Alexei Butirskiy was born in Moscow in 1974.
本頁有以下小節
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
定期遞減型終身生存年金現值.
考慮遞減 \(k\)年之終身生存年金，可分為年末給付與年初給付。
年末給付.
假設年金給付方式為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(n\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(n-1\)元，如此類推，至第 \(k\)年末給付年金 \(n-k+1\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年末給付 \(n-k+1\)元至身故，而其現值以符號 \((D_{k\!\rceil}a)_{x}\)表示且計算式為
\begin{align*}
(D_{k\!\rceil}a)_{x} & =n\cdot {}_{1}E_{x}+(n-1)\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots
+(n-k+1)\cdot {}_{k}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{k}(n-t+1)\cdot {}_{t}E_{x}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k+1}^{\omega -x}{}_{t}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [\sum_{t=1}^{k}(n-t+1)\cdot D_{x+t}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k+1}^{\omega -x}D_{x+t}\right ]\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \((D_{k\!\rceil}a)_{x}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 第 \(1\)種情形，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(1\)期，其現值為 \(a_{x:1\!\rceil}\)
- 第 \(2\)種情形，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(2\)期，其現值為 \(a_{x:2\!\rceil}\)
- 依此類推，第 \(k-1\)種情形，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 k-1$期，其現值為 \(a_{x:k-1\!\rceil}\)
- 第 \(k\)種情形，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故，其現值為 \(a_{x}\)
- 第 \(k+1\)種情形，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故，其現值為 \(a_{x}\)
- 依此類推，最後，第 \(n\)種情形，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故，其現值為 \(a_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
(D_{k\!\rceil}a)_{x} & =(n-k+1)\cdot a_{x}+\sum_{t=1}^{k-1}a_{x:t\!\rceil}\label{eq125}\tag{6}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x+1}}{D_{x}}+\sum_{t=1}^{k-1}\frac{N_{x+1}-N_{x+t+1}}{D_{x}}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x+1}}{D_{x}}+\frac{(k-1)\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}}{D_{x}}\nonumber\\
& =\frac{n\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}}{D_{x}}\mbox{。}\nonumber
\end{align}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(n\cdot\Lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \((n-1)\cdot\Lambda\)元，如此類推，至第 \(k\)年末給付年金 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年末給付 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元至身故，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =n\cdot\Lambda {}_{1}E_{x}+(n-1)\cdot\Lambda\cdot {}_{2}E_{x}
+\cdots +(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{k}E_{x}+\cdots+(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot (D_{k\!\rceil}a)_{x}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(\Lambda +(k-2)\cdot\lambda\)元，如此類推，至第 \(k\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年末給付 \(\Lambda\)元至身故。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元至身故，其現值為 \(\Lambda\cdot a_{x}\)
- 每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(1\)期，其現值為 \(\lambda\cdot a_{x:1\!\rceil}\)
- 每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(2\)期，其現值為 \(\lambda\cdot a_{x:2\!\rceil}\)
- 依此類推，最後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(k-1\)期，其現值為 \(\lambda\cdot a_{x:k-1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot a_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}a_{x:n\!\rceil}\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot a_{x}+\lambda\cdot\left [(n-k+1)\cdot a_{x}+\sum_{t=1}^{k-1}a_{x:t\!\rceil}\right ]\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot a_{x}+\lambda\cdot (D_{k\!\rceil}a)_{x}\mbox{。}\label{eq132}\tag{7}
\end{align}
年初給付.
假設年金給付方式為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(n\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(n-1\)元，如此類推，至第 \(k\)年初給付年金 \(n-k+1\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年初給付 \(n-k+1\)元至身故，而其現值以符號 \((D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\)表示且計算式為
\begin{align*}
(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x} & =n\cdot {}_{0}E_{x}+(n-1)\cdot {}_{1}E_{x}+\cdots
+(n-k+1)\cdot {}_{k-1}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\sum_{t=0}^{k-1}(n-t)\cdot {}_{t}E_{x}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k}^{\omega -x}{}_{t}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [\sum_{t=0}^{k-1}(n-t)\cdot D_{x+t}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k}^{\omega -x}D_{x+t}\right ]\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \((D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\)之計算式為
\begin{align*}
(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x} & =(n-k+1)\cdot \ddot{a}_{x}+\sum_{t=1}^{k-1}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}
=(n-k+1)\cdot\frac{N_{x}}{D_{x}}+\sum_{t=1}^{k-1}\frac{N_{x}-N_{x+t}}{D_{x}}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x}}{D_{x}}+\frac{(k-1)\cdot N_{x}-S_{x+1}+S_{x+k}}{D_{x}}\\
& =\frac{n\cdot N_{x}-S_{x+1}+S_{x+k}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(n\cdot\Lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \((n-1)\cdot\Lambda\)元，如此類推，至第 \(k\)年初給付年金 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年初給付 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元至身故，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =n\cdot\Lambda {}_{0}E_{x}+(n-1)\cdot\Lambda\cdot {}_{1}E_{x}
+\cdots +(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{k-1}E_{x}+\cdots+(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot (D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(\Lambda +(k-2)\cdot\lambda\)元，如此類推，至第 \(k\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年初給付 \(\Lambda\)元至身故，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot \ddot{a}_{x}+\lambda\cdot\left [(n-k+1)\cdot \ddot{a}_{x}
+\sum_{t=1}^{k-1}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}\right ]\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot (D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\mbox{。}
\end{align*}
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
定期遞減型之定期生存年金現值.
考慮遞減 \(k\)年之 \(n\)年定期生存年金，其中 \(n>k\)，可分為年末給付與年初給付。
年末給付.
假設年金給付方式為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(n\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(n-1\)元，如此類推，至第 \(k\)年末給付年金 \(n-k+1\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年末給付 \(n-k+1\)元至第$n$年末給付年金 \(n-k+1\)元為止，而其現值以符號 \((D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\begin{align*}
(D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil} & =n\cdot {}_{1}E_{x}+(n-1)\cdot {}_{2}E_{x}
+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{k}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{n}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{k}(n-t+1)\cdot {}_{t}E_{x}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k+1}^{n}{}_{t}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [\sum_{t=1}^{k}(n-t+1)\cdot D_{x+t}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k+1}^{n}D_{x+t}\right ]\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \((D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 第 \(1\)種情形，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(1\)期，其現值為 \(a_{x:1\!\rceil}\)
- 第 \(2\)種情形，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(2\)期，其現值為 \(a_{x:2\!\rceil}\)
- 依此類推，第 \(k-1\)種情形，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(k-1\)期，其現值為 \(a_{x:k-1\!\rceil}\)
- 第 \(k\)種情形，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n\)期，其現值為 \(a_{x:n\!\rceil}\)
- 第$k+1$種情形，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n\)期，其現值為 \(a_{x:n\!\rceil}\)
- 依此類推，最後，第 \(n\)種情形，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n\)期，其現值為 \(a_{x:n\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
(D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil} & =(n-k+1)\cdot a_{x:n\!\rceil}+\sum_{t=1}^{k-1}a_{x:t\!\rceil}\label{eq126}\tag{8}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x+1}-N_{x+n+1}}{D_{x}}+\sum_{t=1}^{k-1}\frac{N_{x+1}-N_{x+t+1}}{D_{x}}\nonumber\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x+1}-N_{x+n+1}}{D_{x}}+\frac{(k-1)\cdot N_{x+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}}{D_{x}}\nonumber\\
& =\frac{n\cdot N_{x+1}-(n-k+1)\cdot N_{x+n+1}-S_{x+2}+S_{x+k+1}}{D_{x}}\mbox{。}\nonumber
\end{align}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(n\cdot\Lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \((n-1)\cdot\Lambda\)元，如此類推，至第 \(k\)年末給付年金 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年末給付 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元至第 \(n\)年末給付年金 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =n\cdot\Lambda {}_{1}E_{x}+(n-1)\cdot\Lambda\cdot {}_{2}E_{x}
+\cdots +(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{k}E_{x}+\cdots+(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{n}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot (D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(\Lambda +(k-2)\cdot\lambda\)元，如此類推，至第 \(k\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年末給付 \(\Lambda\)元至第 \(n\)年末給付年金 \(\Lambda\)元為止。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元，共給付 \(n\)期，其現值為 \(\Lambda\cdot a_{x:n\!\rceil}\)
- 每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(1\)期，其現值為 \(\lambda\cdot a_{x:1\!\rceil}\)
- 每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(2\)期，其現值為 \(\lambda\cdot a_{x:2\!\rceil}\)
- 依此類推，最後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(k-1\)期，其現值為 \(\lambda\cdot a_{x:k-1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}a_{x:t\!\rceil}\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\left [(n-k+1)\cdot a_{x:n\!\rceil}
+\sum_{t=1}^{k-1}a_{x:t\!\rceil}\right ]\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq133}\tag{9}
\end{align}
年初給付.
假設年金給付方式為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(n\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(n-1\)元，如此類推，至第 \(k\)年初給付年金 \(n-k+1\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年初給付 \(n-k+1\)元至第 \(n\)年初給付年金 \(n-k+1\)元為止，而其現值以符號 \((D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\begin{align*}
(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil} & =n\cdot {}_{0}E_{x}+(n-1)\cdot {}_{1}E_{x}
+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{k-1}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{n-1}E_{x}\\
& =\sum_{t=0}^{k-1}(n-t)\cdot {}_{t}E_{x}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k}^{n-1}{}_{t}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [\sum_{t=1}^{k-1}(n-t)\cdot D_{x+t}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k}^{n-1}D_{x+t}\right ]\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \((D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)之計算式為
\begin{align*}
(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil} & =(n-k+1)\cdot \ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\sum_{t=1}^{k-1}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x}-N_{x+n}}{D_{x}}+\sum_{t=1}^{k-1}\frac{N_{x}-N_{x+t}}{D_{x}}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x}-N_{x+n}}{D_{x}}+\frac{(k-1)\cdot N_{x}-S_{x+1}+S_{x+k}}{D_{x}}\\
& =\frac{n\cdot N_{x}-(n-k+1)\cdot N_{x+n}-S_{x+1}+S_{x+k}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(n\cdot\Lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \((n-1)\cdot\Lambda\)元，如此類推，至第 \(k\)年初給付年金 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年初給付 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元至第 \(n\)年初給付年金 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =n\cdot\Lambda {}_{0}E_{x}+(n-1)\cdot\Lambda\cdot {}_{1}E_{x}
+\cdots +(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{k-1}E_{x}+\cdots+(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{n-1}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot (D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(\Lambda +(k-2)\cdot\lambda\)元，如此類推，至第 \(k\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年初給付 \(\Lambda\)元至第 \(n\)年初給付年金 \(\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot \ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot \ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\left [(n-k+1)\cdot \ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\sum_{t=1}^{k-1}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}\right ]\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot \ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}
定期遞減型之延期終身生存年金現值.
考慮遞減 \(k\)年之延期 \(m\)年終身生存年金，可分為年末給付與年初給付。
年末給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(n\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(n-1\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年末給付年金 \(n-k+1\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年末給付 \(n-k+1\)元至身故，而其現值以符號 \({}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x}\)表示且計算式為
\begin{align*}
& {}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x}=n\cdot {}_{m+1}E_{x}+(n-1)\cdot {}_{m+2}E_{x}
+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{m+k}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& \quad =\sum_{t=1}^{k}(n-t+1)\cdot {}_{m+t}E_{x}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k+1}^{\omega -x}{}_{m+t}E_{x}\\
& \quad =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [\sum_{t=1}^{k}(n-t+1)\cdot D_{x+m+t}
+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k+1}^{\omega -x}D_{x+m+t}\right ]\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 第 \(1\)種情形，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(1\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:1\!\rceil}\)
- 第 \(2\)種情形，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(2\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:2\!\rceil}\)
- 依此類推，第 \(k-1\)種情形，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(k-1\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:k-1\!\rceil}\)
- 第 \(k\)種情形，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故，其現值為 \({}_{m|}a_{x}\)
- 第 \(k+1\)種情形，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故，其現值為 \({}_{m|}a_{x}\)
- 依此類推，最後，第 \(n\)種情形，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故，其現值為 \({}_{m|}a_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
{}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x} & =(n-k+1)\cdot {}_{m|}a_{x}+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}a_{x:t\!\rceil}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x+m+1}}{D_{x}}+\sum_{t=1}^{k-1}\frac{N_{x+m+1}-N_{x+m+t+1}}{D_{x}}\label{eq127}\tag{10}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x+m+1}}{D_{x}}+\frac{(k-1)\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+k+1}}{D_{x}}\nonumber\\
& =\frac{n\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+k+1}}{D_{x}}\mbox{。}\nonumber
\end{align}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)末給付年金 \(n\cdot\Lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \((n-1)\cdot\Lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年末給付年金 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年末給付 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元至身故，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =n\cdot\Lambda {}_{m+1}E_{x}+(n-1)\cdot\Lambda\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{m+k}E_{x}+\cdots+(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)末給付年金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(\Lambda +(k-2)\cdot\lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年末給付 \(\Lambda\)元至身故。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元至身故，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x}\)
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(1\)期，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m|}a_{x:1\!\rceil}\)
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(2\)期，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m|}a_{x:2\!\rceil}\)
- 依此類推，最後，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(k-1\)期，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m|}a_{x:k-1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}a_{x}+\lambda\cdot\left [(n-k+1)\cdot {}_{m|}a_{x}
+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}a_{x:t\!\rceil}\right ]\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}a_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x}\mbox{。}\label{eq134}\tag{11}
\end{align}
年初給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年初(即第 \(m\)年末)給付年金 \(n\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(n-1\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年初給付年金 \(n-k+1\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年初給付 \(n-k+1\)元至身故，而其現值以符號 \({}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\)表示且計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x} & =n\cdot {}_{m}E_{x}+(n-1)\cdot {}_{m+1}E_{x}
+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{m+k-1}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\sum_{t=0}^{k-1}(n-t)\cdot {}_{m+t}E_{x}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k}^{\omega -x}{}_{m+t}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [\sum_{t=0}^{k}(n-t)\cdot D_{x+m+t}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k}^{\omega -x}D_{x+m+t}\right ]\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\)之計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x} & =(n-k+1)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x+m}}{D_{x}}+\sum_{t=1}^{k-1}\frac{N_{x+m}-N_{x+m+t}}{D_{x}}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x+m}}{D_{x}}+\frac{(k-1)\cdot N_{x+m}-S_{x+m+1}+S_{x+m+k}}{D_{x}}\\
& =\frac{n\cdot N_{x+m}-S_{x+m+1}+S_{x+m+k}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)末給付年金 \(n\cdot\Lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \((n-1)\cdot\Lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年初給付年金 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年初給付 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元至身故，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =n\cdot\Lambda {}_{m}E_{x}+(n-1)\cdot\Lambda\cdot {}_{m+1}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{m+k-1}E_{x}+\cdots+(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)末給付年金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(\Lambda +(k-2)\cdot\lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年初給付 \(\Lambda\)元至身故，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}
+\lambda\cdot\left [(n-k+1)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}\right ]\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\mbox{。}
\end{align*}
\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}
定期遞減型之延期定期生存年金現值.
考慮遞減 \(k\)年延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生存年金，其中 \(n>k\)，可分為年末給付與年初給付。
年末給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，年金給付方式為保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(n\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(n-1\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年末給付年金 \(n-k+1\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年末給付 \(n-k+1\)元至第 \(m+n\)年末給付年金 \(n-k+1\)元為止，而其現值以符號 \({}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil} & =n\cdot {}_{m+1}E_{x}+(n-1)\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{m+k}E_{x}
+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{k}(n-t+1)\cdot {}_{m+t}E_{x}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k+1}^{n}{}_{m+t}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [\sum_{t=1}^{k}(n-t+1)\cdot D_{x+m+t}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k+1}^{n}D_{x+m+t}\right ]\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 第 \(1\)種情形，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(1\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:1\!\rceil}\)
- 第 \(2\)種情形，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(2\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:2\!\rceil}\)
- 依此類推，第 \(k-1\)種情形，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(k-1\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:k-1\!\rceil}\)
- 第 \(k\)種情形，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)
- 第 \(k+1\)種情形，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)
- 依此類推，最後，第 \(n\)種情形，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n\)期，其現值為 \({}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
{}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil} & =(n-k+1)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}a_{x:t\!\rceil}\label{eq128}\tag{12}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}}{D_{x}}+\sum_{t=1}^{k-1}\frac{N_{x+m+1}-N_{x+m+t+1}}{D_{x}}\nonumber\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}}{D_{x}}+\frac{(k-1)\cdot N_{x+m+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+k+1}}{D_{x}}\nonumber\\
& =\frac{n\cdot N_{x+m+1}-(n-k+1)\cdot N_{x+m+n+1}-S_{x+m+2}+S_{x+m+k+1}}{D_{x}}\mbox{。}\nonumber
\end{align}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(n\cdot\Lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \((n-1)\cdot\Lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年末給付年金 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年末給付 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元至第 \(m+n\)年末給付年金 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =n\cdot\Lambda {}_{m+1}E_{x}+(n-1)\cdot\Lambda\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{m+k}E_{x}+\cdots+(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)末給付年金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(\Lambda +(k-2)\cdot\lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年末給付 \(\Lambda\)元至第 \(m+n\)年末給付年金 \(\Lambda\)元為止。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元，共給付 \(n\)期，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(1\)期，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m|}a_{x:1\!\rceil}\)
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(2\)期，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m|}a_{x:2\!\rceil}\)
- 依此類推，最後，延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(k-1\)期，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m|}a_{x:k-1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}a_{x:t\!\rceil}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\left [(n-k+1)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}
+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}a_{x:t\!\rceil}\right ]\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq135}\tag{13}
\end{align}
年初給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，年金給付方式為保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(n\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(n-1\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年初給付年金 \(n-k+1\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年初給付 \(n-k+1\)元至第 \(m+n\)年初給付年金 \(n-k+1\)元為止，而其現值以符號 \({}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil} & =n\cdot {}_{m}E_{x}+(n-1)\cdot {}_{m+1}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{m+k-1}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot {}_{m+n-1}E_{x}\\
& =\sum_{t=0}^{k-1}(n-t)\cdot {}_{m+t}E_{x}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k}^{n-1}{}_{m+t}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [\sum_{t=0}^{k-1}(n-t)\cdot D_{x+m+t}+(n-k+1)\cdot\sum_{t=k}^{n-1}D_{x+m+t}\right ]\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)之計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil} & =(n-k+1)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x+m}-N_{x+m+n}}{D_{x}}+\sum_{t=1}^{k-1}\frac{N_{x+m}-N_{x+m+t}}{D_{x}}\\
& =(n-k+1)\cdot\frac{N_{x+m}-N_{x+m+n}}{D_{x}}+\frac{(k-1)\cdot N_{x+m}-S_{x+m+1}+S_{x+m+k}}{D_{x}}\\
& =\frac{n\cdot N_{x+m}-(n-k+1)\cdot N_{x+m+n}-S_{x+m+1}+S_{x+m+k}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(n\cdot\Lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \((n-1)\cdot\Lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年初給付年金 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年初給付 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元至第 \(m+n\)年初給付年金 \((n-k+1)\cdot\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =n\cdot\Lambda {}_{m}E_{x}+(n-1)\cdot\Lambda\cdot {}_{m+1}E_{x}+\cdots +(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{m+k-1}E_{x}+\cdots+(n-k+1)\cdot\Lambda\cdot {}_{m+n-1}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)末給付年金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(\Lambda +(k-2)\cdot\lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年初給付 \(\Lambda\)元至第$m+n$年初給付年金 \(\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\left [(n-k+1)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m|}\ddot{a}_{x:t\!\rceil}\right ]\\
& =(\Lambda -\lambda\cdot (n-k+1))\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\lambda\cdot {}_{m|}(D_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
