Yefim Yefimovich Volkov (1844-1920) was a Russian landscape painter.
本頁有以下小節
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
確定年金之純保險費.
上述推導純保險費計算公式之推導方式亦可用來推導各種不同確定年金之純保險費計算公式。考慮年末付年金，不論被保險人生存或身故，保險公司皆須於每年末給付金額 \(1\)元予保險受益人，且契約約定共需給付 \(n\)年，則其現值為
\[a_{n\!\rceil}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}=\frac{v(1-v^{n})}{1-v}=\frac{v(1-v^{n})}{d}=\frac{1-v^{n}}{i}\mbox{。}\]
考慮現年 \(x\)歲之被保險人，假設繳費期間為 \(q\)年，其中 \(q\leq n\)。
年繳純保費.
其年繳純保費以符號 \(\widehat{P}^{*}_{x,q}\)表示。依據收支平衡原則，可得
\[\widehat{P}^{*}_{x,q}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}=a_{n\!\rceil}\mbox{，}\]
所以其年繳純保費為
\[\widehat{P}^{*}_{x,q}=\frac{a_{n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{1-v^{n}}{i\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\mbox{。}\]
假設保險公司皆須於每年末給付金額 \(\Lambda\)元予保險受益人，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot\widehat{P}^{*}_{x,q}\)元。
真實保險費.
其真實保險費以符號 \(\widehat{P}_{x,q}^{*(h)}\)表示。依據收支平衡原則，可得
\[\widehat{P}_{x,q}^{*(h)}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}=a_{n\!\rceil}\mbox{。}\]
依據基本型生存年金頁之(31)式，可解得其真實保險費為
\[\widehat{P}_{x,q}^{*(h)}=\frac{a_{n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{a_{n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{q}E_{x}\right )}
=\frac{1-v^{n}}{i\cdot\left [\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )\right ]}\mbox{。}\]
假設保險公司皆須於每年末給付金額 \(\Lambda\)元予保險受益人，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot \widehat{P}_{x,q}^{*(h)}\)元。
年賦保險費.
其年賦保險費以符號 \(\widehat{P}_{x,q}^{*[h]}\)表示之。依據(\ref{eq251})式之推導論點，可得
\[\widehat{P}_{x,q}^{*[h]}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}
=a_{n\!\rceil}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot\widehat{P}_{x,q}^{*[h]}\right )\mbox{，}\]
所以
\[\widehat{P}_{x,q}^{*[h]}=\frac{a_{n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}\cdot
\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot\widehat{P}_{x,q}^{*[h]}\right )=\widehat{P}_{x,q}^{*(h)}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot
\widehat{P}_{x,q}^{*[h]}\right )\mbox{。}\]
令 \(\zeta =\frac{h-1}{2h}\)，可解得
\begin{align*}
\widehat{P}_{x,q}^{*[h]} & =\frac{\widehat{P}_{x,q}^{*(h)}}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot \widehat{P}_{x,q}^{*(h)}}
=\frac{\widehat{P}_{x,q}^{*(h)}}{1+\zeta\cdot\widehat{P}_{x,q}^{*(h)}}
=\frac{\frac{a_{n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}{1+\zeta\cdot\frac{a_{n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}
=\frac{a_{n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}+\zeta\cdot a_{n\!\rceil}}\\
& =\frac{1-v^{n}}{i\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}+\zeta\cdot\left (1-v^{n}\right )}
=\frac{1-v^{n}}{i\cdot\left [\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )\right ]
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-v^{n}\right )}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司皆須於每年末給付金額 \(\Lambda\)元予保險受益人，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot\widehat{P}_{x,q}^{*[h]}\)元。
比例分攤保險費.
其比例分攤保險費以符號 \(\widehat{P}_{x,q}^{*\{h\}}\)表示之。依據終身壽險保費頁之(23)式(\ref{eq255})式之推導論點，可得
\[\widehat{P}_{x,q}^{*\{h\}}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}
=a_{n\!\rceil}\cdot\left (1+\frac{\widehat{P}_{x,q}^{*\{h\}}}{2h}\right )\mbox{，}\]
所以
\[\widehat{P}_{x,q}^{*\{h\}}=\frac{a_{n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}\cdot\left (1+\frac{\widehat{P}_{x,q}^{*\{h\}}}{2h}\right )=\widehat{P}_{x,q}^{*(h)}\cdot\left (1+\frac{\widehat{P}_{x,q}^{*\{h\}}}{2h}\right )\]
因此可解得
\begin{align*}
\widehat{P}_{x,q}^{*\{h\}} & =\frac{\widehat{P}_{x,q}^{*(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot\widehat{P}_{x,q}^{*(h)}}
=\frac{\frac{a_{n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}{1-\frac{1}{2h}\cdot
\frac{a_{n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}=\frac{a_{n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot a_{n\!\rceil}}\\
& =\frac{1-v^{n}}{i\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot\left (1-v^{n}\right )}
=\frac{1-v^{n}}{i\cdot\left [\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )\right ]
-\frac{1}{2h}\cdot\left (1-v^{n}\right )}\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司皆須於每年末給付金額 \(\Lambda\)元予保險受益人，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot \widehat{P}_{x,q}^{*\{h\}}\)元。
連續保險費.
其保險費以符號 \(\bar{\widehat{P}}^{*}_{x,q}\)表示。依據收支平衡原則，可得
\[\bar{\widehat{P}}^{*}_{x,q}\cdot\bar{a}_{x:q\!\rceil}=a_{n\!\rceil}\mbox{，}\]
因此可解得
\[\bar{\widehat{P}}^{*}_{x,q}=\frac{a_{n\!\rceil}}{\bar{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{1-v^{n}}{i\cdot\left [\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )\right ]}
=\frac{1-v^{n}}{\frac{i}{2}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+a_{x:q\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司皆須於每年末給付金額 \(\Lambda\)元予保險受益人，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot\bar{\widehat{P}}^{*}_{x,q}\)元。
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
生存年金之純保險費.
上述推導純保險費計算公式之推導方式亦可用來推導各種不同生存年金之純保險費計算公式。
終身生存年金.
假設被保險人於保單契約生效後仍然生存時，則保險公司需於每年末給付被保險人 \(1\)元直至終身，將依年初給付年金與年末給付年金分別討論。
年末給付.
將依繳費至終身與繳費期間為 \(q\)年分別討論。
繳費至終身.
各種不同類型之繳費方式之計算公式分述如下:
- 年繳純保費: 其年繳純保費以符號 \(P^{*}_{x}\)表示。依據收支平衡原則，可解得
\[P^{*}_{x}=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x}}=\frac{a_{x}}{a_{x}+1}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元年金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot P^{*}_{x}\)元。 - 真實保險費: 其真實保險費以符號 \(P_{x}^{*(h)}\)表示。依據收支平衡原則，可解得
\[P_{x}^{*(h)}=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}=\frac{a_{x}}{a_{x}+\frac{h+1}{2h}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元年金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x}^{*(h)}\)元。 - 年賦保險費: 其年賦保險費以符號 \(P_{x}^{*[h]}\)表示之。依據收支平衡原則，可解得
\[P_{x}^{*[h]}=\frac{P_{x}^{*(h)}}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x}^{*(h)}}
=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}+\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x}}
=\frac{a_{x}}{a_{x}+\frac{h+1}{2h}+\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x}}
=\frac{a_{x}}{\frac{h+1}{2h}+\frac{3h-1}{2h}\cdot a_{x}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元年金，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x}^{*[h]}\)元。 - 比例分攤保險費: 其比例分攤保險費以符號 \(P_{x}^{*\{h\}}\)表示之。依據收支平衡原則，可解得
\[P_{x}^{*\{h\}}=\frac{P_{x}^{*(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{x}^{*(h)}}
=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot a_{x}}
=\frac{a_{x}}{a_{x}+\frac{h+1}{2h}-\frac{1}{2h}\cdot a_{x}}
=\frac{a_{x}}{\frac{h+1}{2h}+\frac{2h-1}{2h}\cdot a_{x}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元年金，則比例分攤保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x}^{*\{h\}}\)元。 - 連續保險費: 其保險費以符號 \(\bar{P}^{*}_{x,q}\)表示。依據收支平衡原則，可解得
\[\bar{P}^{*}_{x,q}=\frac{a_{x}}{\bar{a}_{x}}=\frac{a_{x}}{a_{x}+\frac{1}{2}\cdot}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元年金，則連續保險費應為 \(\Lambda\cdot\bar{P}^{*}_{x,q}\)元。
繳費期間為q年.
各種不同類型之繳費方式之計算公式分述如下:
- 年繳純保費: 其年繳純保費以符號 \(P_{x,q}^{*}\)表示。依據收支平衡原則，可解得
\[P_{x,q}^{*}=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元年金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot P_{x,q}^{*}\)元。 - 真實保險費: 其真實保險費以符號 \(P_{x,q}^{*(h)}\)表示。依據收支平衡原則，可解得
\[P_{x,q}^{*(h)}=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{q}E_{x}\right )}
=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元年金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x,q}^{*(h)}\)元。 - 年賦保險費: 其年賦保險費以符號 \(P_{x,q}^{*[h]}\)表示之。依據收支平衡原則，可解得
\[P_{x,q}^{*[h]}=\frac{P_{x,q}^{*(h)}}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x,q}^{*(h)}}
=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}+\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x}}
=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
+\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元年金，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x,q}^{*[h]}\)元。 - 比例分攤保險費: 其比例分攤保險費以符號 \(P_{x,q}^{*\{h\}}\)表示之。依據收支平衡原則，可解得
\[P_{x,q}^{*\{h\}}=\frac{P_{x,q}^{*(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{x,q}^{*(h)}}
=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot a_{x}}
=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
-\frac{1}{2h}\cdot a_{x}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元年金，則比例分攤保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x,q}^{*\{h\}}\)元。 - 連續保險費: 其保險費以符號 \(\bar{P}^{*}_{x,q}\)表示。依據收支平衡原則，可解得
\[\bar{P}^{*}_{x,q}=\frac{a_{x}}{\bar{a}_{x:q\!\rceil}}=\frac{a_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot
\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元年金，則連續保險費應為 \(\Lambda\cdot\bar{P}^{*}_{x,q}\)元。
年初給付.
將依繳費至終身與繳費期間為 \(q\)年分別討論。
繳費至終身.
此情況之年繳純保費將不具意義，因為被保險人與保險公司將同時於年初時分別繳交保險費與給付保險金直至被保險人終身。其它各種不同類型之繳費方式之計算公式分述如下:
- 真實保險費: 其真實保險費以符號 \(\ddot{P}_{x}^{*(h)}\)表示。依據收支平衡原則，可解得
\[\ddot{P}_{x}^{*(h)}=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x}^{*(h)}\)元。 - 年賦保險費: 其年賦保險費以符號 \(\ddot{P}_{x}^{*[h]}\)表示之。依據收支平衡原則，可解得
\[\ddot{P}_{x}^{*[h]}
=\frac{\ddot{P}_{x}^{*(h)}}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot\ddot{P}_{x}^{*(h)}}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}+\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x}}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}+\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x}^{*[h]}\)元。 - 比例分攤保險費: 其比例分攤保險費以符號 \(\ddot{P}_{x}^{*\{h\}}\)表示之。依據收支平衡原則，可解得
\[\ddot{P}_{x}^{*\{h\}}
=\frac{\ddot{P}_{x}^{*(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot \ddot{P}_{x}^{*(h)}}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot a_{x}}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}-\frac{1}{2h}\cdot a_{x}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則比例分攤保險費應為 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x}^{*\{h\}}\)元。 - 連續保險費: 其保險費以符號 \(\bar{\ddot{P}}^{*}_{x,q}\)表示。依據收支平衡原則，可解得
\[\bar{\ddot{P}}^{*}_{x,q}=\frac{\ddot{a}_{x}}{\bar{a}_{x}}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}\cdot}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則連續保險費應為 \(\Lambda\cdot\bar{\ddot{P}}^{*}_{x,q}\)元。
繳費期間為q年.
各種不同類型之繳費方式之計算公式分述如下:
- 年繳純保費: 其年繳純保費以符號 \(\ddot{P}_{x,q}^{*}\)表示。依據收支平衡原則，可解得
\[\ddot{P}_{x,q}^{*}=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x,q}^{*}\)元。 - 真實保險費: 其真實保險費以符號 \(\ddot{P}_{x,q}^{*(h)}\)表示。依據收支平衡原則，可解得
\[\ddot{P}_{x,q}^{*(h)}=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{q}E_{x}\right )}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x,q}^{*(h)}\)元。 - 年賦保險費: 其年賦保險費以符號 \(\ddot{P}_{x,q}^{*[h]}\)表示之。依據收支平衡原則，可解得
\[\ddot{P}_{x,q}^{*[h]}=\frac{\ddot{P}_{x,q}^{*(h)}}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot \ddot{P}_{x,q}^{*(h)}}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}+\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x}}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
+\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x,q}^{*[h]}\)元。 - 比例分攤保險費: 其比例分攤保險費以符號 \(\ddot{P}_{x,q}^{*\{h\}}\)表示之。依據收支平衡原則，可解得
\[\ddot{P}_{x,q}^{*\{h\}}=\frac{\ddot{P}_{x,q}^{*(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot \ddot{P}_{x,q}^{*(h)}}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot a_{x}}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
-\frac{1}{2h}\cdot a_{x}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則比例分攤保險費應為 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x,q}^{*\{h\}}\)元。 - 連續保險費: 其保險費以符號 \(\bar{\ddot{P}}^{*}_{x,q}\)表示。依據收支平衡原則，可解得
\[\bar{\ddot{P}}^{*}_{x,q}=\frac{\ddot{a}_{x}}{\bar{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot
\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則連續保險費應為 \(\Lambda\cdot\bar{\ddot{P}}^{*}_{x,q}\)元。
定期生存年金.
假設被保險人於保單契約生效後仍然生存時，則保險公司需於每年末給付被保險人 \(1\)元，總共給付 \(n\)年。假設繳費期間為 \(q\)年，其中 \(q\leq n\)。將依年初給付年金與年末給付年金分別討論。
年末給付.
各種不同類型之繳費方式之計算公式分述如下:
- 年繳純保費: 其年繳純保費以符號 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{*}\)表示，若 \(q=n\)，則簡單表為 \(P_{x:n\!\rceil}^{*}\)。依據收支平衡原則，可解得
\[P_{x:n\!\rceil ,q}^{*}=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\mbox{ 及 }
P_{x:n\!\rceil}^{*}=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{*}\)或 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}^{*}\)元。 - 真實保險費: 其真實保險費以符號 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{*(h)}\)表示，若 \(q=n\)，則簡單表為 \(P_{x:n\!\rceil}^{*(h)}\)。依據收支平衡原則，可解得
\[P_{x:n\!\rceil ,q}^{*(h)}=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{q}E_{x}\right )}
=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}\]
及
\[P_{x:n\!\rceil}^{*(h)}=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{*(h)}\)或 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}^{*(h)}\)元。 - 年賦保險費: 其年賦保險費以符號 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{*[h]}\)表示之，若 \(q=n\)，則簡單表為 \(P_{x:n\!\rceil}^{*[h]}\)。依據收支平衡原則，可解得
\[P_{x:n\!\rceil ,q}^{*[h]}=\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{*(h)}}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{*(h)}}
=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}+\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x:n\!\rceil}}
=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
+\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x:n\!\rceil}}\]
及
\[P_{x:n\!\rceil}^{*[h]}=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )+\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x:n\!\rceil}}
=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\frac{h+1}{2h}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\left (1-\frac{1}{h}\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{*[h]}\)或 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}^{*[h]}\)元。 - 比例分攤保險費: 其比例分攤保險費以符號 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{*\{h\}}\)表示之，若 \(q=n\)，則簡單表為 \(P_{x:n\!\rceil}^{*\{h\}}\)。依據收支平衡原則，可解得
\[P_{x:n\!\rceil ,q}^{*\{h\}}=\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{*(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{*(h)}}
=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot a_{x:n\!\rceil}}
=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
-\frac{1}{2h}\cdot a_{x:n\!\rceil}}\]
及
\[P_{x:n\!\rceil}^{*\{h\}}=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )-\frac{1}{2h}\cdot a_{x:n\!\rceil}}
=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\frac{h+1}{2h}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\frac{h-2}{2h}\cdot a_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則比例分攤保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{*\{h\}}\)或 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}^{*\{h\}}\)元。 - 連續保險費: 其保險費以符號 \(\bar{P}^{*}_{x:n\!\rceil ,q}\)表示，若 \(q=n\)，則簡單表為 \(\bar{P}^{*}_{x:n\!\rceil}\)。依據收支平衡原則，可解得
\[\bar{P}^{*}_{x:n\!\rceil ,q}=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\bar{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}
=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\frac{1}{2}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+a_{x:q\!\rceil}\right )}\]
及
\[\bar{P}^{*}_{x:n\!\rceil}=\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\frac{1}{2}\cdot
\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+a_{x:n\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則連續保險費應為 \(\Lambda\cdot\bar{P}^{*}_{x:n\!\rceil ,q}\) \(\Lambda\cdot\bar{P}^{*}_{x:n\!\rceil}\)元。
年初給付.
各種不同類型之繳費方式之計算公式分述如下:
- 年繳純保費: 其年繳純保費以符號 \(\ddot{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{*}\)表示。依據收支平衡原則，可解得
\[\ddot{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{*}=\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\mbox{，}\]
其中 \(q<n\)，因為當 \(q=n\)即表示被保險人與保險公司將同時於年初時分別繳交保險費與給付保險金，此情況之年繳純保費將不具意義。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{*}\)元。 - 真實保險費: 其真實保險費以符號 \(\ddot{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{*(h)}\)表示，若 \(q=n\)，則簡單表為 \(\ddot{P}_{x:n\!\rceil}^{*(h)}\)。依據收支平衡原則，可解得
\[\ddot{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{*(h)}=\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )}\mbox{ 及 }
\ddot{P}_{x:n\!\rceil}^{*(h)}=\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{*(h)}\)或 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x:n\!\rceil}^{*(h)}\)元。 - 年賦保險費: 其年賦保險費以符號 \(\ddot{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{*[h]}\)表示之，若 \(q=n\)，則簡單表為 \(\ddot{P}_{x:n\!\rceil}^{*[h]}\)。依據收支平衡原則，可解得
\[\ddot{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{*[h]}=\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )
+\frac{h-1}{2h}\cdot a_{x:n\!\rceil}}\mbox{ 及 }\ddot{P}_{x:n\!\rceil}^{*[h]}
=\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\frac{h+1}{2h}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\left (1-\frac{1}{h}\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{*[h]}\)或 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x:n\!\rceil}^{*[h]}\)元。 - 比例分攤保險費: 其比例分攤保險費以符號 \(\ddot{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{*\{h\}}\)表示之，若 \(q=n\)，則簡單表為 \(\ddot{P}_{x:n\!\rceil}^{*\{h\}}\)。依據收支平衡原則，可解得
\[\ddot{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{*\{h\}}=\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-
\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil}\right )-\frac{1}{2h}\cdot a_{x:n\!\rceil}}
\mbox{ 及 }\ddot{P}_{x:n\!\rceil}^{*\{h\}}=\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\frac{h+1}{2h}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\frac{h-2}{2h}\cdot a_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則比例分攤保險費應為 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{*\{h\}}\)或 \(\Lambda\cdot \ddot{P}_{x:n\!\rceil}^{*\{h\}}\)元。 - 連續保險費: 其保險費以符號 \(\bar{\ddot{P}}^{*}_{x:n\!\rceil ,q}\)表示，若 \(q=n\)，則簡單表為 \(\bar{\ddot{P}}^{*}_{x:n\!\rceil}\)。依據收支平衡原則，可解得
\[\bar{\ddot{P}}^{*}_{x:n\!\rceil ,q}=\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\frac{1}{2}\cdot
\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+a_{x:q\!\rceil}\right )}\] - 及 \[\bar{\ddot{P}}^{*}_{x:n\!\rceil}=\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\frac{1}{2}\cdot
\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+a_{x:n\!\rceil}\right )}\mbox{。}\]
假設保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元年金，則連續保險費應為 \(\Lambda\cdot\bar{\ddot{P}}^{*}_{x:n\!\rceil ,q}\)
或 \(\Lambda\cdot\bar{\ddot{P}}^{*}_{x:n\!\rceil}\)元。
\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}
複合型純保險費.
考慮一種變化型的年繳純保費。現年 \(x\)歲的被保險人與保險公司簽定保單約定前 \(r\)年之年繳純保費為 \({\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}\)，而自 \(x+r\)歲以後之年繳純保費減為 \(\kappa\cdot {\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}\)，其中 \(\kappa <1\)，並且假設繳費至終身。因此總保費收入現值為
\[\begin{array}{l}
{\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}\cdot {}_{0}E_{x}+{\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}\cdot
{}_{1}E_{x}+\cdots +{\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}\cdot {}_{r-1}E_{x}
+\kappa\cdot {\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}\cdot {}_{r}E_{x}
+\cdots +\kappa\cdot {\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
\hspace{5mm}={\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}\cdot\ddot{a}_{x:r\!\rceil}
+\kappa\cdot {\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}\cdot {}_{r|}\ddot{a}_{x}\mbox{。}
\end{array}\]
依據收支平衡原則，可得
\[{\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}\cdot\left (\ddot{a}_{x:r\!\rceil}
+\kappa\cdot {}_{r|}\ddot{a}_{x}\right )=A_{x}\mbox{。}\]
因此可解得
\[{\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}=\frac{A_{x}}{\ddot{a}_{x:r\!\rceil}+\kappa\cdot {}_{r|}\ddot{a}_{x}}
=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{x}}{\ddot{a}_{x:r\!\rceil}+\kappa\cdot {}_{r|}\ddot{a}_{x}}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則其前 \(r\)年之年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot {\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}\)，而自 \(x+r\)歲以後之年繳純保費則減為 \(\kappa\cdot\Lambda\cdot {\cal P}_{x}^{(r,\kappa )}\)。
Example. 假設被保險人於$30$歲時投保終身壽險，保單契約約定保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金且 \(50\)歲以後年繳純保費減免 \(1/3\)並假設繳費至終身。因此可解得
\[{\cal P}_{30}^{(20,2/3)}=\frac{1-d\cdot\ddot{a}_{30}}{\ddot{a}_{30:20\!\rceil}+
\frac{2}{3}\cdot {}_{20|}\ddot{a}_{30}}\mbox{。}\]
此說明被保險人於 \(30\)歲至 \(50\)歲間之年繳純保費為 \({\cal P}_{30}^{(20,2/3)}\)，而 \(50\)歲以後之年繳純保費則減為 \(\frac{2}{3}\cdot {\cal P}_{30}^{(20,2/3)}\)。 \(\sharp\)
