Asher Brown Durand (1796-1886) 美國畫家。
本頁有三小節
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
指數律.
假設 \(a,b\in\mathbb{R}_{+}\) 且 \(m,n\in\mathbb{R}\)，則指數的運算如下所述:
- \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\);
- \({\displaystyle \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}}\);
- \((a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\);
- \((a^{m})^{n}=a^{mn}\);
- \({\displaystyle \left (\frac{a}{b}\right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}}\);
- \({\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}}\);
- \(a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\);
- \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}\);
- 假設\(a>0\)latex 且\(a\neq 1\)，若\(a^{m}=a^{n}\) 則\(m=n\)。
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
對數的運算.
假設 \(a>0\)latex 且 \(a\neq 1\)，若 \(a^{x}=b\)，則可用符號 \(\log_{a}b\) 來表示 \(x\)，即 \(x=\log_{a}b\)。 此時稱\(\log_{a}b\) 為以\(a\) 為底是時\(b\)的對數，其中\(b\) 叫做真數。 若底數\(a=10\) 時，則\(\log_{10}b\) 稱為常用對數，此時底數\(10\)可省略，簡單表為\(\log_{10}b=\log b\)。 假設\(a>0\) 且\(a\neq 1\)，\(x>0\) 且\(y>0\)，\(r\in\mathbb{R}\) 且\(r\neq 0\)，對數的運算如下所述:
- \(\log_{a}1=0\);
- \(\log_{a}a=1\);
- \(\log_{a^{q}}a^{p}=\frac{p}{q}\);
- \(a^{\log_{a}b}=b\);
- \(\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y\);
- \({\displaystyle \log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y}\);
- \(\log_{a}x^{r}=r\log_{a}x=\log_{a^{1/r}}x\)。
換底公式
\[\log_{a}x=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}a}\quad\mbox{換成以\(b\)為底。}\]
連鎖法則:若\(a_{i}>0\) 且\(a_{n}\neq 1\)
\[\log_{a_{1}}a_{2}\cdot\log_{a_{2}}a_{3}\cdots\log_{a_{n-1}}a_{n}=\log_{a_{1}}a_{n}\mbox{。}\]
可用換底公式正得。 對數\(\log_{a}b\) 有意義若且唯若\(a>0\)，\(a\neq 1\)且\(b>0\)。
♠例題. 假設\(\log_{x^{2}-3x+2}(x^{2}+2x-3)\) 有意義，求\(x\)?
求解: 有意義時必須滿足
\[\left\{\begin{array}{l}
x^{2}-3x+2>0\\
x^{2}-3x+2\neq 1\\
x^{2}+2x-3>0
\end{array}\right .\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
(x-1)(x-2)>0\\
x^{2}-3x+1\neq 0\\
(x+3)(x-1)>0
\end{array}\right .\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x<1\mbox{或}x>2\\
{\displaystyle x\neq\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}}\\
x<-3\mbox{或}x>1
\end{array}\right .\]
所以
\[x<-3\mbox{或}x>2\mbox{且}x\neq\frac{3+\sqrt{5}}{2}\mbox{。}\blacksquare\]
♠例題. 根據換底公式，可得下列運算式(換成\(10\) 為底)
\begin{align*} \log_{a}x\cdot\log_{b}y\cdot\log_{c}z & =\frac{\log x}{\log a}\cdot\frac{\log y}{\log b}
\cdot\frac{\log z}{\log c}\\ & =\frac{\log z}{\log a}\cdot\frac{\log x}{\log b}
\cdot\frac{\log y}{\log c}\\ & =\log_{a}z\cdot\log_{b}x\cdot\log_{c}y\mbox{。}\end{align*}
\end{Ex}
♠例題. 化簡
\begin{align*}
& -\frac{4}{3}\cdot\log\sqrt{8}+\frac{2}{3}\cdot\log\sqrt{343}+\log\frac{4}{7}
-7^{\frac{2}{\log_{5}7}}\\
& \quad=\log(\sqrt{8})^{-\frac{4}{3}}+\log(\sqrt{343})^{\frac{2}{3}}+\log\frac{4}{7}
-\left (7^{2}\right )^{\frac{1}{\log_{5}7}}\\
& \quad=\log\left [\left (2^{\frac{3}{2}}\right )^{-\frac{4}{3}}\cdot
\left (7^{\frac{3}{2}}\right )^{\frac{2}{3}}\cdot\frac{4}{7}\right ]-49^{\log_{7}5}\\
& \quad=\log\left (2^{-2}\cdot 7\cdot\frac{4}{7}\right)-5^{\log_{7}49}
\quad\mbox{(因\(a^{\log_{b}x}=x^{\log_{b}a}\))}\\
& \quad=\log 1-25=0-25=-25
\end{align*}
♥習題. 化簡\({\displaystyle (243)^{\frac{\log 2}{\log 3}}-\left (2^{\log_{4}3}\right )^{2}}\)。 答: \(29\)
♠例題. 令\(a=\log 2\) 及\(b=\log 3\)，將下列數值用\(a\) 與\(b\) 表示之
\[\log_{6}\sqrt{5}\cdot\left (\sqrt{14-4\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}}\right )\mbox{。}\]
求解: 因為
\begin{align*} \sqrt{14-4\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}} & =\sqrt{14-2\sqrt{24}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}}
\\ & =\left (\sqrt{12}-\sqrt{2}\right )+\left (\sqrt{3}+\sqrt{2}\right )=3\sqrt{3}\mbox{，}\end{align*}
所以
\begin{align*}
& \log_{6}\sqrt{5}\cdot\left (\sqrt{14-4\sqrt{6}}+\sqrt{5+2\sqrt{6}}\right )
=\log_{6}\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{\log 3\cdot\sqrt{15}}{\log 6}\quad\mbox{(換成\(10\)為底)}\\
& \quad=\frac{\log 3+\frac{1}{2}\cdot\left (\log 3+\log 5\right )}{\log 2+\log 3}
=\frac{\log 3+\frac{1}{2}\cdot\left (\log 3+1-\log 2\right )}{\log 2+\log 3}
\quad\mbox{(因\(\log 5=\log\frac{10}{2}\)latex )}\\
& \quad=\frac{b+\frac{1}{2}\cdot\left (b+1-a\right )}{a+b}
=\frac{1+3b-a}{2(a+b)}\mbox{。}\blacksquare
\end{align*}
♥習題. 假設\(\log(1+\frac{1}{7})=a\)x 及\(\log(1+\frac{1}{49})=b\)，則將\(\log 2\) 用\(a\) 與\(b\) 表示之。
答: \(\frac{2+2a-b}{7}\)
♠例題. 假設\({\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7-4\sqrt{3}}}}\)，求 \(\log_{9}\left (2x^{4}-5x^{3}-12x^{2}+11x+1\right )\) 之值。
求解: 首先
\begin{align*} x & =\frac{1}{\sqrt{7-4\sqrt{3}}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{7-2\sqrt{12}}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}\\ & =\sqrt{4}+\sqrt{3}\\ & =2+\sqrt{3}\mbox{，}\end{align*}
因此可得\(x-2=\sqrt{3}\)，平方後得\(x^{2}-4x+1=0\)。經由長除法，則
\[2x^{4}-5x^{3}-12x^{2}+11x+1=\left (x^{2}-4x+1\right )\cdot\left (2x^{2}+3x-2\right )+3=3\mbox{。}\]
最後求得
\[\log_{9}3=\log^{3{2}}3=\frac{1}{2}\cdot\log_{3}3=\frac{1}{2}\mbox{。}\blacksquare\]
♠例題. 假設\(\log_{a}x=\log_{b}y=-\frac{1}{2}\log_{c}2\)，其中\(a,b,c,x,y>0\)，\(a,b,c\neq 1\) 且\(c=\sqrt{ab}\)，求\(xy\)之值。
求解: 令\(\log_{a}x=\log_{b}y=-\frac{1}{2}\log_{c}2=k\)，則\(a^{k}=x\)，\(b^{k}=y\) 及\(c^{k}=2^{-\frac{1}{2}}\)。因此可得
\[xy=a^{k}\cdot b^{k}=(ab)^{k}=(c^{2})^{k}=(c^{k})^{2}=(2^{-\frac{1}{2}})^{2}=2^{-1}=\frac{1}{2}\mbox{。}\blacksquare\]
♥習題. 假設\(a,b,p,q>0\) 且\(a,b,p,q\neq 1\)，若\(\log_{a}p+\log_{b}q=2\) 且\(\log_{p}a+\log_{q}b=-1\)，求 \((\log_{a}p)^{2}+(\log_{b}q)^{2}\)。
♥習題. 假設\(x,y>0\)，若\(\log_{2}(x^{2}+xy+y^{2})-\log_{2}(x^{2}-xy+y^{2})=1\)，求\({\displaystyle \frac{x+y}{x-y}}\) 之值。答: \(\sqrt{5}\)
♠例題. 假設\(\alpha,\beta\) 為\(9^{x}-5\cdot 3^{x+1}+27=0\) 之兩根，求\(\alpha +\beta\)之值。
求解: 令\(3^{x}=t\)，則\(9^{x}-5\cdot 3^{x+1}+27=t^{2}-15t+27=0\)，其兩根為\(t_{1}=3^{\alpha}\) 及 \(t_{2}=3^{\beta}\)。因此兩根之積為\(t_{1}\cdot t_{2}=27\)，也就是\(3^{\alpha}\cdot 3^{\beta}=27\)。可得\(3^{\alpha+\beta}=27\)，最後求得\(\alpha+\beta=3\)。 \(\blacksquare\)
♠例題. 假設\(\alpha,\beta\) 為\(x^{2}-2x\cdot\log 5+\log 2.5=0\)之兩根，求\(10^{\alpha}\cdot 10^{\beta}\) 之值及\(10^{\alpha}+10^{\beta}\) 之值。
求解: 首先有
\[\log 2.5=\log\frac{25}{10}=\log 5^{2}-1=2\log 5-1\mbox{，}\]
因此可得
\[0=x^{2}-(2\log 5)x+(2\log 5-1)=(x-1)\left (x-(2\log 5-1)\right )\mbox{。}\]
其兩根設為\(\alpha =2\log -1\) 及\(\beta =1\)。因此求得
\[10^{\alpha}\cdot 10^{\beta}=10^{\alpha+\beta}=10^{2\log 5}=25\]及\[10^{\alpha}+10^{\beta}=10^{2\log 5-1}+10=\frac{5}{2}+10=\frac{25}{2}\mbox{。}\blacksquare\]
♠例題. 假設\(\alpha,\beta\) 為\(3(\log_{2}x)^{2}-9\cdot\log_{4}x+1=0\)之兩根，求以\(\log_{\alpha}\beta\) 及\(\log_{\beta}\alpha\)為兩根之一元二次方程式。
求解: 因\(\log_{4}x=\frac{1}{2}\log_{2}x\)，原方程式為\(3(\log_{2}x)^{2}-\frac{9}{2}\cdot\log_{2}x+1=0\)。令\(y=\log_{2}x\)，則可得\(y\) 之方程式為\(3y^{2}+\frac{9}{2}y+1\)，其兩根為\(\log_{2}\alpha\) 及 \(\log_{2}\beta\)。根據根與系數的關係可得
\[\log_{2}\alpha+\log_{2}\beta=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\mbox{及}\log_{2}\alpha\cdot\log_{2}\beta=\frac{1}{3}\mbox{。}\]
因此根據換底公式(換成\(2\) 為底)
\begin{align*}
\log_{\alpha}\beta+\log_{\beta}\alpha & =\frac{\log_{2}\alpha}{\log_{2}\beta}+
\frac{\log_{2}\beta}{\log_{2}\alpha}\\ & =\frac{(\log_{2}\alpha)^{2}+(\log_{2}\beta)^{2}}
{\log_{2}\alpha\cdot\log_{2}\beta}\\ & =\frac{(\log_{2}\alpha+\log_{2}\beta)^{2}-2\log_{2}\alpha\cdot\log_{2}\beta}{\frac{1}{3}}\\
& =\frac{(\frac{3}{2})^{2}-2\cdot\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{19}{4}\mbox{。}
\end{align*}
因為
\[\log_{\beta}\alpha\cdot\log_{\alpha}\beta=\frac{\log_{2}\alpha}{\log_{2}\beta}\cdot\frac{\log_{2}\beta}{\log_{2}\alpha}=1\mbox{，}\]
所以方程式為\(x^{2}-\frac{19}{4}x+1=0\)。 \(\blacksquare\)
♥習題. 求\(4^{x}-5\cdot 2^{x+1}+8=0\) 之兩根和。
♥習題. 假設\(\log\alpha\)及\(\log\beta\) 為\(2x^{2}-3x+1=0\) 之兩根，求\(\log_{\alpha}\beta+\log_{\beta}\alpha\) 之值。
\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}
首數與尾數.
令\(x\) 為一實數，以科學記號表為\(x=r\cdot 10^{n}\)，其中\(1\leq r<10\) 及\(n\in\mathbb{Z}\)，取對數後為
\[\log x=\log (r\cdot 10^{n})=\log r+\log 10^{n}=\log r+n\mbox{，}\]
則稱\(n\) 與\(\log r\) 分別為\(\log x\) 之首數與尾數。其中首數為整數而尾數滿足\(0\leq\log r<1\)。
- 當首數\(n\geq 0\) 時，則\(x\)為正整數或帶小數，其整數部分有\(n+1\) 位數。
- 當首數\(n<0\) 時，則\(x\) 為純小數，其小數點後第\(|n|\)位數開始非零。
- 若\(x>1\) 為\(n\) 位數時，則\(\log x\)之首數為\(n-1\)。
- 若\(0<x<1\) 且\(x\) 在小數點後第\(n\) 位數開始不為零，則\(\log x\)之首數為\(-n\)。
- 若\(\log x\)之首數為\(n\) 時，則\(n\leq\log x<n+1\) 及\(10^{n}\leq x<10^{n+1}\)。
- 數字排列相同而位數不同的兩正數，其對數的尾數相同。也就是\(x,y>0\)l 且\(\log x\) 及\(\log y\) 的尾數相同時，則\(x=y\cdot 10^{n}\)，其中\(n\in\mathbb{Z}\)。
♠例題. 假設\(x>0\)，則\(\log x\) 與\(\log\frac{1000}{x}\)之首數和為何。
求解: 令\(\log x=n+d\)，其中\(n\in\mathbb{Z}\) 及\(0\leq d<1\)，則
\[\log\frac{1000}{x}=3-\log x=3=(n+d)=\left\{\begin{array}{ll}3-n+0 & \mbox{當\(d=0\) }\\
(2-n)+(1-d) & \mbox{當\(0<d<1\)}
\end{array}\right .\]
因此當\(\log x\)之首數為\(n\) 時，則\(\log\frac{1000}{x}\) 之首數為\(3-n\) 或\(2-n\)，所以其首數和為\(3\)或\(2\)。 \(\blacksquare\)
♠例題. 假設\(1<x<100\)且\(\log 4x\)之尾數為\(\log x\) 之尾數的\(3\) 倍，則\(x\) 之值為何。
求解: 因為\(\log 4x\)之尾數為\(\log x\) 之尾數的\(3\) 倍，因此\(3\log x-\log 4x=n\) 為整數。也就是
\[n=3\log x-\log 4x=\log x^{3}-\log 4x=\log\frac{x^{3}}{4x}=\log\frac{x^{2}}{4}\mbox{，}\]
因此\(\frac{x^{2}}{4}=10^{n}\)，可解得\(x=2\cdot 10^{n/2}\)。但是\(0<x<100\)，所以\(n\) 可為 \(0,1,2,3\)，也就是\(x\) 可為\(2,2\sqrt{10},20,20\sqrt{10}\)。故取\(x\) 為\(2\)及\(20\)。 \(\blacksquare\)
♥習題. 假設\(x\) 及\(y\) 為相異正整數且\(\log x\)及\(\log y\) 的首數均為\(1\)，若\(\log x\) 的尾數為\(\log y\)l 尾數的
\(2\)倍，求\(x\) 之值。 答: \(40\)或\(90\)
♠例題. 若\(\log 2=0.301\)，求滿足\((1.25)^{n}>10^{7}\) 之最小正整數\(n\)。
求解: 因對數函數為嚴格增函數，所以兩邊取對數可得\(\log(1.25)^{n}>\log 10^{7}\)，也就是\(n\cdot\log 1.25>7\)。因
\begin{align*}
\log 1.25 & =\log\frac{5}{4}=\log 5-\log 4=\log\frac{10}{2}-\log 2^{2}\\
& =1-\log 2-2\log 2=1-3\log 2=1-0.903=0.097\mbox{，}
\end{align*}
所以可得\(n>\frac{7}{0.097}\doteq 72.1\)。最小正整數為\(n=73\)。 \(\blacksquare\)
♥習題. 若\(\log 2=0.301\) 及\(\log 3=0.477\)，求滿足\(10^{n-1}>9^{n}\) 之最小正整數\(n\)。答: \(n=22\)
♥習題. 求滿足
\[1+\frac{5}{4}+\left (\frac{5}{4}\right )^{2}+\cdots +\left (\frac{5}{4}\right )^{n-1}>396\]
之最小正整數\(n\)。答: \(n=2\)
