (Ia)_{x:n\!\rceil}\\
\mbox{遞增型延期$m$年終身保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(Ia)_{x}\\
\mbox{遞增型延期$m$年之$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot {}_{m|}(Ia)_{x:n\!\rceil}\\
\mbox{遞增$k$年之終身保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}a)_{x}\\
\mbox{遞增$k$年之$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\\
\mbox{遞增$k$年之延期$m$年終身保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x}\\
\mbox{遞增$k$年且延期$m$年之$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\\ \hline
\end{array}\]

下表考慮廣義型態年初給付生存年金之現值，假設起始年給付年金 $\Lambda$元且每年遞增 $\lambda$元:
\[\begin{array}{ll}\hline
\mbox{類別} & \mbox{年初給付生存年金之現值}\\ \hline
\mbox{遞增型終身保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot (I\ddot{a})_{x}\\
\mbox{遞增型$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\\
\mbox{遞增型延期$m$年終身保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I\ddot{a})_{x}\\
\mbox{遞增型延期$m$年之$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot {}_{m|}(I\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\\
\mbox{遞增$k$年之終身保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\\
\mbox{遞增$k$年之$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\\
\mbox{遞增$k$年之延期$m$年終身保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\\
\mbox{遞增$k$年且延期$m$年之$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\\ \hline
\end{array}\]

遞減型.

因 $D_{x}$、 $N_{x}$及 $S_{x}$之值可查表得知，茲將各種年金之計算式整理如下表。下表考慮基本型態年末給付生存年金之現值，假設起始年給付年金 $n$元且每年遞減 $1$元:
\[\begin{array}{ll}\hline
\mbox{類別} & \mbox{年末給付生存年金之現值}\\ \hline
\mbox{遞減型$n$年定期保險} & {\displaystyle (Da)_{x:n\!\rceil}=\frac{n\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+n+2}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞減型延期$m$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle {}_{m|}(Da)_{x:n\!\rceil}=\frac{n\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+n+2}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞減$k$年之終身保險} & {\displaystyle (D_{k\!\rceil}a)_{x}=\frac{n\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞減$k$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle (D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}=\frac{n\cdot N_{x+1}-(n-k+1)\cdot N_{x+n+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞減$k$年之延期$m$年終身保險} & {\displaystyle {}_{m|}(Da)_{x}=\frac{n\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+k+1}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞減$k$年且延期$m$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle {}_{m|}(Da)_{x:n\!\rceil}=\frac{n\cdot N_{x+m+1}-(n-k+1)\cdot N_{x+m+n+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+k+1}}{D_{x}}}\\ \hline
\end{array}\]

下表考慮基本型態年初給付生存年金之現值，假設起始年給付年金 $n$元且每年遞減 $1$元:
\[\begin{array}{ll}\hline
\mbox{類別} & \mbox{年初給付生存年金之現值}\\ \hline
\mbox{遞減型$n$年定期保險} & {\displaystyle (D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}=\frac{n\cdot N_{x}-S_{x+1}+S_{x+n+1}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞減型延期$m$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle {}_{m|}(D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}=\frac{n\cdot N_{x+m}-S_{x+m+1}+S_{x+m+n+1}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞減$k$年之終身保險} & {\displaystyle (D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}=\frac{n\cdot N_{x}-S_{x+1}+S_{x+k}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞減$k$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle (D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}=\frac{n\cdot N_{x}-(n-k)\cdot N_{x+n}-S_{x+1}+S_{x+k}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞減$k$年之延期$m$年終身保險} & {\displaystyle {}_{m|}(D\ddot{a})_{x}=\frac{n\cdot N_{x+m}-S_{x+m+1}+S_{x+m+k}}{D_{x}}}\\
\mbox{遞減$k$年且延期$m$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle {}_{m|}(D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}=\frac{n\cdot N_{x+m}-(n-k)\cdot N_{x+m+n}-S_{x+m+1}+S_{x+m+k}}{D_{x}}}\\ \hline
\end{array}\]

考慮廣義型態年末給付生存年金之現值。若考慮一般遞減型年金，則假設起始年給付年金為 $\Lambda (n-1)\cdot\lambda$元，每年遞減 $\lambda$元，並考慮遞減至 $\Lambda$元為止。若考慮定期遞減 $k$年之生存年金，則假設起始年給付年金為 $\Lambda (k-1)\cdot\lambda$元，同樣每年遞減 $\lambda$元，且遞減至 $\Lambda$元為止。下表考慮起始年給付年金 $\Lambda (n-1)\cdot\lambda$元且每年遞增 $\lambda$元並遞減至 $\Lambda$元為止。

\[\begin{array}{ll}\hline
\mbox{類別} & \mbox{年末給付生存年金之現值}\\ \hline
\mbox{遞減型$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (Da)_{x:n\!\rceil}\\
\mbox{遞減型延期$m$年之$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot {}_{m|}(Da)_{x:n\!\rceil}\\ \hline\end{array}\]

下表考慮起始年給付年金 $\Lambda (k-1)\cdot\lambda$元且每年遞增 $\lambda$元並遞減至 $\Lambda$元為止。

\[\begin{array}{ll}\hline\mbox{類別} & \mbox{年末給付生存年金之現值}\\ \hline
\mbox{遞減$k$年之終身保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot a_{x}+\lambda\cdot (D_{k\!\rceil}a)_{x}\\
\mbox{遞減$k$年之$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\\
\mbox{遞減$k$年之延期$m$年終身保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}a_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x}\\
\mbox{遞減$k$年且延期$m$年之$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}
+\lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\\ \hline
\end{array}\]

考慮廣義型態年初給付生存年金之現值。若考慮一般遞減型年金，則假設起始年給付年金為 $\Lambda (n-1)\cdot\lambda$元，每年遞減 $\lambda$元，並考慮遞減至 $\Lambda$元為止。若考慮定期遞減 $k$年之生存年金，則假設起始年給付年金為 $\Lambda (k-1)\cdot\lambda$元，同樣每年遞減 $\lambda$元，且遞減至 $\Lambda$元為止。下表考慮起始年給付年金 $\Lambda (n-1)\cdot\lambda$元且每年遞增 $\lambda$元並遞減至 $\Lambda$元為止。
\[\begin{array}{ll}\hline
\mbox{類別} & \mbox{年初給付生存年金之現值}\\ \hline
\mbox{遞減型$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\\
\mbox{遞減型延期$m$年之$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\lambda\cdot {}_{m|}(D\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\\ \hline\end{array}\]

下表考慮起始年給付年金 $\Lambda (k-1)\cdot\lambda$元且每年遞增 $\lambda$元並遞減至 $\Lambda$元為止

\[\begin{array}{ll}\hline\mbox{類別} & \mbox{年初給付生存年金之現值}\\ \hline
\mbox{遞減$k$年之終身保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot (D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\\
\mbox{遞減$k$年之$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\\
\mbox{遞減$k$年之延期$m$年終身保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\\
\mbox{遞減$k$年且延期$m$年之$n$年定期保險} & \mbox{年金現值}=(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\\ \hline
\end{array}\]

每年分數次給付且每年遞增一次之生存年金現值.

基本型態.

廣義型態.

每年分數次給付且每年遞增數次之生存年金現值.

基本型態.

每年分數次給付之遞減型生存年金現值.

基本型態.

廣義型態.

列表比較.

遞增型.

遞減型.

Hsien-Chung Wu

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每年分數次給付且每年遞增一次之生存年金現值.

基本型態.

廣義型態.

每年分數次給付且每年遞增數次之生存年金現值.

基本型態.

每年分數次給付之遞減型生存年金現值.

基本型態.

廣義型態.

列表比較.

遞增型.

遞減型.

Hsien-Chung Wu

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