Federico del Campo (1837-1923) was a Peruvian painter
本頁有以下小節
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
定期遞增型之終身生存年金現值.
\ref{a} 考慮遞增 \(k\)年之終身生存年金，其給付方式可分為年末給付與年初給付。
年末給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於保單契約生效後第 \(1\)年末給付 \(1\)元，第 \(2\)年末給付 \(2\)元，如此類推，至第 \(k\)年末給付 \(k\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年末給付 \(k\)元至身故為止，其現值以符號 \((I_{k\!\rceil}a)_{x}\)表示且計算式為
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}a)_{x} & ={}_{1}E_{x}+2\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{k}E_{x}
+k\cdot {}_{k+1}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{k}t\cdot {}_{t}E_{x}+k\cdot\sum_{t=k+1}^{\omega -x}{}_{t}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{k}t\cdot D_{x+t}+\frac{k}{D_{x}}\cdot\sum_{t=k+1}^{\omega -x}D_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \((I_{k\!\rceil}a)_{x}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{0|}a_{x}=a_{x}\)
- 延期 \(1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{1|}a_{x}\)
- 延期 \(2\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{2|}a_{x}\)
- 依此類推，延期 \(t\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{t|}a_{x}\)
- 最後，延期 \(k-1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{k-1|}a_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label {eq107}}\tag{13}
(I_{k\!\rceil}a)_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}a_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}
\frac{N_{x+t}}{D_{x}}=\frac{S_{x}-S_{x+k}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推，至第 \(k\)年末給付 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年末給付 \(k\cdot\Lambda\)元至身故為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{1}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots
+k\cdot\Lambda\cdot {}_{k}E_{x}+k\cdot\Lambda\cdot {}_{k+1}E_{x}+\cdots+k\cdot\Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}a)_{x}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年末給付年金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(k\)年末給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年末給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元至身故為止。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{0|}a_{x}=\Lambda\cdot a_{x}\)
- 延期 \(1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{1|}a_{x}\)
- 延期 \(2\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{2|}a_{x}\)
- 依此類推，延期 \(t\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{t|}a_{x}\)
- 最後，延期 \(k-1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{k-1|}a_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{0|}a_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{t|}a_{x}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}a_{x}
+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}a_{x}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}a)_{x}\mbox{。}\label{eq116}\tag{14}
\end{align}
年初給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於保單契約生效後第 \(1\)年初給付 \(1\)元，第 \(2\)年初給付 \(2\)元，如此類推，至第 \(k\)年初給付 \(k\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年初給付 \(k\)元至身故，其現值以符號 \((I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\)表示且計算式為
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x} & ={}_{0}E_{x}+2\cdot {}_{1}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{k-1}E_{x}
+k\cdot {}_{k}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{k}t\cdot {}_{t-1}E_{x}+k\cdot\sum_{t=k+1}^{\omega -x+1}{}_{t-1}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{k}t\cdot D_{x+t-1}+\frac{k}{D_{x}}\cdot\sum_{t=k+1}^{\omega -x+1}D_{x+t-1}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \((I\ddot{a})_{x}\)之計算式為
\[(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}
\frac{N_{x+t+1}}{D_{x}}=\frac{S_{x+1}-S_{x+k+1}}{D_{x}}\mbox{。}\]
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推，至第 \(k\)年初給付 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年初給付 \(k\cdot\Lambda\)元至身故，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{0}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{1}E_{x}+\cdots
+k\cdot\Lambda\cdot {}_{k-1}E_{x}+k\cdot\Lambda\cdot {}_{k}E_{x}+\cdots+k\cdot\Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年初給付年金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(k\)年初給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年初給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元至身故，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{0|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\mbox{。}
\end{align*}
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
定期遞增型之定期終身生存年金現值.
考慮遞增 \(k\)年之 \(n\)年定期終身生存年金，其中 \(k<n\)，其給付方式可分為年末給付與年初給付。
年末給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於保單契約生效後第 \(1\)年末給付 \(1\)元，第 \(2\)年末給付 \(2\)元，如此類推，至第 \(k\)年末給付 \(k\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年末給付 \(k\)元，至第 \(n\)年末給付 \(k\)元為止，其現值以符號 \((I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil} & ={}_{1}E_{x}+2\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{k}E_{x}
+k\cdot {}_{k+1}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{n}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{k}t\cdot {}_{t}E_{x}+k\cdot\sum_{t=k+1}^{n}{}_{t}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{k}t\cdot D_{x+t}+\frac{k}{D_{x}}\cdot\sum_{t=k+1}^{n}D_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \((I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n\)年，其現值為 \({}_{0|}a_{x:n\!\rceil}=a_{x:n\!\rceil}\)
- 延期 \(1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n-1\)年，其現值為 \({}_{1|}a_{x:n-1\!\rceil}\)
- 依此類推，延期 \(t\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n-t\)年，其現值為 \({}_{t|}a_{x:n-t\!\rceil}\)
- 最後，延期 \(k-1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n-k+1\)年，其現值為 \({}_{k-1|}a_{x:n-k+1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label {eq108}}\tag{15}
(I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}a_{x:n-t\!\rceil}
=\sum_{t=0}^{k-1}\frac{N_{x+t+1}-N_{x+n+1}}{D_{x}}
=\frac{S_{x+1}-S_{x+k+1}-k\cdot N_{x+n+1}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推，至第 \(k\)年末給付 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年末給付 \(k\cdot\Lambda\)元，至第 \(n\)年末給付 \(k\cdot\Lambda\)元為止，則
\begin{eqnarray*}
\mbox{年金現值} & = & \Lambda\cdot {}_{1}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots
+k\cdot\Lambda\cdot {}_{k}E_{x}+k\cdot\Lambda\cdot {}_{k+1}E_{x}+\cdots+k\cdot\Lambda\cdot {}_{n}E_{x}\\
& = & \Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{eqnarray*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年末給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年末給付年金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(k\)年末給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年末給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，至第 \(n\)年末給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元為止。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元，共給付 \(n\)年，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{0|}a_{x:n\!\rceil}=\Lambda\cdot a_{x:n\!\rceil}\)
- 延期 \(1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(n-1\)年，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{1|}a_{x:n-1\!\rceil}\)
- 依此類推，延期 \(t\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(n-t\)年，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{t|}a_{x:n-t\!\rceil}\)
- 最後，延期 \(k-1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(n-k+1\)年，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{k-1|}a_{x:n-k+1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{t|}a_{x:n-t\!\rceil}
=(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}a_{x:n-t\!\rceil}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq117}\tag{16}
\end{align}
年初給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於保單契約生效後第 \(1\)年初給付 \(1\)元，第 \(2\)年初給付 \(2\)元，如此類推，至第 \(k\)年初給付 \(k\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年初給付 \(k\)元，至第 \(n\)年初給付 \(k\)元為止，其現值以符號 \((I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil} & ={}_{0}E_{x}+2\cdot {}_{1}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{k-1}E_{x}
+k\cdot {}_{k}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{n-1}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{k}t\cdot {}_{t-1}E_{x}+k\cdot\sum_{t=k+1}^{n}{}_{t-1}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{k}t\cdot D_{x+t-1}+\frac{k}{D_{x}}\cdot\sum_{t=k+1}^{n}D_{x+t-1}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \((I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)之計算式為
\[(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x:n-t\!\rceil}
=\sum_{t=0}^{k-1}\frac{N_{x+t}-N_{x+n}}{D_{x}}=\frac{S_{x}-S_{x+k}-k\cdot N_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}\]
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推，至第 \(k\)年初給付 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第$k+1$年起改為每年初給付 \(k\cdot\Lambda\)元，至第 \(n\)年初給付 \(k\cdot\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{0}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{1}E_{x}+\cdots
+k\cdot\Lambda\cdot {}_{k-1}E_{x}+k\cdot\Lambda\cdot {}_{k}E_{x}+\cdots+k\cdot\Lambda\cdot {}_{n-1}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(2\)年初給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，第 \(3\)年初給付年金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，至第 \(k\)年初給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為每年初給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，至第 \(n\)年初給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot \ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x:n-t\!\rceil}=(\Lambda -\lambda)\cdot \ddot{a}_{x:n\!\rceil}+
\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}\ddot{a}_{x:n-t\!\rceil}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot \ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}
定期遞增型之延期終身生存年金現值.
考慮遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年終身生存年金，可分為年末給付與年初給付。
年末給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(1\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(2\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年末給付 \(k\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年末給付 \(k\)元至身故為止，而其現值以符號 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x}\)表示且計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x} &={}_{m+1}E_{x}+2\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{m+k}E_{x}
+k\cdot {}_{m+k+1}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{k}t\cdot {}_{m+t}E_{x}+k\cdot\sum_{t=k+1}^{\omega -x-m}{}_{m+t}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{k}t\cdot D_{m+x+t}+\frac{k}{D_{x}}\cdot\sum_{t=k+1}^{\omega -x-m}D_{m+x+t}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{m|}a_{x}\)
- 延期 \(m+1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{m+1|}a_{x}\)
- 延期 \(m+2\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{m+2|}a_{x}\)
- 依此類推，延期 \(m+t\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{m+t|}a_{x}\)
- 最後，延期 \(m+k-1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元至身故為止，其現值為 \({}_{m+k-1|}a_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label {eq109}}\tag{17}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}a_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}
\frac{N_{x+m+t+1}}{D_{x}}=\frac{S_{x+m+1}-S_{x+m+k+1}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年末給付 \(k\cdot \Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年末給付 \(k\cdot\Lambda\)元至身故為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m+1}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots
+k\cdot\Lambda\cdot {}_{m+k}E_{x}+k\cdot\Lambda\cdot {}_{m+k+1}E_{x}+\cdots+k\cdot\Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年末給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年末給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元至身故為止。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x}\)
- 延期 \(m+1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+1|}a_{x}\)
- 延期 \(m+2\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+2|}a_{x}\)
- 依此類推，延期 \(m+t\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+t|}a_{x}\)
- 最後，延期 \(m+k-1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元至身故為止，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+k-1|}a_{x}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x}
+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m+t|}a_{x}=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x}
+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}a_{x}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x}\mbox{。}\label{eq118}\tag{18}
\end{align}
年初給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，則保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年初(即第 \(m\)年末)給付年金 \(1\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(2\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年初給付 \(k\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年初給付 \(k\)元至身故為止，而其現值以符號 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\)表示且計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x} &={}_{m}E_{x}+2\cdot {}_{m+1}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{m+k-1}E_{x}
+k\cdot {}_{m+k}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{k}t\cdot {}_{m+t-1}E_{x}+k\cdot\sum_{t=k+1}^{\omega -x-m+1}{}_{m+t-1}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{k}t\cdot D_{m+x+t-1}+\frac{k}{D_{x}}\cdot\sum_{t=k+1}^{\omega -x-m+1}D_{m+x+t-1}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\)之計算式為
\[{}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}\ddot{a}_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}
\frac{N_{x+m+t}}{D_{x}}=\frac{S_{x+m}-S_{x+m+k}}{D_{x}}\mbox{。}\]
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年初給付 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年初給付 \(k\cdot\Lambda\)元至身故為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{m+1}E_{x}+\cdots
+k\cdot\Lambda\cdot {}_{m+k-1}E_{x}+k\cdot\Lambda\cdot {}_{m+k}E_{x}+\cdots+k\cdot\Lambda\cdot {}_{\omega -x}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年初給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年初給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元至身故為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m+t|}\ddot{a}_{x}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}\ddot{a}_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x}\mbox{。}
\end{align*}
\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}
定期遞增型之延期定期生存年金現值.
考慮遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生存年金，其中 \(k<n\)，可分為年末給付與年初給付。
年末給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(1\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(2\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年末給付 \(k\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年末給付 \(k\)元，至第 \(m+n\)年末給付 \(k\)元為止，而其現值以符號 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}& ={}_{m+1}E_{x}+2\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{m+k}E_{x}
+k\cdot {}_{m+k+1}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{k}t\cdot {}_{m+t}E_{x}+k\cdot\sum_{t=k+1}^{n}{}_{m+t}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{k}t\cdot D_{m+x+t}+\frac{k}{D_{x}}\cdot\sum_{t=k+1}^{n}D_{m+x+t}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\)之計算式。考慮下面之情形:
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n\)年，其現值為 \({}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)
- 延期 \(m+1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(n-1\)年，其現值為 \({}_{m+1|}a_{x:n-1\!\rceil}\)
- 依此類推，最後，延期 \(m+k-1\)年後，每年末給付生存年金 \(1\)元，共給付 \(1\)年，其現值為 \({}_{m+k-1|}a_{x:n-k+1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}& =\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}a_{x:n-t\!\rceil}
=\sum_{t=0}^{k-1}\frac{N_{m+x+t+1}-N_{m+x+n+1}}{D_{x}}\nonumber\\
& =\frac{S_{m+x+1}-S_{m+x+k+1}-k\cdot N_{m+x+n+1}}{D_{x}}\mbox{。}\label{eq110}\tag{19}
\end{align}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年末給付 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年末給付 \(k\cdot\Lambda\)元，至第 \(m+n\)年末給付 \(k\cdot\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
& \mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m+1}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{m+2}E_{x}+\cdots
+k\cdot\Lambda\cdot {}_{m+k}E_{x}+k\cdot\Lambda\cdot {}_{m+k+1}E_{x}+\cdots+k\cdot\Lambda\cdot {}_{m+n}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年末給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年末給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年末給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年末給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，至第 \(m+n\)年末給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元為止。在這些條件下，可考慮下面之情形:
- 延期 \(m\)年後，每年末給付生存年金 \(\Lambda\)元，共給付 \(n\)年，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)
- 延期 \(m+1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(n-1\)年，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+1|}a_{x:n-1\!\rceil}\)
- 依此類推，最後，延期 \(m+k-1\)年後，每年末給付生存年金 \(\lambda\)元，共給付 \(1\)年，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+k-1|}a_{x:n-k+1\!\rceil}\)。
將上述之所有情形加總後即為年金現值，其計算公式為
\begin{align}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m+t|}a_{x:n-t\!\rceil}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}a_{x:n-t\!\rceil}\nonumber\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}a)_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq119}\tag{20}
\end{align}
年初給付.
假設現年 \(x\)歲之投保人於 \(m\)年後仍然生存者，保險公司需於保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(1\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(2\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年初給付 \(k\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年初給付 \(k\)元，至第 \(m+n\)年初給付 \(k\)元為止，而其現值以符號 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)表示且計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}& ={}_{m}E_{x}+2\cdot {}_{m+1}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{m+k-1}E_{x}
+k\cdot {}_{m+k}E_{x}+\cdots +k\cdot {}_{m+n-1}E_{x}\\
& =\sum_{t=1}^{k}t\cdot {}_{m+t-1}E_{x}+k\cdot\sum_{t=k+1}^{n}{}_{m+t-1}E_{x}\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{t=1}^{k}t\cdot D_{m+x+t-1}+\frac{k}{D_{x}}\cdot\sum_{t=k+1}^{n}D_{m+x+t-1}\mbox{。}
\end{align*}
亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\)之計算式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}& =\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}\ddot{a}_{x:n-t\!\rceil}
=\sum_{t=0}^{k-1}\frac{N_{m+x+t}-N_{m+x+n}}{D_{x}}\\
& =\frac{S_{m+x}-S_{m+x+k}-k\cdot N_{m+x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(2\Lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年初給付 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年初給付 \(k\cdot\Lambda\)元，至第 \(m+n\)年初給付 \(k\cdot\Lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m}E_{x}+2\Lambda\cdot {}_{m+1}E_{x}+\cdots
+k\cdot\Lambda\cdot {}_{m+k-1}E_{x}+k\cdot\Lambda\cdot {}_{m+k}E_{x}+\cdots+k\cdot\Lambda\cdot {}_{m+n-1}E_{x}\\
& =\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
(ii) 第二種情形，假設年金給付情形為保單契約生效後第 \(m+1\)年初給付年金 \(\Lambda\)元，第 \(m+2\)年初給付年金 \(\Lambda +\lambda\)元，如此類推，至第 \(m+k\)年初給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為每年初給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，至第 \(m+n\)年初給付 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元為止，則
\begin{align*}
\mbox{年金現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m+t|}\ddot{a}_{x:n-t\!\rceil}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+
\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}\ddot{a}_{x:n-t\!\rceil}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\ddot{a})_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*}
