實數

Anders Askevold (1834-1900) 挪威畫家.

有理數皆可表為 \(\frac{q}{p}\)，其中 \(p\) 及 \(q\) 為整數且 \(p\neq 0\)。非有理數的數就稱為無理數，有理數與無理數合稱為實數。一個有理數化為小數將為有限小數或循環小數，而無理數化為小數時將為非循環之無限小數。

♠例題. 假設 \(a,b,c,d,e\) 為有理數且 \(\sqrt{e}\) 不為有理數。若 \(a+b\sqrt{e}=c+d\sqrt{e}\)，證明 \(a=c\) 及 \(b=d\)。

證明: 首先可得 \(a-c=(b-d)\sqrt{e}\)。假設 \(b-d\neq 0\)，則 \(\frac{a-c}{b-d}=\sqrt{e}\) 為有理數，得到矛盾，因此 \(b=d\)，此時 \(a-c=0\)，得 \(a=c\)。 \(\blacksquare\)

♠例題. 假設 \(x,y\) 為有理數，若 \((2+\sqrt{5})x+(1-\sqrt{5})y=8-2\sqrt{5}\)，求 \(x,y\) 之值。

求解: 首先展開可得
\[(2x+y)+(x-y)\sqrt{5}=8-2\sqrt{5}，\]
因此 \(2x+y=8\) 及 \(x-y=-2\)，聯立解得 \(x=2\) 及 \(y=4\)。\(\blacksquare\)

♠例題. 已知 \(a\cdot b\) 為無理數且 \(a+b\) 為有理數。證明 \(a-b\) 為無理數。

證明:假設 \(a-b\) 為有理數，因 \(a+b\) 亦為有理數，所以
\[\frac{(a-b)+(a+b)}{2}=a\mbox{ 及 }\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=b\]
均為有理數，故 \(a\cdot b\) 為有理數，得到矛盾。\(\blacksquare\)

♥習題. 若 \(3a+2b\) 及 \(2a-3b\) 均為有理數，證明 \(a\) 及 \(b\) 亦均為有理數。

♠例題. 將循環小數 \(3.\overline{52}\)，$3.5\overline{2}$ 及 \(0.\overline{9}\) 化為分數。

求解: 令 \(x=3.\overline{52}\)，則 \(100x=352.\overline{52}\)，相減後可得 \(99x=352-3=349\)，因此解出$x=\frac{349}{99}$。令 \(y=3.5\overline{2}\)，則 \(100y=352.\overline{2}\) 及 \(10y=35.\overline{2}\)，相減後可得 \(90y=352-35=317\)，因此解出 \(y=\frac{317}{90}\)。令 \(z=\overline{9}\)，則 \(10z=9.\overline{9}\)，相減後可得 \(9z=9\)，因此解出 \(z=1\)。\(\blacksquare\)

♠例題. 一既約分式，其分子與分母之和為 \(70\)，將其化為小數並四捨五入後為 \(0.6\)，求此分數。

求解: 設分母 \(x\)，則分子為 \(70-x\)。因分數為正，可設為 \(\frac{70-x}{x}\)，其中 \(x\) 為自然數且$x$ 與 \(70-x\) 互質。因為四捨五入後為 \(0.6\)，故
\[0.55\leq\frac{70-x}{x}<0.65\mbox{，}\]
也就是
\[\frac{11}{20}\leq\frac{70-x}{x}<\frac{13}{65}\mbox{。}\]
因此可得 \(11x\leq 1400-20x\) 且 \(1400-20x<13x\)，故解得
\[\frac{1400}{33}<x\leq\frac{1400}{31}\mbox{。}\]
因為 \(\frac{1400}{33}=42.\overline{42}\) 且 \(\frac{1400}{31}=45.16\)，故 \(x=43,44,45\)。故此有理數為 \(\frac{27}{43}\)， \(\frac{26}{44}\)， \(\frac{25}{45}\)。又因為分子分母必須互質，故最後解得 \(\frac{27}{43}\)。\(\blacksquare\)

♥習題. 假設 \(a,b\) 為互質的正整數且 \(b-a=4\)，若將分數 \(\frac{a}{b}\) 化為小數並用四捨五入法取至小數點後一位得 \(0.7\)，求此分數 \(\frac{a}{b}\)。答: \(\frac{9}{13}\) 或 \(\frac{11}{15}\)

♥習題. 計算
\[\frac{0.1\overline{2}+0.2\overline{4}+0.3\overline{6}}{0.\overline{12}+0.\overline{24}+0.\overline{36}}\mbox{。}\]
答: \(\frac{121}{120}\)

假設 \(a,b\) 為整數，則必定存在整數 \(q,r\) 使得 \(a=bq+r\) 且 \(0\leq r<|b|\)，此時稱 \(a\) 除以 \(b\)之商為 \(q\) 而餘數為 \(r\)。假設 \(R(a,b)\) 表 \(a\) 除以 \(b\) 之餘數，若 \(R(x,b)=r_{1}\) 及 \(R(y,b)=r_{2}\)，則餘數定理說
\[R(xy,b)=R(r_{1}r_{2},b)\mbox{ 及 }R(x+y,b)=R(r_{1}+r_{2},b)\mbox{。}\]

♠例題. 求 \(a=365\cdot 297+366\cdot 103+1003^{2}\) 除以 \(9\) 之餘數。

求解: 因為 \(R(365)=5,R(297)=0,R(366)=6,R(103)=4,R(1003)=4\) ，由餘數定理可得
\[R(a,9)=R(5\cdot 0+6\cdot 4+4^{2},9)=R(40,9)=4\mbox{。}\blacksquare\]

♥習題. 求 \(a=1187\cdot 3658+21857^{2}\) 除以 \(13\) 之餘數。答: $10$

假設 \(a,b\) 為整數且 \(b\neq 0\)，若 \(a=bq\)，則稱 \(a\) 為 \(b\) 的倍數，或稱 \(b\) 為 \(a\) 的倍因數，並表為 \(b|a\)。
\[\mbox{若 \(c|a\) 且 \(c|b\)，則 \(c|ma\pm nb\)，其中$m,n$ 為整數。}\]
倍數判別法

• \(3\) 的倍數: 數字和為 \(3\) 的倍數
• \(4\) 的倍數: 末兩位數為 \(4\) 的倍數
• \(5\) 的倍數: 末位數為 \(0\) 或 \(5\)
• \(9\) 的倍數: 數字和為 \(9\) 的倍數
• \(11\) 的倍數: 奇位數字和$-$偶位數字和為 \(11\) 的倍數

♠例題. 假設 \(a\) 為自然數且 \(a|a+8\) 及 \((2a+1)|(3a+4)\)，求 \(a\) 之值。

求解: 因為 \(a|a+8\) 及 \(a|a\)，所以 \(a|(a+8)-a\)，也就是 \(a|8\)，所以 \(a=1,2,4,8\)，代入 \((2a+1)|(3a+4)\)驗證可得 \(a=2\)。\(\blacksquare\)

♠例題. 假設 \(a\) 及 \(\frac{3a+35}{2a-5}\) 皆為自然數，求 \(a\) 之值。

求解: 因為 \(\frac{3a+35}{2a-5}\) 為自然數，所以 \((2a-5)|(3a+25)\)。因為 \((2a-5)|(2a-5)\) ，所以可得
\[(2a-5)|2(3a+25)-3(2a-5)\]
也就是 \((2a-5)|65\)，因此 \(2a-5=1,5,13,65\)，最後解得 \(a=3,5,9,35\)。\(\blacksquare\)

♠例題. 假設 \(x,y\) 為整數且滿足方程式 \(xy-3x+2y-35=0\)，求 \(x+y\)。

求解: 因 \(xy-3x+2y-35=0\)，也就是 \(xy-3x+2y=35\)，分解後可得
\[(x+2)(y-3)=35-6=29\mbox{。}\]
因為 \(x+2\) 及 \(y-3\) 為整數，所以可得
\[\left\{\begin{array}{l}x+2=29\\ y-3=1\end{array}\right .\mbox{ 或 }\left\{\begin{array}{l}x+2=1\\ y-3=29\end{array}\right .\]
因此
\[\left\{\begin{array}{l}x=27\\ y=4\end{array}\right .\mbox{ 或 }\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=32\end{array}\right .\]
最後可得 \(x+y=31\)。\(\blacksquare\)

♠例題. 假設 \(x\) 及 \(\sqrt{x^{2}+23}\) 皆為自然數，求 \(x\)之值。

求解:令 \(\sqrt{x^{2}+23}=k\)，則 \(x^{2}+23=k^{2}\)，也就是 \(x^{2}-k^{2}=-23\)，分解後可得 \((x+k)(x-k)=-23\)，因為 \(x+k\geq x-k\)，所以
\[\left\{\begin{array}{l}x+k=1\\ x-k=-23\end{array}\right .\mbox{ 或 }\left\{\begin{array}{l}x+k=23\\ x-k=-1\end{array}\right .\]
因此解得
\[\left\{\begin{array}{l}x=-11\\ k=12\end{array}\right .\mbox{ (不合) 或 }\left\{\begin{array}{l}x=11\\ k=12\end{array}\right .\]

♥習題. 假設 \(x,y\) 為自然數，求 \(\frac{5}{x}+\frac{4}{y}=2\) 之正整數解。答: \((x,y)=(5,4)\) 或 \((3,12)\)

假設 \(a>1\) 且 \(a\) 為自然數，若 \(a\) 的正因數只有 \(a\) 與 \(1\) 兩個，則稱 \(a\) 為質數。

♠例題. 假設 \(p=(a^{2}-2a+150)(a^{2}-24a+144)\) 為一質數，求 \(p\) 之值。

求解: 因為 \(p\) 為質數，所以 \(a^{2}-2a+150=\pm1\) 或 \(a^{2}-24a+144=\pm 1\)。當 \(a^{2}-2a+150=\pm 1\) 及 \(a^{2}-24a+144=-1\) 時無實數解，當 \(a^{2}-2a+150=1\) 時，可解得 \(a=13\) 或 \(a=11\)。又 \(a=11\) 時，則 \(p=249=3\cdot 83\) 非質數。而 \(a=13\) 時，則 \(p=293\) 為一質數。\(\blacksquare\)

假設自然數 \(n\) 可做質因數分解為 \(n=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{s}^{n_{s}}\)，則 \(n\) 之正因數有 \((n_{1}+1)\cdots (n_{s}+1)\) 個。給定兩個自然數 \(a\) 及 \(b\)，則符號 \((a,b)\) 表示$a$ 及 \(b\)之最大公因數，而則符號 \([a,b]\) 表示 \(a\) 及 \(b\)之最小公倍數。若 \((a,b)=1\) 則稱 \(a\) 及 \(b\) 為互質。若 \((a,b)=d\)，則 \(a=dh\) 及 \(b=dh\) 且 \((h,k)=1\)。可有以下性質

• \((a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b\)
• 若 \((a,b)=1\)，則 \((a^{n},b^{n})=1\) 其中 \(n\) 為自然數
• 若 \((a,b)=1\)，則 \((a\pm b,ab)=1\)
• (輾轉相除法) 若 \(a=bq+r\) 其中 \(0\leq r<q\)，則 \((a,b)=(b,r)\)。

♠例題. 假設 \(x\) 為自然數，若 \(208\) 除以 \(x\) 餘 \(10\) 且 \(880\) 除以 \(x\) 餘 \(22\)，求 \(x\) 之值。

求解: 令 \(208=x\cdot q_{1}+10\) 及 \(880=x\cdot q_{2}+22\)，則 \(x\cdot q_{1}=198\) 及 \(x\cdot q_{2}=858\)。所以 \(x|(198,858)\)，因為 \((198,858)=2\cdot 3\cdot 11\) 且 \(x>22\)，因此取 \(x=3\cdot 11=33\) 或 \(x=2\cdot 3\cdot 11=66\)。\(\blacksquare\)

♠例題. 假設 \(a\) 為大於 \(1000\) 之自然數，且被 \(456\) 除後餘數為 \(30\)，求 \(a\) 與 \(456\) 之最大公因數。

求解: 首先可得 \(a=456q+30\)，由輾轉相除法可知 \((a,456)=(456,30)=15\)。\(\blacksquare\)

♠例題. 假設 \(a,b\) 為自然數，且 \(a>b\)，若 \(a+b=2184\) 且 \([a,b]=6048\)，求 \(a,b\) 之值。
求解: 假設 \((a,b)=d\)，則 \(a=dh\)，\(b=dh\)，且 \((h,k)=1\)。所以可得聯立方程式為
\[\left\{\begin{array}{l}
a+b=dh+dk=d(h+k)=2184\\ \mbox{$[a,b]=dhk=6048$}
\end{array}\right .\]
因為 \((h,k)=1\)，所以 \((h+k,hk)=1\)，根據上面聯立方程式可知 \(d=(2184,6048)=168\)，因此可得 \(h+k=13\) 及 \(hk=36\)。因為 \(a>b\)，所以 \(h>k\)，因此解得 \(h=9\) 及 \(k=4\)。最後可得 \(a=dh=168\cdot 9=1512\) 及 \(b=dk=168\cdot 4=672\)。\(\blacksquare\)

♥習題. 假設 \(a,b\) 為自然數，且 \((a,b)=14\)，若 \(a+b=14^{2}\)，求 \(a^{2}+b^{2}\) 之值。答:  \(14^{2}\cdot 106\)

假設 \(x=x_{0}\) 及 \(y=y_{0}\) 是整係數方程式 \(ax+by=c\) 之一組解，則方程式的整數解可為
\[\left\{\begin{array}{l}
{\displaystyle x=x_{0}+\frac{b}{(a,b)}t}\\ {\displaystyle y=y_{0}-\frac{b}{(a,b)}t}
\end{array}\right .\mbox{ 或 }\left\{\begin{array}{l}
{\displaystyle x=x_{0}-\frac{b}{(a,b)}t}\\ {\displaystyle y=y_{0}+\frac{b}{(a,b)}t}
\end{array}\right .\]
其中 \(t\) 為整數，而 \((a,b)\) 表最大公因數。

♠例題. 求 \(7x+20y=1234\) 之正整數解的個數，並求 \(x+y\) 之最大及最小值。

求解: 首先可得
\[x=\frac{1234-20y}{7}=176-3y+\frac{y+2}{7}\mbox{。}\]
所以 \(y=y_{0}=5\) 及 \(x=x_{0}=162\) 為其一組解。令 \(x=162-20t\) 及 \(y=5+7t\) 為可能整數解。因為 \(x,y\) 為正整數，所以 \(162-20t>0\) 及 \(5+7t>0\)。因此可得 \(0\leq t\leq 8\) 共 \(9\) 組解。當 \(t=0\) 時， \(x+y=167\) 為最大值，當 \(t=8\) 時， \(x+y=63\) 為最小值。\(\blacksquare\)

♠例題. 假設 \(a=\sqrt{41-12\sqrt{5}}\)，若 \(b\) 為 \(a\) 的小數部分，求 \(\frac{a}{4}+\frac{1}{b}\) 之值。

求解: 首先可得
\[a=\sqrt{41-12\sqrt{5}}=\sqrt{41-2\sqrt{180}}=\sqrt{\left (\sqrt{36}-\sqrt{5}\right )^{2}}=6-\sqrt{5}\approx 3…\]
所以 \(b=6-\sqrt{5}-3=3-\sqrt{5}\)。最後可得
\[\frac{a}{4}+\frac{1}{b}=\frac{6-\sqrt{5}}{4}+\frac{1}{3-\sqrt{5}}=\frac{6-\sqrt{5}}{4}+\frac{3+\sqrt{5}}{4}=\frac{9}{4}\mbox{。}\blacksquare\]

♠例題. 假設 \(x,y\) 為有理數，若
\[x\sqrt{3-2\sqrt{2}}+y\sqrt{17-12\sqrt{2}}=\sqrt{43-30\sqrt{2}}\mbox{，}\]
求 \(x,y\) 之值。

求解:首先可得
\[\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\mbox{，}\sqrt{17-12\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}\mbox{ 及 }
\sqrt{43-30\sqrt{2}}=5-3\sqrt{2}\mbox{，}\]
因此原式可轉為
\[x(\sqrt{2}-1)+y(3-2\sqrt{2})=5-3\sqrt{2}\mbox{。}\]
整理後可得
\[(-x+3y)+(x-2y)\sqrt{2}=5-3\sqrt{2}\mbox{，}\]
也就是 \(-x+3y=5\) 及 \(x-2y=-3\)。最後求得 \(x=1\) 及 \(y=2\)。\(\blacksquare\)