August von Siegen (1850-?) was a German painter.
本頁有以下小節
假設被保險人投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生死合險，保單契約約定，當被保險人於契約生效 \(m\)年後於第 \(m+1\)年至第 \(m+n\)年內身故或保險契約期滿仍生存時，保險公司皆得於當年末給付保險金 \(1\)元。
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
躉繳純保費.
若採用身故當年末給付保險金方式，其躉繳純保費之符號及計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}A_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{m+n}E_{x}
=(1-d)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+{}_{m+n}E_{x}\\
& =(1-d)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\left (a_{x:m+n\!\rceil}-a_{x:m+n-1\!\rceil}\right )\\
& =-d\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m}-N_{x+m+n}-\left (N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}
\right )\right . +\left .\left (N_{x+1}-N_{x+m+n+1}\right )-\left (N_{x+1}-N_{x+m+n}\right )\right ]\\
& =-d\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\frac{1}{D_{x}}\cdot\left (N_{x+m}-N_{x+m+1}\right )\\
& ={}_{m|}\ddot{a}_{x:1\!\rceil}-d\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人保險契約期滿仍生存時或身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則躉繳純保費應為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}\)。
若採用身故即刻給付保險金方式，依據延期之定期壽險 — 保單契約有效期間內身故時不退還已繳保費頁之(3)式，其躉繳純保費之符號及計算式為
\begin{align}
{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{m+n}E_{x}\nonumber\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\left (a_{x:m+n\!\rceil}-a_{x:m+n-1\!\rceil}\right )\nonumber\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\left [{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}
+\left (a_{x:m+n\!\rceil}-a_{x:m+n-1\!\rceil}\right )\right ]\nonumber\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+{}_{m|}\ddot{a}_{x:1\!\rceil}\mbox{。}\label{eq362}\tag{1}
\end{align}
假設保險公司需於被保險人保險契約期滿仍生存時或身故即刻給付 \(\Lambda\)元保險金，則躉繳純保費應為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}\)。
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
年繳純保費.
年末給付.
若採用身故當年末給付保險金方式，現年 \(x\)歲的被保險人，其年繳純保費以符號 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}\)表示。根據收支平衡原則，可得
\begin{equation}{\label{eq230}}\tag{2}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}
={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{m+n}E_{x}\mbox{，}
\end{equation}
所以依據延期之定期壽險 — 保單契約有效期間內身故時不退還已繳保費頁之(4)式，其年繳純保費為
\begin{align}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil} & =\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\frac{{}_{m+n}E_{x}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\nonumber\\
& ={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+\frac{D_{x+m+n}}{N_{x+m}-N_{x+m+n}}\nonumber\\
& ={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+\widehat{P}_{x+m:n\!\rceil}\label{eq228}\tag{3}\\
& =-d+\frac{1}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\cdot\left ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x}\right )+\widehat{P}_{x+m:n\!\rceil}
\label{eq367}\tag{4}\\
& =-d+1-\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
+\widehat{P}_{x+m:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq229}\tag{5}
\end{align}
依據基本型人壽保險金頁之(37)式，因為 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}=1-d\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)，亦可得
\begin{equation}{\label{eq380}}\tag{6}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}=\frac{1}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-d\mbox{。}
\end{equation}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳保險費應為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，現年 \(x\)歲的被保險人，其年繳純保費以符號 \(P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)表示。根據收支平衡原則，可得
\[P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}
={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{m+n}E_{x}\mbox{，}\]
所以依據延期之定期壽險 — 保單契約有效期間內身故時不退還已繳保費頁之(6)式，其年繳純保費為
\begin{align*}
P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}) & =\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
+\frac{{}_{m+n}E_{x}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
=P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+\widehat{P}_{x+m:n\!\rceil}\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot
\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
+\widehat{P}_{x+m:n\!\rceil}\mbox{ 。}
\end{align*}
依據(\ref{eq362})式，亦可得
\[P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{{}_{m|}\ddot{a}_{x:1\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+
\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳保險費應為 \(\Lambda\cdot P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)元。
\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}
真實保險費.
年末給付.
若採用身故當年末給付保險金方式，假設將每年分成 \(h\)期，現年 \(x\)歲的被保險人，其真實保險費以符號 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\)表示。因此每期應繳納之保費為 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}/h\)。依據收支平衡原則，可得
\begin{equation}{\label{eq232}}\tag{7}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}\mbox{，}\mbox{。}
\end{equation}
因此依據基本型生存年金頁之(35)式，可解得其真實保險費為
\begin{align}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)} & =\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x})}
\mbox{ (依據基本型生存年金頁之(35)式)}\nonumber\\
& =\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x})}\mbox{ (依據(\ref{eq230})式)}\nonumber\\
& =\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot
\frac{1}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\cdot ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x})}\nonumber\\
& =\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}+d-\widehat{P}_{x+m:n\!\rceil})}
\mbox{ (依據(\ref{eq367})式)}\nonumber\\
& =\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot
({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}\mbox{ (依據(\ref{eq228})式)}\mbox{。}\label{eq368}\tag{8}
\end{align}
另外，依據(\ref{eq365})式，亦可得
\begin{align}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)} & =\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot
\frac{1}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\cdot ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x})}\nonumber\\
& =\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot
\left (1-\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )}
=\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{\frac{h+1}{2h}+\frac{h-1}{2h}\cdot
\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\label{eq369}\tag{9}
\end{align}
又可寫為
\[{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot\left (
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot\left ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )\mbox{元}\]
之差額。其主因係 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}\)是年初繳保費而${}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}$則是分期繳保費。其餘可參照終身壽險中之論點。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，現年 \(x\)歲的被保險人，其年繳純保費以符號 \(P^{(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)表示。根據收支平衡原則，可得
\[P^{(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}\mbox{，}\]
所以，參考(\ref{eq368})及(\ref{eq369})式之推導方式，可得其年繳純保費為
\begin{equation}{\label{eq378}}\tag{10}
P^{(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot\left ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )}
=\frac{P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{\frac{h+1}{2h}+\frac{h-1}{2h}\cdot
\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\mbox{。}
\end{equation}
又可寫為
\begin{equation}{\label{eq371}}\tag{11}
P^{(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})+\frac{h-1}{2h}\cdot P^{(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})
\cdot\left ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )\mbox{。}
\end{equation}
由上式可以明顯看出與年繳保費比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P^{(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot\left ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳保險費應為 \(\Lambda\cdot P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)元。
連續繳費.
考慮 \(h\)趨近於無窮大之情形。若採用身故當年末給付保險金方式，其真實保險費以符號 \({}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}\)表示。依據收支平衡原則，可得
\[{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}\cdot{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}\mbox{，}\]
其中 \({}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}\)定義於延期之定期壽險 — 保單契約有效期間內身故時不退還已繳保費頁之(12)式，參考(\ref{eq368})及(\ref{eq369})式之推導方式可解得
\begin{align*}
{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil} & =\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot
\left ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x}\right )}=\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\frac{1}{2}\cdot
\left ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )}\\
& =\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{\frac{1}{2}\cdot\left (1+\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )}
=\frac{\frac{1}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-d}{\frac{1}{2}\cdot\left (
1+\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )}
=\frac{2\cdot\left (1-d\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\right )}{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}
\end{align*}
又可推得
\[{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}+\frac{1}{2}
\cdot{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)\mbox{。}\]
上式亦可由另一觀點得知。因為
\[{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}=\lim_{h\rightarrow\infty}{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\mbox{，}\]
依據(\ref{eq371})式，可得
\[{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}=\lim_{h\rightarrow\infty}{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}
=\lim_{h\rightarrow\infty}\left [{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}
\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)\right ]\mbox{，}\]
上式經計算後即可得定期生死合險保險費頁之(13)式。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}\)元。
若採用身故即刻給付保險金方式，其真實保險費以符號 \({}_{m|}\bar{P}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)表示。依據收支平衡原則，可得
\[{}_{m|}\bar{P}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align*}
{}_{m|}\bar{P}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}) & =\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}=
\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}\ddot{a}_{x:1\!\rceil}}
{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x}\right )}\\
& =\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}\ddot{a}_{x:1\!\rceil}}
{\frac{1}{2}\cdot\left ({}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\right )}\\
& =\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+2\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:1\!\rceil}}
{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}-\delta\mbox{。}
\end{align*}
另外可得
\[{}_{m|}\bar{P}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}}
\cdot\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}=
\left (\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}}\right )\cdot{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot{}_{m|}\bar{P}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)元。
\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}
年賦保險費.
年末給付.
若採用身故當年末給付保險金方式，假設將每年分成 \(h\)期，現年 \(x\)歲的被保險人，其年賦保險費表為 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\)。每期繳納保費為 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}/h\)。依據之前類似論點，當被保險人在保單契約有效期間身故時，保險公司所給付之保險金淨額為
\[1-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\mbox{，}\]
而其現值為
\[{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\right )\mbox{。}\]
因此，根據收支平衡原則，可得
\[{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x}^{(h)}={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\right )\mbox{，}\]
所以
\[{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}=\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x}^{(h)}}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\right )={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot
\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\right )\mbox{。}\]
因此可解得
\[{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}=\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}}
{1+\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}}\mbox{。}\]
令 \(\zeta =\frac{h-1}{2h}\)，根據(\ref{eq368})式及延期之定期壽險 — 保單契約有效期間內身故時不退還已繳保費頁之(4)式，可得
\begin{align*}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]} & =\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}}{1+\zeta\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{\displaystyle \frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}}
{\displaystyle 1+\frac{\zeta\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}}\nonumber\\
& =\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)
+\zeta\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}=\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot d
+\zeta\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1})}\nonumber\\
& =\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot d
+\zeta\cdot\left (\frac{1+{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1\right )}
\mbox{ (根據(\ref{eq380}))}\mbox{。}
\end{align*}
上式亦可寫成
\[{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}-\zeta\cdot d\cdot
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}+\zeta\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\cdot
\left (\frac{1+{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1\right )\mbox{。}\]
因此可得
\begin{align*}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]} & ={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}+\zeta\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\cdot
\left (d+1-\frac{1+{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )\\
& ={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\cdot
\left (d+1-\frac{1+{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，假設將每年分成 \(h\)期，現年 \(x\)歲的被保險人，其年賦保險費表為 \(P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)。每期繳納保費為 \(P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})/h\)。根據收支平衡原則，可得
\[P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}
={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\right )\mbox{。}\]
所以
\begin{align*}
P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}) & =\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}}
{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\right )\\
& =P^{(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\right )\mbox{。}
\end{align*}
因此可解得
\[P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{P^{(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot
P^{(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}\mbox{。}\]
令 \(\zeta =\frac{h-1}{2h}\)，根據(\ref{eq378})式及參考定期生死合險保險費頁之(15)式之推導方式，可得
\begin{align*}
P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}) & =\frac{P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{1-\zeta\cdot d
+\zeta\cdot (P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})-{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1})}\\
& =\frac{P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{1-\zeta\cdot d+\zeta\cdot\left (P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})
+\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1+d\right )}\\
& =\frac{P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{1+\zeta\cdot\left (P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})
+\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1\right )}\mbox{。}
\end{align*}
上式亦可寫成
\[P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})
+\zeta\cdot P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot\left (P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})
+\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1\right )\mbox{。}\]
因此可得
\[P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})+\frac{h-1}{2h}\cdot
P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot\left (1-\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
-P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\right )\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot P^{[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)元。
\begin{equation}{\label{e}}\tag{E}\mbox{}\end{equation}
比例分攤保險費.
年末給付.
若採用身故當年末給付保險金方式，假設將每年分成 \(h\)期，現年 \(x\)歲的被保險人，其比例分攤保險費以號 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}/h\)表示。因此每期應繳納保費為 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}/h\)。依據之前類似論點，當被保險人在保單契約有效期間身故時，保險公司真正所給付之保險金平均為
\[1+\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}}{2h}\mbox{，}\]
其現值為
\[{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}\cdot\left (1+\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}}{2h}\right )\mbox{。}\]
根據收支平衡原則，可得
\[{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x}^{(h)}={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}\cdot\left (
1+\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}}{2h}\right )\mbox{，}\]
所以
\[{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}=\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x}^{(h)}}
\cdot\left (1+\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}}{2h}\right )={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot
\left (1+\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}}{2h}\right )\mbox{。}\]
因此可解得
\[{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}=\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}}\]
令 \(\zeta =\frac{h-1}{2h}\)，根據(\ref{eq368})式，可得
\begin{align*}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}} & =\frac{\displaystyle\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}}
{\displaystyle 1-\frac{1}{2h}\cdot\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}}
=\frac{2h\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{2h-2h\zeta\cdot({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)-{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}\\
& =\frac{2h\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{2h-2h\zeta\cdot
\left (1-\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\right )-{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}
\end{align*}
亦可寫成
\[2h\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}=2h\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}-2h\zeta\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\cdot
\left (1-\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\right )
-{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align*}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}} & ={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\cdot\left [
\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{2h}+\zeta\cdot\left (1-\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{}_{m|}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )\right ]\\
& ={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\cdot\left [\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{2h}+\frac{h-1}{2h}\cdot
\left (1-\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}
\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則比例分攤保險費應為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，假設將每年分成 \(h\)期，現年 \(x\)歲的被保險人，其比例分攤保險費以符號 \(P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)表示。因此每期應繳納保費為 \(P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})/h\)。依據之前類似論點，當被保險人在保單契約有效期間身故時，保險公司真正所給付之保險金平均為
\[1+\frac{P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h}\mbox{，}\]
其現值為
\[A_{x:n\!\rceil}\cdot\left (1+\frac{P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h}\right )\mbox{。}\]
根據收支平衡原則，可得
\[P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}
=A_{x:n\!\rceil}\cdot\left (1+\frac{P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h}\right )\mbox{，}\]
所以
\[P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{A_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}
\cdot\left (1+\frac{P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h}\right )=P^{(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot
\left (1+\frac{P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h}\right )\mbox{。}\]
因此可解得
\[P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{P^{(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{1-\frac{1}{2h}
\cdot P^{(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}\]
根據(\ref{eq378})式，可得
\begin{align*}
P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}) & =\frac{2h\cdot P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h-2h\zeta\cdot
({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)-P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}\\
& =\frac{2h\cdot P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h-(h-1)\cdot\left (1-\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}
{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )-P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}\mbox{。}
\end{align*}
及
\[P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})+P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})
\cdot\left [\frac{P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h}+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}
{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )\right ]\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則比例分攤保險費應為 \(\Lambda\cdot P^{\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)元。
\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
類別 & 年末給付 & 即刻給付\\ \hline
&&\\
\mbox{躉繳保險費} & A_{x:n\!\rceil}={}_{m|}\ddot{a}_{x:1\!\rceil}-d\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil} &
{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}\ddot{a}_{x:1\!\rceil}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{年繳保險費} & {\displaystyle P_{x:n\!\rceil}=\frac{1}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-d} &
{\displaystyle P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{{}_{m|}\ddot{a}_{x:1\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+
\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{真實保險費} & {\displaystyle P_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\frac{2h\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{h+1+(h-1)\cdot
\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}} &
{\displaystyle P^{1(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{2h\cdot P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{h+1+(h-1)\cdot
\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{年賦保險費} & {\displaystyle P_{x:n\!\rceil}^{[h]}=\frac{2h\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{2h+(h-1)\cdot
\left (\frac{1+{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1-d\right )}} &
{\displaystyle P^{1[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{2h\cdot P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h+(h-1)\cdot\left (
P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})+\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1\right )}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{比例分攤保險費} & {\displaystyle P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}=\frac{2h\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}{2h-(h-1)\cdot
\left (1-\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\right )-{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}}} &
{\displaystyle P^{1\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{2h\cdot P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}
{2h-(h-1)\cdot\left (1-\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )-P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{連續繳費} & {\displaystyle \bar{P}_{x:n\!\rceil}=\frac{2\cdot\left (1-d\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\right )}
{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}} & {\displaystyle \bar{P}^{1}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil})
=\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+2\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:1\!\rceil}}
{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}-\delta}\\
&&\\ \hline
\end{array}\]
