Dirck van Delen (1605-1671) was a Dutch painter.
本頁有以下小節
延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險係指保單契約約定被保險人若於 \(m\)年末仍生存，則當被保險人在第 \(m+1\)年初至 \(m+n\)年末身故時，保險公司需給付 \(1\)元保險金。若被保險人於 \(m+n\)年後仍未身故，則契約效力終止。給付方式可分為身故當年末給付或即刻給付兩種。
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
躉繳純保費
若採用身故當年末給付保險金方式，則躉繳純保費即為被保險人之保險金給付現值 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)，其計算式如基本型人壽保險金頁之(31)式所示為
\begin{equation}{\label{eq292}}\tag{1}
{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}={}_{m}E_{x}\cdot A_{x+m:n\!\rceil}^{1}
=v\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}
=(1-d)\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{equation}
假設保險公司需於被保險人身故即刻給付 \(\Lambda\)元保險金，則躉繳純保費應為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)。
若採用身故即刻給付保險金方式，則躉繳純保費即為 \({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)，其計算式如基本型人壽保險金頁之(21)式所示，這裡將推出另一近似計算式。假設將一年分成 \(h\)期，若被保險人身故時，保險公司需在當期末給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\)表示且
\[{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\lim_{h\rightarrow\infty}{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\mbox{。}\]
假設每期給付 \(1/h\)元保險金，依據基本型人壽保險金頁之(12)式及(20)式，可知
\[{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1(h)}=\frac{v^{m}\cdot l_{x+m}}{l_{x}}\cdot A_{x+m:n\!\rceil}^{1(h)}
=\frac{v^{x+m}\cdot l_{x+m}}{v^{x}\cdot l_{x}}\cdot A_{x+m:n\!\rceil}^{1(h)}
=\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot A_{x+m:n\!\rceil}^{1(h)}={}_{m}E_{x}\cdot A_{x+m:n\!\rceil}^{1(h)}\mbox{，}\]
依據定期壽險保險費頁之(3)式，則可得近似計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1} & =\lim_{h\rightarrow\infty}{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1(h)}
={}_{m}E_{x}\cdot\lim_{h\rightarrow\infty}A_{x+m:n\!\rceil}^{1(h)}\\
& ={}_{m}E_{x}\cdot\left [\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )
\cdot\ddot{a}_{x+m:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot a_{x+m:n\!\rceil}\right ]\mbox{ (依據定期壽險保險費頁之(36)式)}\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\label{eq360}\tag{2}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人身故即刻給付 \(\Lambda\)元保險金，則躉繳純保費應為 \(\Lambda\cdot{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)。
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
年繳純保費.
可分為年末給付與即刻給付保險金方式。假設延期 \(z\)年繳費且繳費期間為 \(q\)年，其中 \(q\leq m+n\)。
年末給付.
現年 \(x\)歲的被保險人，若採用身故當年末給付保險金方式，其年繳純保費以符號 \({}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\)表示。若 \(z=0\)，則表為 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\)。若 \(q=n\)，則表為 \({}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil}^{1}\)。若 \(z=0\)及 \(q=n\)，則簡單表為 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}\)。若 \(z+t\)年後仍然生存時，其年繳純保費 \({}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\)之現值為
\[{}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot v^{z+t}\cdot {}_{z+t}p_{x}={}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot {}_{z+t}E_{x}\mbox{。}\]
因此保費收入現值為
\[{}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot {}_{m}E_{x}+P_{x:n\!\rceil ,q}^{m}\cdot {}_{m+1}E_{x}
+{}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots+{}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot {}_{m+n-1}E_{x}
={}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot{}_{z|}\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\mbox{。}\]
依據收支平衡原則，可得
\begin{equation}{\label{eq197*}}\tag{3}
{}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot{}_{z|}\ddot{a}_{x:q\!\rceil}={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{，}
\end{equation}
所以其年繳純保費為
\[{}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}=\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{z|}\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{v\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{z|}\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\mbox{。}\]
亦可得
\begin{align}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1} & =\frac{v\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\nonumber\\
{}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil}^{1} & =\frac{v\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}
{{}_{z|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\nonumber\\
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1} & =\frac{v\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\label {eq365}\tag{4}\mbox{。}
\end{align}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳保險費應為 \(\Lambda\cdot {}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\)元。
即刻給付.
現年 \(x\)歲的被保險人，若採用身故當年末給付保險金方式，其年繳純保費以符號 \({}_{z|}P_{q}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)表示。若 \(z=0\)，則表為 \(P_{q}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)。若 \(q=n\)，則表為 \({}_{z|}{}_{z|}P_{q}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)。若 \(z=0\)及 \(q=n\)，則簡單表為 \({}_{z|}P_{q}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)。依據(\ref{eq197*})式，可得
\begin{equation}{\label{eq296}}\tag{5}
{}_{z|}P_{q}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot{}_{z|}\ddot{a}_{x:q\!\rceil}={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{equation}
因此可解得
\[{}_{z|}P_{q}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{z|}\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{z|}\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\mbox{。}\]
亦可得
\begin{align}
P_{q}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}) & =\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )
\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\nonumber\\
{}_{z|}P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}) & =\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )
\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{z|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\nonumber\\
P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}) & =\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )
\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}\label{eq361}\tag{6}
\end{align}
另外可得
\[{}_{z|}P_{q}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})
=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{z|}\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}
\cdot\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{z|}\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}=
\left (\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}\right )
\cdot {}_{m,z|}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot {}_{z|}P_{q}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元。
\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}
真實保險費.
將每年分成 \(h\)期，可分為年末給付與即刻給付保險金方式。假設延期 \(z\)年繳費且繳費期間為 \(q\)年，其中 \(q\leq m+n\)。
年末給付.
採用身故當年末給付保險金方式，現年 \(x\)歲的被保險人，則其真實保險費以符號 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\)表示。因此每期應繳納之保費為 \(P_{x}^{(h)}/h\)。依據(\ref{eq197*})式，可考慮下面之收支平衡原則
\begin{equation}{\label{eq295}}\tag{7}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{，}\mbox{。}
\end{equation}
依據基本型生存年金頁之(31)式及定期壽險保險費頁之(13)式，因此可解得其真實保險費為
\begin{align}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)} & =\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x})}\mbox{ (依據基本型生存年金頁之(31)式}\nonumber\\
& =\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x})}\mbox{ (依據(\ref{eq197*})式) }\nonumber\\
& =\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot
\frac{1}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\cdot ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x})}
=\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot
({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}\mbox{(依據定期壽險保險費頁之(13)式)}\mbox{。}\label{eq297}\tag{8}
\end{align}
又可寫為
\begin{equation}{\label{eq299}}\tag{9}
{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+\frac{h-1}{2h}
\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)\mbox{。}
\end{equation}
由上式可以明顯看出與年繳保費比較將會產生
\begin{equation}{\label{eq193}}\tag{10}
\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)\mbox{元}
\end{equation}
之差額。其主因係 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}\)是年初繳保費而 \({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\)則是分期繳保費。其餘可參照終身壽險中之論點。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，其年繳純保費以符號 \(P^{1(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)表示之。依據(\ref{eq295})式，可得
\[P^{1(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]
依據(\ref{eq296})式及參考(\ref{eq297})式，可解得
\[P^{1(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x})}=\frac{P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}
{1-\frac{h-1}{2h}\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}\mbox{。}\]
又可寫為
\[P^{1(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+\frac{h-1}{2h}
\cdot P^{1(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\left ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P^{1(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\left ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )\mbox{元}\]
之差額。另外可得
\[P^{1(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}
{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}
\cdot\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{1(h)}}=
\left (\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}\right )
\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot P^{1(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元。
\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}
年賦保險費.
假設每年分$h$期，將分別討論年末給付與即刻給付保險金方式。
年末給付.
採用身故當年末給付保險金方式，現年 \(x\)歲的被保險人，則其年賦保險費表為以符號 \(P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}\)表示之。每期繳納保費為 \(P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}/h\)。依據之前類似論點，當被保險人在保單契約有效期間身故時，保險公司所給付之保險金淨額為
\[1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}\mbox{，}\]
而其現值為
\[{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdotP_{x:n\!\rceil}^{1[h]}\right )\mbox{。}\]
因此，根據收支平衡原則，可得
\[P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x}^{(h)}={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot
P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}\right )\mbox{。}\]
因此，依據之前年賦保險費之推導方式，可解得
\[P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}=\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot d}\]
及
\[P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+\frac{h-1}{2h}\cdot d\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot d\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，其年繳純保費以符號 \(P^{1[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)表示之。依據收支平衡原則，可得
\[P^{1[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}
={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot
P^{1[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\right )\mbox{。}\]
因此，依據之前年賦保險費之推導方式，可解得
\[P^{1[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot d}\]
及
\[P^{1[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+\frac{h-1}{2h}\cdot d
\cdot P^{1[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot d\cdot P^{1[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot P^{1[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元。
比例分攤保險費.
假設每年分成 \(h\)期，將分別討論年末給付與即刻給付保險金方式。
年末給付.
採用身故當年末給付保險金方式，現年 \(x\)歲的被保險人，則其比例分攤保險費以號 \(P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}/h\)表示。因此每期應繳納保費為 \(P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}/h\)。依據之前類似論點，當被保險人在保單契約有效期間身故時，保險公司真正所給付之保險金平均為
\[1+\frac{P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}}{2h}\mbox{，}\]
其現值為
\[{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\left (1+\frac{P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}}{2h}\right )\mbox{。}\]
根據收支平衡原則，則可得
\[P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x}^{(h)}={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\left (
1+\frac{P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}}{2h}\right )\mbox{。}\]
因此，依據之前比例分攤保險費之推導方式，可解得
\[P^{1[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot d}\]
及
\[P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}\cdot\left (
\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}}{2}+\frac{h-1}{2h}\cdot d\right )\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費比較將會產生
\[P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}\cdot\left (\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}}{2}+\frac{h-1}{2h}\cdot d\right )\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則比例分攤保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}\)元。
即刻給付
若採用身故即刻給付保險金方式，其年繳純保費以符號 \(P^{1\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)表示之。依據收支平衡原則，可得
\[P^{1\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}
={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\left (1+\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}}{2h}\right )\mbox{。}\]
因此，依據之前比例分攤保險費之推導方式，可解得
\[P^{1\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot d}\]
及
\[P^{1\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})
=P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+P^{1\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})
\cdot\left (\frac{P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}{2}+\frac{h-1}{2h}\cdot d\right )\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費比較將會產生
\[P^{1\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\left (
\frac{P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}{2}+\frac{h-1}{2h}\cdot d\right )\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot P^{1\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元。
\begin{equation}{\label{e}}\tag{E}\mbox{}\end{equation}
連續繳費.
考慮 \(h\)趨近於無窮大之情形，將分別討論年末給付與即刻給付保險金方式。
年末給付.
採用身故當年末給付保險金方式，其真實保險費以符號 \({}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示。依據收支平衡原則，可得以下關係式
\begin{equation}{\label{eq271}}\tag{11}
{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{，}
\end{equation}
其中
\begin{align}
{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil} & =\lim_{h\rightarrow\infty}{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}\nonumber\\
& =\lim_{h\rightarrow\infty}\left [{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x})\right ]={}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot
\left ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x}\right )\mbox{，}\label{eq370}\tag{12}
\end{align}
因此可解得
\[{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x}\right )}
=\frac{{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}}{1-\frac{1}{2}\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}\mbox{。}\]
又可推得
\begin{equation}{\label{eq300}}\tag{13}
{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}={}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+\frac{1}{2}
\cdot{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)\mbox{。}
\end{equation}
上式亦可由另一觀點得知。因為
\[{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}=\lim_{h\rightarrow\infty}{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\mbox{，}\]
依據(\ref{eq299})式，可得
\[{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}=\lim_{h\rightarrow\infty}{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}
=\lim_{h\rightarrow\infty}\left [{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+\frac{h-1}{2h}\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\cdot
({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)\right ]\mbox{，}\]
上式經計算後即可得(\ref{eq300})式。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot{}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}\)元。
即刻給付.
採用身故即刻給付保險金方式，其真實保險費以符號 \(\bar{P}^{1}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)表示。依據收支平衡原則，可得
\[\bar{P}^{1}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot
{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align*}
\bar{P}^{1}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}) & =\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x}\right )}\\
& =\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{\frac{1}{2}\cdot\left ({}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\right )}
=\frac{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}-\delta\mbox{。}
\end{align*}
另外可得
\[\bar{P}^{1}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}
\cdot\frac{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}=
\left (\frac{{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}}\right )
\cdot {}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot\bar{P}^{1}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元。
\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\mbox{類別} & \mbox{年末給付} & \mbox{即刻給付}\\ \hline
&&\\
\mbox{躉繳保險費} & {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}=v\cdot{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n\!\rceil} &
{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{年繳保險費} & {\displaystyle {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}=-d+1-\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}
& {\displaystyle P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot
\frac{{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{真實保險費} & {\displaystyle {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}=\frac{2h\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}}{2h-(h-1)\cdot
({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}}
& {\displaystyle P^{1(h)}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{2h\cdot P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}
{2h-(h-1)\cdot ({}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{年賦保險費} & {\displaystyle {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}
=\frac{2h\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}}{2h-(h-1)\cdot d}}
& {\displaystyle P^{1[h]}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})
=\frac{2h\cdot P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}{2h-(h-1)\cdot d}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{比例分攤保險費} & {\displaystyle {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}
=\frac{2h\cdot {}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}}{2h-(h-1)\cdot d}} &
{\displaystyle P^{1\{h\}}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})
=\frac{2h\cdot P({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}{2h-(h-1)\cdot d}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{連續繳費} & {\displaystyle {}_{m|}\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}
=\frac{2{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}}{2-{}_{m|}P_{x:n\!\rceil}^{1}-d}} &
{\displaystyle \bar{P}^{1}({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})
=\frac{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}
{{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}}-\delta}\\
&&\\ \hline
\end{array}\]}
