August Albert Zimmermann (1808-1888) 德國畫家.
給定兩點 \(A(x_{1},y_{1})\) 及 \(B(x_{2},y_{2})\)，若 \(x_{1}\neq x_{2}\)，則稱
\[m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\]
為直線 \(AB\) 之斜率。若 \(x_{1}=x_{2}\)，則直線無斜率。假設直線 \(L_{1}\) 及 \(L_{2}\) 之斜率分別為 \(m_{1}\) 及 \(m_{2}\)。
- 若線 \(L_{1}\) 及 \(L_{2}\)平行，則 \(m_{1}=m_{2}\)。
- 若線 \(L_{1}\) 及 \(L_{2}\)垂直，則 \(m_{1}\cdot m_{2}=-1\)。
直線與 \(x\) 軸之交點稱為 \(x\) 截距。直線與 \(y\) 軸之交點稱為 \(y\) 截距。直線方程式有下列表示方式
- 點斜式: 通過點 \((x_{0},y_{0})\) 且斜率為 \(m\) 之直線方程式為 \[y-y_{0}=m(x-x_{0})\]
- 斜截式: 斜率為 \(m\) 且與 \(y\) 軸之截距為 \(b\) 之直線方程式為 \[y=mx+b\]
- 截距式: 在 \(x\) 軸及 \(y\) 軸之截距分別為 \(a\) 及 \(b\) 之直線方程式為 \[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\]
- 兩點式: 通過兩點 \((x_{1},y_{1})\) 及 \((x_{2},y_{2})\) 之直線方程式為 \[\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\]
通過兩直線 \(L_{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) 及 \(L_{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) 之交點的方程式為
\[\left (a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right )+k\left (a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\right )\mbox{ 或 }
k\left (a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right )+\left (a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\right )\mbox{。}\]
其中 \(k\) 為任何實數。兩點 \((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\) 之中點座標為
\[\left (\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right )\]
♠例題. 假設直線 \(L_{1}:4x+y=4\)，$L_{2}:rx+y=0$ 及 \(L_{3}:2x-3ry=4\) 不能圍成三角形，求 \(r\) 之值。
求解: 直線 \(L_{1}\) 之斜率為 \(m_{1}=-4\)，直線 \(L_{2}\) 之斜率為 \(m_{2}=-r\)，直線 \(L_{3}\) 之斜率為 \(m_{3}=\frac{2}{3r}\)，則下列情形不能圍成三角形
- \(L_{1}\) 及 \(L_{2}\) 平行，則 \(-4=-r\)，所以 \(r=4\)。
- \(L_{1}\) 及 \(L_{3}\) 平行，則 \(-4=\frac{2}{3r}\)，所以 \(r=-\frac{1}{6}\)。
- \(L_{2}\) 及 \(L_{3}\) 平行，則 \(-r=\frac{2}{3r}\)，所以 \(r\) 無解。
- \(L_{1}\)，\(L_{2}\) 及 \(L_{3}\) 交於一點，則
\[\left |\begin{array}{ccc}
4 & 1 & 4\\ r & 1 & 0\\ 2 & -3r & 4
\end{array}\right |=0\mbox{。}\]
可解得 \(r=-1\) 或 \(\frac{2}{3}\)。 \(\blacksquare\)
♠例題. 假設直線 \((5k+2)x+(-k+1)y+k-1=0\) 恆過點 \(P\)，求此 \(P\) 點。另外給定兩點 \(A(-2,-3)\) 及 \(B(3,2)\)，又假設此直線與線段 \(AB\) 相交，求 \(k\) 之範圍。
求解: 首先原式可化為 \((2x+y-1)+k(5x-y+1)=0\)，因此 \(P\) 點為直線 \(2x+y-1=0\) 及 \(5x-y+1=0\) 之交點。 因此解得 \(P(0,1)\)。另外，直線與線段 \(AB\) 相交，表示 \(A,B\) 兩點在直線之異測或在線上。 令 \(f(x,y)=(5k+2)x+(-k+1)y+k-1\)，則 \(f(-2,-3)\cdot f(3,2)\leq 0\)，也就是 \((-6k-8)(14k+7)\leq 0\)，因此解得 \(k\leq -\frac{4}{3}\) 或 \(k\geq -\frac{1}{2}\)。 \(\blacksquare\)
♠例題. 假設直線 \(L\) 通過兩直線 \(x+2y+4=0\) 及 \(3x-y-1=0\) 之交點。若直線 \(L\) 亦通過原點，求 \(L\) 之方程式。 另外，若直線 \(L\) 與直線 \(2x+8y+3=0\) 垂直，求 \(L\) 之方程式。
求解: 假設直線 \(L\) 之方程式為 \((x+2y+4)+k(3x-y-1)=0\)，將 \((0,0)\) 帶入，可解得 \(k=4\)，因此 \(L\) 之方程式為 \(13x-2y=0\)。另外，將 \(L\) 化成 \((1+3k)x+(2-k)Y+(4-k)=0\)，其斜率為 \(m_{1}=\frac{-1-3k}{2-k}\)。 因直線 \(2x+8y+3=0\) 之斜率為 \(m_{2}=-\frac{1}{4}\)。所以根據垂直關係，可知
\[\frac{-1-3k}{2-k}\cdot\left (=-\frac{1}{4}\right )=-1\mbox{，}\]
因此解得 \(k=9\)。所以 \(L\) 之方程式為 \(28x-7y-5=0\)。 \(\blacksquare\)
♠例題. 求點 \((1,-2)\) 關於直線 \(x-2y+2=0\) 之對稱點座標。
求解: 假設點 \(A(1,-2)\) 關於直線 \(x-2y+2=0\) 之對稱點座標為 \(B(x_{0},y_{0})\)。則線段 \(\overline{AB}\) 之點 \((\frac{1+x_{0}}{2},\frac{-2+y_{0}}{2})\) 在直線上，也就是滿足
\[\frac{1+x_{0}}{2}-2\cdot\frac{-2+y_{0}}{2}+2=0\]
因此可得 \(x_{0}-2y_{0}+9=0\)。又 \(\overline{AB}\) 與直線垂直，所以斜率乘積為 \(-1\)，所以可得
\[\frac{y_{0}+2}{x_{0}-1}\cdot\frac{1}{2}=-1\]
也就是 \(2x_{0}+y_{0}=0\)。最後聯立解得對稱點座標為 \((x_{0},y_{0})=(-\frac{9}{5},\frac{18}{5})\)。 \(\blacksquare\)
