定期遞增型人壽保險金

Jan van der Heyden (1637-1712) was a Dutch Baroque-era painter.

本頁有以下小節

• 定期遞增型之終身壽險
• 定期遞增型之定期壽險
• 定期遞增型之延期終身壽險
• 定期遞增型之延期定期壽險

\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}

定期遞增型之終身壽險.

\ref{a} 遞增 \(k\)年之終身壽險可分為年末給付與即刻給付。

年末給付.

假設被保險人於 \(x\)歲時投保年末給付遞增 \(k\)年之終身壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(k\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\)元，直至終身。被保險人之總給付現值以符號 \((I_{k\!\rceil}A)_{x}\)表示，接著，將依現值收支平衡原則來推導 \((I_{k\!\rceil}A)_{x}\)之計算公式。

假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \((I_{k\!\rceil}A)_{x}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x}\)，而總保險金支出現值為
\[v\cdot d_{x}+2\cdot v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots +k\cdot v^{k}\cdot d_{x+k-1}
+k\cdot v^{k+1}\cdot d_{x+k}+\cdots ++k\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\begin{align*}
l_{x}\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x} & =v\cdot d_{x}+2\cdot v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots+k\cdot v^{k}\cdot d_{x+k-1}\\
& \quad +k\cdot v^{k+1}\cdot d_{x+k}+\cdots ++k\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}
\end{align*}
因此可解得
\[(I_{k\!\rceil}A)_{x}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\left [\sum_{t=0}^{k-1}(t+1)\cdot v^{t+1}\cdot d_{x+t}+k\cdot\sum_{t=k}^{\omega -x-1}
v^{t+1}\cdot d_{x+t}\right ]\mbox{。}\]
由基本型生存年金頁之(4)式知，因為 \({}_{t|}q_{x}=d_{x+t}/l_{x}\)，可得另一計算式為
\[(I_{k\!\rceil}A)_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}(t+1)\cdot v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}
+k\cdot\sum_{t=k}^{\omega -x-1}v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}\mbox{。}\]

亦可由另一觀點來推出 \((I_{k\!\rceil}A)_{x}\)之計算式，考慮下面之情形:

• 投保終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \(A_{x}={}_{0|}A_{x}\)
• 投保延期 \(1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{1|}A_{x}\)
• 投保延期 \(2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{2|}A_{x}\)
• 依此類推，投保延期 \(t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{t|}A_{x}\)
• 最後，投保延期 \(k-1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{k-1|}A_{x}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label{eq158}}\tag{15}
(I_{k\!\rceil}A)_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}A_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}\frac{M_{x+t}}{D_{x}}=\frac{R_{x}-R_{x+k}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第 \(k\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至終身，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x}\)。

(ii) 第二種情形，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(3\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\lambda\)元保險金至第 \(k\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，直至終身。在這些條件下，可考慮下面之情形:

• 投保終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot A_{x}=\Lambda\cdot {}_{0|}A_{x}\)
• 投保延期 \(1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{1|}A_{x}\)
• 投保延期 \(2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{2|}A_{x}\)
• 依此類推，投保延期 \(t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{t|}A_{x}\)
• 最後，投保延期 \(k-1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{k-1|}A_{x}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{0|}A_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{t|}A_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}A_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}A_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}A_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付.

假設被保險人於 \(x\)歲時投保即刻給付遞增 \(k\)年之終身壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第$k$年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\)元，直至終身。被保險人之總給付現值以符號 \((I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)表示，接著，推導 \((I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)之計算公式。為方便討論，假設被保險人於 \(x\)歲時之當年初投保終身壽險。若將每一年分成 \(r\)期，則被保險人自 \(x\)歲起至身故，共可分成 \(r\cdot (\omega -x)\)期。被保險人之總給付現值以符號 \((I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)}\)表示，將依現值收支平衡原則來推導 \((I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \((I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。而總保險金支出現值可分為下列情形:

• 被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(1\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
  \[v^{\frac{1}{r}}\cdot d_{x}+v^{\frac{2}{r}}\cdot d_{x+\frac{1}{r}}+\cdots+v\cdot d_{x+\frac{r-1}{r}}
  =\sum_{t=0}^{r-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
• 被保險人若於契約生效後第 \(2\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(2\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
  \[2\cdot\left (v^{1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+1}+v^{1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+1+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{2}\cdot d_{x+1+\frac{r-1}{r}}\right )=\sum_{t=r}^{2r-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
• 被保險人若於契約生效後第 \(3\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(3\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
  \[3\cdot\left (v^{2+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+2}+v^{2+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+2+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{3}\cdot d_{x+2+\frac{r-1}{r}}\right )=\sum_{t=2r}^{3r-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
• 被保險人若於契約生效後第 \(k\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(k\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
  \[k\cdot\left (v^{k-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+k-1}+v^{k-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+k-1+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{k}\cdot d_{x+k-1+\frac{r-1}{r}}\right )=k\cdot\sum_{t=r\cdot (k-1)}^{r\cdot k-1}v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
• 被保險人若於契約生效後第$t$年內中之任何一期身故，其中 \(t\geq k+1\)，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(k\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
  \[k\cdot\left (v^{t-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+t-1}+v^{t-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+t-1+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{t}\cdot d_{x+t-1+\frac{r-1}{r}}\right )=k\cdot\sum_{t=r\cdot (t-1)}^{r\cdot t-1}v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
• 最後，被保險人若於契約生效後第 \(\omega -x\)年內中之任何一期身故，則保險公司需於當期末給付身故保險金 \(k\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
  \[k\cdot\left (v^{\omega -x-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{\omega -1}+v^{\omega -x-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{\omega -1+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1+\frac{r-1}{r}}\right )=k\cdot\sum_{t=r\cdot (\omega -x-1)}^{r\cdot (\omega -x)-1}
  v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]

因此，總保險金支出現值為上述之和
\[\sum_{t=0}^{r\cdot k-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}+
k\cdot\sum_{t=r\cdot k}^{r(\omega -x)-1}v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)}=\sum_{t=0}^{r\cdot k-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]
\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}+k\cdot\sum_{t=r\cdot k}^{r(\omega -x)-1}v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align}
(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\left (\sum_{t=0}^{r\cdot k-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]
\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}+k\cdot\sum_{t=r\cdot k}^{r(\omega -x)-1}v^{\frac{t+1}{r}}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\right )\nonumber\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r\cdot k-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot
\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )-\frac{k}{l_{x}}\cdot\sum_{t=r\cdot k}^{r(\omega -x)-1}v^{\frac{t+1}{r}}
\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )\mbox{。}\label{eq151}\tag{16}
\end{align}
當 \(r\)趨近於無窮大時，則現值 \((I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)}\)之極限值就趨近即刻給付的現值 \((I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)，所以可得
\begin{equation}{\label{*eq90}}\tag{17}
(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=\lim_{r\rightarrow\infty}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)}\mbox{。}
\end{equation}
令 \(N_{1}=r\cdot k\)。因此，可考慮將區間 \([0,k]\)分成 \(N_{1}\)等份，此時可將下式視為黎曼-史提捷斯和:
\[\sum_{t=0}^{r\cdot k-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot
v^{\frac{t+1}{r}}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )=
\sum_{s=0}^{N_{1}-1}\left [\!\!\left [1+\frac{s}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot
v^{\frac{s+1}{r}}\cdot\left (l_{x+\frac{s+1}{r}}-l_{x+\frac{s}{r}}\right )\mbox{。}\]
令 \(N_{2}=r\cdot (\omega -x-k)\)。因此，可考慮將區間 \([k,\omega -x]\)分成 \(N_{2}\)等份，此時可將下式視為黎曼-史提捷斯和:
\begin{align*}
\sum_{t=r\cdot k}^{r(\omega -x)-1}v^{\frac{t+1}{r}}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )
& =\sum_{t=0}^{r(\omega -x-k)-1}v^{k+\frac{t+1}{r}}\cdot\left (l_{x+k+\frac{t+1}{r}}-l_{x+k+\frac{t}{r}}\right )\\
& =\sum_{s=0}^{N_{2}-1}v^{k+\frac{s+1}{r}}\cdot\left (l_{x+k+\frac{s+1}{r}}-l_{x+k+\frac{s}{r}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
當 \(r\)趨近於無窮大時，則 \(N_{1}\)及 \(N_{2}\)亦趨近於無窮大，因此可得黎曼-史提捷斯積分為
\begin{align*}
& \lim_{r\rightarrow\infty}\sum_{t=0}^{r\cdot k-1}\left [\!\!\left [1+\frac{t}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{t+1}{r}}\cdot
\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )\\
& \quad =\lim_{N_{1}\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N_{1}-1}\left [\!\!\left [1+\frac{s}{r}\right ]\!\!\right ]\cdot v^{\frac{s+1}{r}}\cdot\left (l_{x+\frac{s+1}{r}}-l_{x+\frac{s}{r}}\right )=\int_{0}^{k}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{t}dl_{x+t}
\end{align*}
及
\begin{align*}
& \lim_{r\rightarrow\infty}\sum_{t=r\cdot k}^{r\cdot k-1}v^{\frac{t+1}{r}}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )\\
& \quad =\lim_{N_{2}\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N_{2}-1}v^{k+\frac{s+1}{r}}\cdot
\left (l_{x+k+\frac{s+1}{r}}-l_{x+k+\frac{s}{r}}\right )=\int_{k}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
由(\ref{*eq90})及(\ref{eq151})式可得
\begin{equation}{\label{*eq91}}\tag{18}
(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{0}^{k}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{t}dl_{x+t}-\frac{k}{l_{x}}\cdot
\int_{k}^{\omega -x}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因為
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{，}\]
由(\ref{*eq91})式可推出 \((I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)之計算式為
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{0}^{k}
\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt
+\frac{k}{l_{x}}\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\int_{0}^{k}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}
\cdot\mu_{t+x}dt+k\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\left (\sum_{h=0}^{k-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )
+k\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
由利息與確定年金頁之(4)式可知
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{，}\]
因此 \(v^{t}=e^{-\delta t}\)，如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \((I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)亦可寫成
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x} & =\int_{0}^{k}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
+k\cdot\int_{k}^{\omega -x}e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\left (\sum_{h=0}^{k-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )
+k\cdot\int_{k}^{\omega -x}e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
另外，亦可得
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x} & =\frac{1}{v^{x}\cdot l_{x}}\cdot\int_{0}^{k}
\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\frac{k}{v^{x}\cdot l_{x}}\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\frac{1}{v^{x}\cdot l_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{k-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}
v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt+\frac{k}{v^{x}\cdot l_{x}}\cdot
\int_{k}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
也可寫成
\begin{align}
(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x} & =\frac{1}{D_{x}}\cdot\int_{0}^{k}
\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt
+\frac{k}{D_{x}}\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\nonumber\\
& =\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{k-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}
v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt+\frac{k}{D_{x}}\cdot\int_{k}^{\omega -x}
v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\label{*eq93}\tag{19}
\end{align}
由基本型人壽保險金頁之(23)式可知
\[\bar{M}_{x+h}=\int_{0}^{\omega -x-h}v^{x+h+t}\cdot l_{x+h+t}\cdot\mu_{x+h+t}dt
=\int_{h}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{，}\]
因此可得
\begin{align*}
\sum_{h=0}^{k-1}\bar{M}_{x+h} & =\int_{0}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt
+\int_{1}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& \quad +\int_{2}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt+\cdots
+\int_{k-1}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\int_{0}^{1}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt+2\cdot\int_{1}^{2}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& \quad +3\cdot\int_{2}^{3}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt+\cdots +k\cdot\int_{k-1}^{k}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& \quad +k\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\left (\sum_{h=0}^{k-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{x+t}\cdot l_{t+x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )
+k\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{。}
\end{align*}
最後，由(\ref{*eq93})式可知
\[(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=\frac{1}{D_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{k-1}\bar{M}_{x+h}
=\frac{\bar{R}_{x}-\bar{R}_{x+k}}{D_{x}}\mbox{。}\]

亦可由另一觀點來推出 \((I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)之計算式，考慮下面之情形:

• 投保終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \(\bar{A}_{x}={}_{0|}\bar{A}_{x}\)
• 投保延期 \(1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{1|}\bar{A}_{x}\)
• 投保延期 \(2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{2|}\bar{A}_{x}\)
• 依此類推，投保延期 \(t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{t|}\bar{A}_{x}\)
• 最後，投保延期 \(k-1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{k-1|}\bar{A}_{x}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\[(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}\bar{A}_{x}\mbox{。}\]
依據基本型人壽保險金頁之(24)式，則可得
\[(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}\frac{\bar{M}_{x+t}}{D_{x}}
=\frac{\bar{R}_{x}-\bar{R}_{x+k}}{D_{x}}\mbox{。}\]

考慮兩種較為一般的情形。第一種情形，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金   \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第 \(k\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至終身，則上述之推導過程皆 \(\Lambda\)倍即可，因此被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)。

第二種情形，身故保險金給付情形為保單契約生效後若第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(3\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\lambda\)元保險金至第 \(k\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，直至終身，其被保險人之總給付現值以符號 \((GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)表示。為方便討論，假設被保險人於 \(x\)歲時之當年初投保終身壽險。將每一年分成 \(r\)期，所以被保險人自 \(x\)歲起至身故，共可分成 \(r\cdot (\omega -x)\)期。被保險人之總給付現值以符號 \((GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)}\)表示。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \((GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。而總保險金支出現值可分為下列情形:

• 被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)中之任何一期身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
  \[\Lambda\cdot\left (v^{\frac{1}{r}}\cdot d_{x}+v^{\frac{2}{r}}\cdot d_{x+\frac{1}{r}}+\cdots +v\cdot d_{x+\frac{r-1}{r}}\right )\mbox{。}\]
  令
  \[\Gamma_{r}^{(1)}=v^{\frac{1}{r}}\cdot d_{x}+v^{\frac{2}{r}}\cdot d_{x+\frac{1}{r}}+\cdots +v\cdot d_{x+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
  若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，因為 \(d_{x+\frac{t}{r}}=l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\)，依據之前推導過程，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
  \begin{align*}
  \lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(1)} & =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{\frac{1}{r}}\cdot d_{x}+v^{\frac{2}{r}}
  \cdot d_{x+\frac{1}{r}}+\cdots +v\cdot d_{x+\frac{r-1}{r}}\right )\\
  & =-\int_{0}^{1}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
  \end{align*}
• 被保險人若於契約生效後第 \(2\)年內中之任何一期身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
  \[(\Lambda +\lambda)\cdot\left (v^{1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+1}+v^{1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+1+\frac{1}{r}}+\cdots
  +v^{2}\cdot d_{x+1+\frac{r-1}{r}}\right )\]
  令
  \[\Gamma_{r}^{(2)}=v^{1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+1}+v^{1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+1+\frac{1}{r}}+\cdots
  +v^{2}\cdot d_{x+1+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
  若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
  \begin{align*}
  \lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(2)} & =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+1}
  +v^{1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+1+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{2}\cdot d_{x+1+\frac{r-1}{r}}\right )\\
  & =-\int_{1}^{2}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
  \end{align*}
• 被保險人若於契約生效後第 \(3\)年內中之任何一期身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
  \[(\Lambda +2\lambda)\cdot\left (v^{2+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+2}+v^{2+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+2+\frac{1}{r}}+\cdots
  +v^{3}\cdot d_{x+2+\frac{r-1}{r}}\right )\]
  令
  \[\Gamma_{r}^{(3)}=v^{2+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+2}+v^{2+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+2+\frac{1}{r}}+\cdots
  +v^{3}\cdot d_{x+2+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
  若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
  \begin{align*}
  \lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(3)} & =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{2+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+2}+
  v^{2+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+2+\frac{1}{r}}+\cdots+v^{3}\cdot d_{x+2+\frac{r-1}{r}}\right )\\
  & =-\int_{2}^{3}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
  \end{align*}
• 被保險人若於契約生效後第 \(k\)年內中之任何一期身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
  \[(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda)\cdot\left (v^{k-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+k-1}
  +v^{k-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+k-1+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{k}\cdot d_{x+k-1+\frac{r-1}{r}}\right )\]
  令
  \[\Gamma_{r}^{(k)}=v^{k-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+k-1}+v^{k-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+k-1+\frac{1}{r}}+\cdots +
  v^{k}\cdot d_{x+k-1+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
  若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
  \begin{align*}
  \lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(k)} & =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{k-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+k-1}
  +v^{k-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+k-1+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{k}\cdot d_{x+k-1+\frac{r-1}{r}}\right )\\
  & =-\int_{k-1}^{k}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
  \end{align*}
• 被保險人若於契約生效後第 \(h+1\)年內中之任何一期身故，其中 \(h\geq k\)則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
  \[(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda)\cdot\left (v^{h+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+h}
  +v^{h+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+h+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{h+1}\cdot d_{x+h+\frac{r-1}{r}}\right )\]
  令
  \[\Gamma_{r}^{(h+1)}=v^{h+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+h}+v^{h+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+h+\frac{1}{r}}+\cdots +
  v^{h+1}\cdot d_{x+h+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
  若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
  \begin{align*}
  \lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(h+1)} & =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{h+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+h}
  +v^{h+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+h+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{h+1}\cdot d_{x+h+\frac{r-1}{r}}\right )\\
  & =-\int_{h}^{h+1}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
  \end{align*}
• 最後，被保險人若於契約生效後第 \(\omega -x\)年內中之任何一期身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元。因這一年內總共有 \(r\)期，所以其現值為
  \[\left (\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\right )\cdot\left (v^{\omega -x-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{\omega -1}
  +v^{\omega -x-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{\omega -1+\frac{1}{r}}+\cdots
  +v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1+\frac{r-1}{r}}\right )\]
  令
  \[\Gamma_{r}^{(\omega -x)}=v^{\omega -x-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{\omega -1}
  +v^{\omega -x-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{\omega -1+\frac{1}{r}}+\cdots
  +v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1+\frac{r-1}{r}}\mbox{。}\]
  若考慮上式成黎曼-史提捷斯和，當 \(r\)趨近於無窮大時，則可得黎曼-史提捷斯積分
  \begin{align*}
  \lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(\omega -x)}
  & =\lim_{r\rightarrow\infty}\left (v^{\omega -x-1+\frac{1}{r}}\cdot d_{\omega -1}
  +v^{\omega -x-1+\frac{2}{r}}\cdot d_{\omega -1+\frac{1}{r}}+\cdots
  +v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1+\frac{r-1}{r}}\right )\\
  & =-\int_{\omega -x-1}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
  \end{align*}

因此，總保險金支出現值為上述之和，即
\[\sum_{h=0}^{k-1}(\Lambda +h\cdot\lambda )\cdot\Gamma_{r}^{(h+1)}
+(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda )\cdot\sum_{h=k}^{\omega -x-1}\Gamma_{r}^{(h+1)}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot (GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)}=\sum_{h=0}^{k-1}(\Lambda +h\cdot\lambda )\cdot\Gamma_{r}^{(h+1)}
+(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda )\cdot\sum_{h=k}^{\omega -x-1}\Gamma_{r}^{(h+1)}\mbox{。}\]
因此可解得
\[(GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\left (
\sum_{h=0}^{k-1}(\Lambda +h\cdot\lambda )\cdot\Gamma_{r}^{(h+1)}
+(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda )\cdot\sum_{h=k}^{\omega -x-1}\Gamma_{r}^{(h+1)}
\right )\mbox{。}\]
當 \(r\)趨近於無窮大時，則現值 \((GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)}\)之極限值就趨近即刻給付的現值 \((GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)，所以可得
\begin{align}
& (GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=\lim_{r\rightarrow\infty}(GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}^{(r)}\nonumber\\
& \quad =\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{k-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(h+1)}\right )
+\frac{\Lambda +(k-1)\cdot\lambda}{l_{x}}\cdot\sum_{h=k}^{\omega -x-1}
\left (\lim_{r\rightarrow\infty}\Gamma_{r}^{(h+1)}\right )\nonumber\\
& \quad =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{k-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}dl_{x+t}\right )
-\frac{\Lambda +(k-1)\cdot\lambda}{l_{x}}\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}\label{*eq94}\tag{20}
\end{align}
因為
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{，}\]
由(\ref{*eq94})式可推出 \((GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)之計算式為
\begin{align*}
(GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{h=0}^{k-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\right )+\frac{\Lambda +(k-1)\cdot\lambda}{l_{x}}
\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\sum_{h=0}^{k-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )
+(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda )\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{。}
\end{align*}
由利息與確定年金頁之(4)式可知
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{。}\]
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \((GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)亦可寫成
\[(GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=\sum_{h=0}^{k-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )+(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda )\cdot
\int_{k}^{\omega -x}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{。}\]
另外，亦可寫成
\begin{align*}
(GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x} & =\sum_{h=0}^{k-1}[(\Lambda -\lambda)+\lambda\cdot (h+1)]
\cdot\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& \quad +(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda )\cdot\int_{k}^{\omega -x}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =(\Lambda -\lambda )\cdot\left [\sum_{h=0}^{k-1}\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )
+\int_{k}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right ]\\
& \quad +\lambda\cdot\left [\sum_{h=0}^{k-1}(h+1)\cdot\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )
+k\cdot\int_{k}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right ]\\
& =(\Lambda -\lambda )\cdot\int_{0}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda )\cdot\bar{A}_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=(\Lambda -\lambda )\cdot\frac{\bar{M}_{x}}{D_{x}}+\lambda\cdot\frac{\bar{R}_{x}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

亦可由另一觀點來推出 \((GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)之計算式，考慮下面之情形:

• 投保終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot A_{x}=\Lambda\cdot {}_{0|}A_{x}\)
• 投保延期 \(1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{1|}A_{x}\)
• 投保延期 \(2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{2|}A_{x}\)
• 依此類推，投保延期 \(t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{t|}A_{x}\)
• 最後，投保延期 \(k-1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{k-1|}A_{x}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
(GI_{k\!\rceil}\bar{A})_{x} & =\Lambda\cdot {}_{0|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{\omega -x-1}{}_{t|}\bar{A}_{x}
=(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}{}_{t|}\bar{A}_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot\bar{A}_{x}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\mbox{。}
\end{align*}

\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}

定期遞增型之定期壽險.

考慮遞增 \(k\)年之 \(n\)年定期壽險，其中 \(k<n\)，可分為年末給付與即刻給付。

年末給付.

假設被保險人於 \(x\)歲時投保遞增 \(k\)年之 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(k\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付。被保險人之總給付現值以符號 \((I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示，接著，將依現值收支平衡原則來推導 \((I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \((I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)，而總保險金支出現值為
\[v\cdot d_{x}+2\cdot v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots +k\cdot v^{k}\cdot d_{x+k-1}+k\cdot v^{k+1}\cdot d_{x+k}+\cdots +
+k\cdot v^{n}\cdot d_{x+n-1}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\begin{align*}
l_{x}\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1} & =v\cdot d_{x}+2\cdot v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots +k\cdot v^{k}\cdot d_{x+k-1}\\
& \quad +k\cdot v^{k+1}\cdot d_{x+k}+\cdots +k\cdot v^{n}\cdot d_{x+n-1}\mbox{。}
\end{align*}
因此可解得
\[(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{k-1}
(t+1)\cdot v^{t+1}\cdot d_{x+t}+\frac{k}{l_{x}}\cdot\sum_{t=k}^{n-1}v^{t+1}\cdot d_{x+t}\mbox{。}\]
因為 \({}_{t|}q_{x}=d_{x+t}/l_{x}\)，由基本型生存年金頁之(4)式知，亦可得另一計算式為
\[(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}=\sum_{t=0}^{k-1}(t+1)\cdot v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}
+k\cdot\sum_{t=k}^{n-1}v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}\mbox{。}\]

亦可由另一觀點來推出 \((I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算式。考慮下面之情形:

• 投保 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \(A_{x:n\!\rceil}^{1}={}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
• 依此類推，投保延期 \(t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
• 最後，投保延期 \(k-1\)年之 \(n-k+1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{k-1|}A_{x:n-k+1\!\rceil}^{1}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label{eq164}}\tag{21}
(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}=\sum_{t=0}^{k-1}\frac{M_{x+t}-M_{x+k}}{D_{x}}
=\frac{R_{x}-R_{x+k}-k\cdot M_{x+k}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第 \(k\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)。

(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(3\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\lambda\)元保險金至第$k$年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付。在這些條件下，可考慮下面之情形:

• 投保 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}=\Lambda\cdot {}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
• 依此類推，投保延期 \(t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
• 最後，投保延期 \(k-1\)年之 \(n-k+1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{k-1|}A_{x:n-k+1\!\rceil}^{1}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{t|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付.

假設被保險人於 \(x\)歲時投保遞增 \(k\)年之 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(k\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付。被保險人之總給付現值以符號 \((I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示，接著，將推導 \((I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算公式。考慮下面之情形:

• 投保 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}={}_{0|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
• 依此類推，投保延期 \(t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
• 最後，投保延期 \(k-1\)年之 \(n-k+1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{k-1|}\bar{A}_{x:n-k+1\!\rceil}^{1}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\[(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}
=\sum_{t=0}^{k-1}\frac{\bar{M}_{x+t}-\bar{M}_{x+k}}{D_{x}}
=\frac{\bar{R}_{x}-\bar{R}_{x+k}-k\cdot\bar{M}_{x+k}}{D_{x}}\mbox{。}\]

另外，依據之前的方法，可得其積分計算公式為
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1} & =\int_{0}^{k}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}
\cdot\mu_{t+x}dt+k\cdot\int_{k}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\left (\sum_{h=0}^{k-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )
+k\cdot\int_{k}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \({}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)亦可寫成
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x} & =\int_{0}^{k}\left [\!\left [1+t\right ]\!\right ]
\cdot e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+k\cdot\int_{k}^{n}e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\left (\sum_{h=0}^{k-1}\left (h+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )
+k\cdot\int_{k}^{n}e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。
(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(k\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)。

(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(1\)年內(當年內)身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(3\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\lambda\)元保險金至第 \(k\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付。在這些條件下，可考慮下面之情形:

• 投保 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\Lambda\cdot {}_{0|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
• 依此類推，投保延期 \(t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
• 最後，投保延期 \(k-1\)年之 \(n-k+1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{k-1|}\bar{A}_{x:n-k+1\!\rceil}^{1}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{0|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{t|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{0|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{t|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot (I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}
另外，依據之前的方法，可得其積分計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\sum_{h=0}^{k-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& \quad +(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda )\cdot\int_{k}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{。}
\end{align*}
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值亦可寫成
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\sum_{h=0}^{k-1}(\Lambda +h\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& \quad +(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda )\cdot\int_{k}^{n}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{。}
\end{align*}

\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}

定期遞增型之延期終身壽險.

考慮遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年終身壽險可分為年末給付與即刻給付。

年末給付.

假設被保險人於 \(x\)歲時投保年末給付遞增 \(k\)年之終身壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\)元，直至終身。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}\)表示，接著，將依現值收支平衡原則來推導 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}\)，而總保險金支出現值為
\begin{align*}
& v^{m+1}\cdot d_{x+m}+2\cdot v^{m+2}\cdot d_{x+m+1}+\cdots+k\cdot v^{m+k}\cdot d_{x+m+k-1}\\
& \quad +k\cdot v^{m+k+1}\cdot d_{x+m+k}+\cdots ++k\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}
\end{align*}
故可得下列關係式:
\begin{align*}
l_{x}\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x} & =v^{m+1}\cdot d_{x+m}+2\cdot v^{m+2}\cdot d_{x+m+1}+\cdots
+k\cdot v^{m+k}\cdot d_{x+m+k-1}\\
& \quad +k\cdot v^{m+k+1}\cdot d_{x+m+k}+\cdots +k\cdot v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}
\end{align*}
因此可解得
\[{}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\left [\sum_{t=0}^{k-1}
(t+1)\cdot v^{m+t+1}\cdot d_{x+m+t}+k\cdot\sum_{t=k}^{\omega -x-m-1}
v^{m+t+1}\cdot d_{x+m+t}\right ]\mbox{。}\]
由基本型生存年金頁之(4)式知，因為 \({}_{t|}q_{x}=d_{x+t}/l_{x}\)，可得另一計算式為
\[{}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}(t+1)\cdot v^{m+t+1}\cdot {}_{m+t|}q_{x}
+k\cdot\sum_{t=k}^{\omega -x-m-1}v^{m+t+1}\cdot {}_{m+t|}q_{x}\mbox{。}\]

亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}\)之計算式，考慮下面之情形:

• 投保延期 \(m\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m|}A_{x}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+1|}A_{x}\)
• 投保延期 \(m+2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+2|}A_{x}\)
• 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+t|}A_{x}\)
• 最後，投保延期 \(m+k-1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+k-1|}A_{x}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{equation}{\label{eq165}}\tag{22}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}
\frac{M_{x+m+t}}{D_{x}}=\frac{R_{x+m}-R_{x+m+k}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至終身，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}\)。

(ii) 第二種情形，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(m+3\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，直至終身。在這些條件下，可考慮下面之情形:

• 投保延期 \(m\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+1|}A_{x}\)
• 投保延期 \(m+2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+2|}A_{x}\)
• 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+t|}A_{x}\)
• 最後，投保延期 \(m+k-1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+k-1|}A_{x}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}A_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}A_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付.

假設被保險人於 \(x\)歲時投保年末給付遞增 \(k\)年之終身壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\)元，直至終身。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)表示，接著，將推導 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)之計算公式。考慮下面之情形:

• 投保延期 \(m\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m|}\bar{A}_{x}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+1|}\bar{A}_{x}\)
• 投保延期 \(m+2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+2|}\bar{A}_{x}\)
• 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+t|}\bar{A}_{x}\)
• 最後，投保延期 \(m+k-1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+k-1|}\bar{A}_{x}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\[{}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}\bar{A}_{x}=\sum_{t=0}^{k-1}
\frac{M_{x+m+t}}{D_{x}}=\frac{R_{x+m}-R_{x+m+k}}{D_{x}}\mbox{。}\]

另外，依據之前的方法，可得其積分計算公式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x} & =\int_{m}^{m+k}\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}
\cdot\mu_{t+x}dt+k\cdot\int_{m+k}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\left (\sum_{h=m}^{m+k-1}\left (h-m+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )
+k\cdot\int_{m+k}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \({}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)亦可寫成
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x} & =\int_{m}^{m+k}\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]
\cdot e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+k\cdot\int_{m+k}^{\omega -x}e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\left (\sum_{h=m}^{m+k-1}\left (h-m+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )
+k\cdot\int_{m+k}^{\omega -x}e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，直至終身，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\)。

(ii) 第二種情形，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(m+3\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，直至終身。在這些條件下，可考慮下面之情形:

• 投保延期 \(m\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x}\)
• 投保延期 \(m+2\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+2|}\bar{A}_{x}\)
• 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+t|}\bar{A}_{x}\)
• 最後，投保延期 \(m+k-1\)年之終身壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+k-1|}\bar{A}_{x}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m+t|}\bar{A}_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}\bar{A}_{x}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x}\mbox{。}
\end{align*}
另外，依據之前的方法，可得其積分計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\sum_{h=m}^{m+k-1}(\Lambda +(h-m)\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& \quad +(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda )\cdot\int_{m+k}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{。}
\end{align*}
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值亦可寫成
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\sum_{h=m}^{m+k-1}(\Lambda +(h-m)\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& \quad +(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda )\cdot\int_{m+k}^{\omega -x}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{。}
\end{align*}

\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}

定期遞增型之延期定期壽險.

考慮遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，其中 \(k<n\)，可分為年末給付與即刻給付。

年末給付.

假設被保險人於 \(x\)歲時投保遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示，接著，將依現值收支平衡原則來推導 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)，而總保險金支出現值為
\begin{align*}
& v^{m+1}\cdot d_{x+m}+2\cdot v^{m+2}\cdot d_{x+m+1}+\cdots +k\cdot v^{m+k}\cdot d_{x+m+k-1}\\
& \quad +k\cdot v^{m+k+1}\cdot d_{x+m+k}+\cdots ++k\cdot v^{m+n}\cdot d_{x+m+n-1}\mbox{。}
\end{align*}
故可得下列關係式:
\begin{align*}
l_{x}\cdot (I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1} & =v^{m+1}\cdot d_{x+m}+2\cdot v^{m+2}\cdot d_{x+m+1}
+\cdots +k\cdot v^{m+k}\cdot d_{x+m+k-1}\\
& \quad +k\cdot v^{m+k+1}\cdot d_{x+m+k}+\cdots +k\cdot v^{m+n}\cdot d_{x+m+n-1}\mbox{。}
\end{align*}
因此可解得
\[{}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{k-1}
(t+1)\cdot v^{m+t+1}\cdot d_{x+m+t}+\frac{k}{l_{x}}\cdot\sum_{t=k}^{n-1}v^{m+t+1}\cdot d_{x+m+t}\mbox{。}\]
因為 \({}_{t|}q_{x}=d_{x+t}/l_{x}\)，由基本型生存年金頁之(4)式知，亦可得另一計算式為
\[{}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}=\sum_{t=0}^{k-1}(t+1)\cdot v^{m+t+1}\cdot {}_{m+t|}q_{x}
+k\cdot\sum_{t=k}^{n-1}v^{m+t+1}\cdot {}_{m+t|}q_{x}\mbox{。}\]

亦可由另一觀點來推出 \({}_{m|}(IA)_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算式。考慮下面之情形:

• 投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
• 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
• 最後，投保延期 \(m+k-1\)年之 \(n-k+1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+k-1|}A_{x:n-k+1\!\rceil}^{1}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1} & =\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}
=\sum_{t=0}^{k-1}\frac{M_{x+m+t}-M_{x+m+k}}{D_{x}}\label{eq166}\tag{23}\\
& =\frac{R_{x+m}-R_{x+m+k}-k\cdot M_{x+m+k}}{D_{x}}\mbox{。}\nonumber
\end{align}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\)。

(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(m+3\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付。在這些條件下，可考慮下面之情形:

• 投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+1|}A_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
• 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+t|}A_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
• 最後，投保延期 \(m+-1\)年之 \(n-k+1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需於當年末給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+k-1|}A_{x:n-k+1\!\rceil}^{1}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}

即刻給付.

假設被保險人於 \(x\)歲時投保遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示，接著，將推導 \({}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算公式。考慮下面之情形:

• 投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
• 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
• 最後，投保延期 \(m+k-1\)年之 \(n-k+1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，其現值為 \({}_{m+k-1|}\bar{A}_{x:n-k+1\!\rceil}^{1}\)。

將上述之所有情形加總後即可了解，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(1\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\)元，依此類推，每年增加 \(1\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付之年末給付遞增 \(k\)年之延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，其現值為
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1} & =\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}
=\sum_{t=0}^{k-1}\frac{\bar{M}_{x+m+t}-\bar{M}_{x+m+k}}{D_{x}}\\
& =\frac{\bar{R}_{x+m}-\bar{R}_{x+m+k}-k\cdot \bar{M}_{x+m+k}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

另外，依據之前的方法，可得其積分計算公式為
\begin{align*}
{}_{m|}(I_{k\!\rceil}A)_{x} & =\int_{m}^{m+k}\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}
\cdot\mu_{t+x}dt+k\cdot\int_{m+k}^{m+n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\left (\sum_{h=m}^{m+k-1}\left (h-m+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )
+k\cdot\int_{m+k}^{m+n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \({}_{m|}(I\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)亦可寫成
\begin{align*}
(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x} & =\int_{m}^{m+k}\left [\!\left [t-m+1\right ]\!\right ]
\cdot e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt+k\cdot\int_{m+k}^{m+n}e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\left (\sum_{h=m}^{m+k-1}\left (h-m+1\right )\cdot\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\right )
+k\cdot\int_{m+k}^{m+n}e^{-\delta t}\cdot{}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{align*}

考慮兩種較為一般的情形。

(i) 第一種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(2\Lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(k\cdot\Lambda\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\)。

(ii) 第二種情形，假設保單契約約定，被保險人若於契約生效後第 \(m+1\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，若於第 \(m+2\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +\lambda\)元，若於第 \(m+3\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +2\lambda\)元，依此類推，每年增加 \(\Lambda\)元保險金至第 \(m+k\)年內身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，之後，自第 \(m+k+1\)年起改為身故時，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda\)元，至第 \(n\)年為止，以後不再給付。在這些條件下，可考慮下面之情形:

• 投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda\)元，其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)
• 投保延期 \(m+1\)年之 \(n-1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+1|}\bar{A}_{x:n-1\!\rceil}^{1}\)
• 依此類推，投保延期 \(m+t\)年之 \(n-t\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+t|}\bar{A}_{x:n-t\!\rceil}^{1}\)
• 最後，投保延期 \(m+k-1\)年之 \(n-k+1\)年定期壽險，若被保險人於契約生效後身故，則保險公司需即刻給付身故保險金 \(\lambda\)元，其現值為 \(\lambda\cdot {}_{m+k-1|}\bar{A}_{x:n-k+1\!\rceil}^{1}\)。

將上述之所有情形加總後即為被保險人之總給付現值，其計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\Lambda\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}
+\lambda\cdot\sum_{t=1}^{k-1}{}_{m+t|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot\sum_{t=0}^{k-1}{}_{m+t|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\\
& =(\Lambda -\lambda)\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+\lambda\cdot {}_{m|}(I_{k\!\rceil}\bar{A})_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{align*}
另外，依據之前的方法，可得其積分計算公式為
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\sum_{h=m}^{m+k-1}(\Lambda +(h-m)\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& \quad +(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda )\cdot\int_{m+k}^{m+n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{。}
\end{align*}
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值亦可寫成
\begin{align*}
\mbox{被保險人之總給付現值} & =\sum_{h=m}^{m+k-1}(\Lambda +(h-m)\cdot\lambda)\cdot
\left (\int_{h}^{h+1}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\right )\\
& \quad +(\Lambda +(k-1)\cdot\lambda )\cdot\int_{m+k}^{m+n}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{。}
\end{align*}