Cesare Auguste Detti (1847-1914) was an Italian painter.
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生死合險(endowment insurance)係指被保險人在保險有效期間內身故或保險契約期滿仍生存時，保險公司皆得給付一定數額之保險金予被保險人。假設被保險人投保 \(n\)年定期生死合險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後 \(n\)年內身故或保險契約期滿仍生存時，保險公司皆得於當年末給付保險金 \(1\)元。
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
躉繳純保費.
若採用身故當年末給付保險金方式，其躉繳純保費之符號及計算式為
\begin{align}
A_{x:n\!\rceil} & =A_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n}E_{x}=(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}+{}_{n}E_{x}\nonumber\\
& =(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}+\left (a_{x:n\!\rceil}
-a_{x:n-1\!\rceil}\right )=(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n-1\!\rceil}\nonumber\\
& =(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-1\right )
=1-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq390}\tag{1}
\end{align}
假設被保險人於保險契約有效期間 \(n\)年內身故時，保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda_{1}\)元。若保險契約期滿仍生存時，保險公司需給付生存保險金 \(\Lambda_{2}\)元，則躉繳純保費應為
\begin{align*}
\Lambda_{1}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}+\Lambda_{2}\cdot {}_{n}E_{x}
& =\Lambda_{1}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )
+\Lambda_{2}\cdot\left (a_{x:n\!\rceil}-a_{x:n-1\!\rceil}\right )\\
& =\Lambda_{1}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )
+\Lambda_{2}\cdot\left (a_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1\right )\\
& =\left (\Lambda_{1}\cdot (1-d)-\Lambda_{2}\right )\cdot \ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\left (\Lambda_{2}-\Lambda_{1}\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}+\Lambda_{2}\mbox{。}
\end{align*}
當然，若 \(\Lambda_{1}=\Lambda_{2}=\Lambda\)，則躉繳純保費應為 \(\Lambda\cdot A_{x:n\!\rceil}\)。
若採用身故即刻給付保險金方式，依據定期壽險保險費頁之(3)式，其躉繳純保費之符號及計算式為
\begin{align}
\bar{A}_{x:n\!\rceil} & =\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n}E_{x}\nonumber\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}+\left (a_{x:n\!\rceil}-a_{x:n-1\!\rceil}\right )\nonumber\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}+
\left (a_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1\right )\nonumber\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1
\label{eq348}\tag{2}\mbox{。}
\end{align}
假設被保險人於保險契約有效期間 \(n\)年內身故時，保險公司需即刻給付身故保險金 \(\Lambda_{1}\)元。若保險契約期滿仍生存時，保險公司需給付生存保險金 \(\Lambda_{2}\)元，則躉繳純保費應為
\begin{align*}
\Lambda_{1}\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+\Lambda_{2}\cdot {}_{n}E_{x}
& =\frac{1}{2}\cdot\Lambda_{1}\cdot\left [\left (1-\delta\right )
\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}\right ]+
\Lambda_{2}\cdot\left (a_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1\right )\\
& =\left (\frac{1}{2}\cdot\Lambda_{1}\cdot\left (1-\delta\right )-\Lambda_{2}\right )\cdot \ddot{a}_{x:n\!\rceil}
+\left (\Lambda_{2}-\frac{1}{2}\cdot\Lambda_{1}\cdot\left (1+\delta\right )\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}+\Lambda_{2}\mbox{。}
\end{align*}
當然，若 \(\Lambda_{1}=\Lambda_{2}=\Lambda\)，則躉繳純保費應為 \(\Lambda\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}\)。
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
年繳純保費.
年末給付.
若採用身故當年末給付保險金方式，現年 \(x\)歲的被保險人，其年繳純保費以符號 \(P_{x:n\!\rceil}\)表示。根據收支平衡原則，可得
\[P_{x:n\!\rceil}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}=A_{x:n\!\rceil}=A_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n}E_{x}\mbox{，}\]
依據定期壽險保險費頁之(5)式，其年繳純保費為
\begin{align}
P_{x:n\!\rceil} & =\frac{A_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}=\frac{M_{x}-M_{x+n}+D_{x+n}}{N_{x}-N_{x+n}}
=P_{x:n\!\rceil}^{1}+\widehat{P}_{x:n\!\rceil}\label{eq9}\tag{3}\\
& =-d+\frac{1}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\cdot \left (1-{}_{n}E_{x}\right )
+\widehat{P}_{x:n\!\rceil}\mbox{ (依據定期壽險保險費頁之(5)式。}\label{eq215}\tag{4}
\end{align}
又因為 \(A_{x:n\!\rceil}=1-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)，亦可得
\begin{equation}{\label{eq392}}\tag{5}
P_{x:n\!\rceil}=\frac{A_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}=\frac{1}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-d\mbox{。}
\end{equation}
上式亦可推論如下。假設某甲借給現年 \(x\)歲之某乙 \(1\)元，並且言明 \(n\)年內一定清償，則乙可用以下兩種方式清償其 \(1\)元之債務。
(a) 乙每年初還甲 \(1/\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)元。因此可將甲視為每年初可獲得年金 \(1/\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)元，而其現值為 \(\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\cdot (1/\ddot{a}_{x:n\!\rceil})=1\)元，即可解釋為乙還清債務。
(b) 在此 \(n\)年內，乙每年初還甲 \(d\)元，如此則每年末乙僅欠甲 \(1\)元，故乙為償還其 \(n\)年後仍生存或於身故當年末仍欠甲的 \(1\)元，必須投保 \(n\)年定期生死合險，用以保障乙能確實在 \(n\)年內償還其債務，其年繳純保費為 \(P_{x:n\!\rceil}\)，故每年初共還甲 \(d+P_{x:n\!\rceil}\)元。
在(a)中每期償還金額為 \(1/\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)元與(b)每期償還金額 \(d+P_{x:n\!\rceil}\)應相同，亦即
\[d+P_{x:n\!\rceil}=\frac{1}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}\]
因此可得
\[P_{x:n\!\rceil}=\frac{1}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-d\mbox{。}\]
因生死合險可視為定期壽驗與生存保險之組合，即(\ref{eq9})式所示，亦可視為確定年金與遞減定期保險之組合，即
\begin{equation}{\label{eq8}}\tag{6}
P_{x:n\!\rceil}=\frac{1}{\ddot{s}_{n\!\rceil}}+P\mbox{，}
\end{equation}
其中
\[P=\frac{1}{N_{x}-N_{x+n}}\cdot\left [\left (1-\frac{\ddot{s}_{1\!\rceil}}{\ddot{s}_{n\!\rceil}}
\right )\cdot C_{x}+\left (1-\frac{\ddot{s}_{2\!\rceil}}{\ddot{s}_{n\!\rceil}}\right )\cdot C_{x+1}+\cdots +\left (
1-\frac{\ddot{s}_{n\!\rceil}}{\ddot{s}_{n\!\rceil}}\right )\cdot C_{x+n-1}\right ]\mbox{。}\]
可證明(\ref{eq9})即(\ref{eq8})兩式相等。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，現年 \(x\)歲的被保險人，其年繳純保費以符號 \(P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)表示。根據收支平衡原則，可得
\begin{equation}{\label{eq307}}\tag{7}
P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}=\bar{A}_{x:n\!\rceil}=\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n}E_{x}\mbox{，}
\end{equation}
依據定期壽險保險費頁之(13)式，其年繳純保費為
\begin{align*}
P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}) & =\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\frac{{}_{n}E_{x}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
=P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+\widehat{P}_{x:n\!\rceil}\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )
-\delta+\widehat{P}_{x:n\!\rceil}\mbox{ (依據定期壽險保險費頁之(13)式。}
\end{align*}
依據(\ref{eq348})式，亦可得
\begin{equation}{\label{eq393}}\tag{8}
P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{1}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot
\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\mbox{。}
\end{equation}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳保險費應為 \(\Lambda\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)元。
\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}
真實保險費.
年末給付.
若採用身故當年末給付保險金方式，假設將每年分成 \(h\)期，現年$x$歲的被保險人，其真實保險費以符號 \(P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\)表示。因此每期應繳納之保費為 \(P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}/h\)。依據收支平衡原則，可得
\[P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}=A_{x:n\!\rceil}\mbox{，}\mbox{。}\]
因此依據基本型生存年金頁之(31)式及定期壽險保險費頁之(6)式，可解得其真實保險費為
\begin{align}
P_{x:n\!\rceil}^{(h)} & =\frac{A_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}=\frac{A_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot (1-{}_{n}E_{x})}\mbox{ (依據基本型生存年金頁之(31)式)}\nonumber\\
& =\frac{P_{x:n\!\rceil}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot (1-{}_{n}E_{x})}\mbox{ (依據(\ref{eq9})式)}\nonumber\\
& =\frac{P_{x:n\!\rceil}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot\frac{1}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\cdot (1-{}_{n}E_{x})}
=\frac{P_{x:n\!\rceil}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot (P_{x:n\!\rceil}+d-\widehat{P}_{x:n\!\rceil})}
\mbox{ (依據(\ref{eq215})式)}\nonumber\\
& =\frac{P_{x:n\!\rceil}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )}
\mbox{ (再依據(\ref{eq9})式)}\mbox{。}\label{eq225}\tag{9}\\
& =\frac{P_{x:n\!\rceil}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )}
\mbox{ (依據定期壽險保險費頁之(6)式}\nonumber\\
& =\frac{P_{x:n\!\rceil}}{\frac{h+1}{2h}+\frac{h-1}{2h}\cdot\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\nonumber
\end{align}
又可寫為
\begin{equation}{\label{eq309}}\tag{10}
P_{x:n\!\rceil}^{(h)}=P_{x:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}
\cdot P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )\mbox{。}
\end{equation}
由上式可以明顯看出與年繳保費比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )\mbox{元}\]
之差額。其主因係 \(P_{x:n\!\rceil}\)是年初繳保費而 \(P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\)則是分期繳保費。其餘可參照終身壽險中之論點。
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，現年 \(x\)歲的被保險人，其年繳純保費以符號 \(P^{(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)表示。根據收支平衡原則，可得
\[P^{(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\bar{A}_{x:n\!\rceil}\mbox{，}\]
所以，依據(\ref{eq307})式及參考(\ref{eq225})式，其年繳純保費為
\begin{equation}{\label{eq350}}\tag{11}
P^{(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )}
=\frac{P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{\frac{h+1}{2h}+\frac{h-1}{2h}\cdot\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\mbox{。}
\end{equation}
又可寫為
\[P^{(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})=P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})+\frac{h-1}{2h}\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})
\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳保險費應為 \(\Lambda\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)元。
連續繳費.
考慮 \(h\)趨近於無窮大之情形。若採用身故當年末給付保險金方式，其真實保險費以符號 \(\bar{P}_{x:n\!\rceil}\)表示。依據收支平衡原則，可得
\begin{equation}{\label{eq271}}\tag{12}
\bar{P}_{x:n\!\rceil}\cdot\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}=A_{x:n\!\rceil}\mbox{，}
\end{equation}
其中 \(\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}\)定義於定期壽險保險費頁之(2)式，因此可解得
\begin{align*}
\bar{P}_{x:n\!\rceil} & =\frac{A_{x:n\!\rceil}}{\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}=\frac{P_{x:n\!\rceil}\cdot \ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )}
=\frac{P_{x:n\!\rceil}}{1-\frac{1}{2}\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )}=\frac{P_{x:n\!\rceil}}{\frac{1}{2}\cdot\left (1+
\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )}\\
& =\frac{\frac{1}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-d}{\frac{1}{2}\cdot\left (1+\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )}
=\frac{2\cdot\left (1-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\right )}{a_{x:n\!\rceil}+\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}
\end{align*}
又可推得
\begin{equation}{\label{eq310}}\tag{13}
\bar{P}_{x:n\!\rceil}=P_{x:n\!\rceil}+\frac{1}{2}\cdot\bar{P}_{x:n\!\rceil}\cdot (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)\mbox{。}
\end{equation}
上式亦可由另一觀點得知。因為
\[\bar{P}_{x:n\!\rceil}=\lim_{h\rightarrow\infty}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\mbox{，}\]
依據(\ref{eq309})式，可得
\[\bar{P}_{x:n\!\rceil}=\lim_{h\rightarrow\infty}P_{x:n\!\rceil}^{(h)}
=\lim_{h\rightarrow\infty}\left [P_{x:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}
\cdot P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)\right ]\mbox{，}\]
上式經計算後即可得(\ref{eq310})式。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot\bar{P}_{x:n\!\rceil}\)元。
若採用身故即刻給付保險金方式，其真實保險費以符號 \(\bar{P}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)表示。依據收支平衡原則，可得
\[\bar{P}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}=\bar{A}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align*}
\bar{P}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}) & =\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}=
\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1}
{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )}\\
& =\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1}
{\frac{1}{2}\cdot\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+a_{x:n\!\rceil}\right )}\\
& =\frac{a_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+2}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+a_{x:n\!\rceil}}-\delta\mbox{。}
\end{align*}
另外可得
\[\bar{P}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{A_{x:n\!\rceil}}\cdot\frac{A_{x:n\!\rceil}}{\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}=
\left (\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}}{A_{x:n\!\rceil}}\right )\cdot\bar{P}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot\bar{P}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)元。
\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}
年賦保險費.
年末給付.
若採用身故當年末給付保險金方式，假設將每年分成 \(h\)期，現年 \(x\)歲的被保險人，其年賦保險費表為 \(P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\)。每期繳納保費為 \(P_{x:n\!\rceil}^{[h]}/h\)。依據之前類似論點，當被保險人在保單契約有效期間身故時，保險公司所給付之保險金淨額為
\[1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\mbox{，}\]
而其現值為
\[A_{x:n\!\rceil}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\right )\mbox{。}\]
因此，根據收支平衡原則，可得
\[P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}=A_{x:n\!\rceil}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot
P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\right )\mbox{，}\]
所以
\[P_{x:n\!\rceil}^{[h]}=\frac{A_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot
P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\right )=P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\right )\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq226}}\tag{14}
P_{x:n\!\rceil}^{[h]}=\frac{P_{x:n\!\rceil}^{(h)}}{1+\frac{h-1}{2h}\cdotP_{x:n\!\rceil}^{(h)}}\mbox{。}
\end{equation}
令 \(\zeta =\frac{h-1}{2h}\)，根據(\ref{eq225})及(\ref{eq226})式，可得
\begin{align}
P_{x:n\!\rceil}^{[h]} & =\frac{P_{x:n\!\rceil}^{(h)}}{1+\zeta\cdot P_{x:n\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{\displaystyle \frac{P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}}
{\displaystyle 1+\frac{\zeta\cdot P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}}\nonumber\\
& =\frac{P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)
+\zeta\cdot P_{x:n\!\rceil}}=\frac{P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot d
+\zeta\cdot (P_{x:n\!\rceil}-P_{x:n\!\rceil}^{1})}\nonumber\\
& =\frac{P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot d+\zeta\cdot\frac{{}_{n}E_{x}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}
=\frac{P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot d+\zeta\cdot\left (\frac{1+a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1\right )}
\mbox{。}\label{eq373}\tag{15}
\end{align}
上式亦可寫成
\[P_{x:n\!\rceil}=P_{x:n\!\rceil}^{[h]}-\zeta\cdot d\cdot
P_{x:n\!\rceil}^{[h]}+\zeta\cdot P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\cdot
\left (\frac{1+a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1\right )\mbox{。}\]
因此可得
\[P_{x:n\!\rceil}^{[h]}=P_{x:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\cdot
\left (1-d-\frac{1+a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}^{[h]}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，假設將每年分成 \(h\)期，現年 \(x\)歲的被保險人，其年賦保險費表為 \(P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)。每期繳納保費為 \(P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})/h\)。根據收支平衡原則，可得
\[P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}
=\bar{A}_{x:n\!\rceil}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\right )\mbox{。}\]
所以
\[P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot
P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\right )=P^{(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot
\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\right )\]
因此可解得
\[P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{P^{(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}
{1+\frac{h-1}{2h}\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}\mbox{。}\]
令 \(\zeta =\frac{h-1}{2h}\)，根據(\ref{eq350})式及定期壽險保險費頁之(6)式，並參考(\ref{eq373})式之推導方式，可得
\begin{align*}
P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}) & =\frac{P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{1-\zeta\cdot d
+\zeta\cdot (P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})-P_{x:n\!\rceil}^{1})}\\
& =\frac{P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{1-\zeta\cdot d+\zeta\cdot\left (
P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})+\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1+d\right )}\mbox{ (依據定期壽險保險費頁之(6)式)}\\
& =\frac{P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{1+\zeta\cdot\left (
P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})+\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1\right )}\mbox{。}
\end{align*}
上式亦可寫成
\[P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})=P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})+\zeta\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot
\left (P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})+\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1\right )\mbox{。}\]
因此可得
\[P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})=P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})+\frac{h-1}{2h}\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot
\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\right )\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot P^{[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)元。
\begin{equation}{\label{e}}\tag{E}\mbox{}\end{equation}
比例分攤保險費.
年末給付.
若採用身故當年末給付保險金方式，假設將每年分成 \(h\)期，現年 \(x\)歲的被保險人，其比例分攤保險費以符號 \(P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\)表示。因此每期應繳納保費為 \(P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}/h\)。依據之前類似論點，當被保險人在保單契約有效期間身故時，保險公司真正所給付之保險金平均為
\[1+\frac{P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}}{2h}\mbox{，}\]
其現值為
\[A_{x:n\!\rceil}\cdot\left (1+\frac{P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}}{2h}\right )\mbox{。}\]
根據收支平衡原則，可得
\[P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}=A_{x:n\!\rceil}\cdot\left (
1+\frac{P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}}{2h}\right )\mbox{，}\]
所以
\[P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}=\frac{A_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}\cdot\left (1+\frac{P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}}{2h}\right )=
P_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot\left (1+\frac{P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}}{2h}\right )\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq227}}\tag{16}
P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}=\frac{P_{x:n\!\rceil}^{(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{(h)}}
\end{equation}
令 \(\zeta =\frac{h-1}{2h}\)，根據(\ref{eq225})及(\ref{eq227})式，可得
\begin{align*}
P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}} & =\frac{\displaystyle\frac{P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}}
{\displaystyle 1-\frac{1}{2h}\cdot\frac{P_{x:n\!\rceil}}{1-\zeta\cdot (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}}
=\frac{2h\cdot P_{x:n\!\rceil}}{2h-2h\zeta\cdot(P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)-P_{x:n\!\rceil}}\\
& =\frac{2h\cdot P_{x:n\!\rceil}}{2h-2h\zeta\cdot\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )
-P_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}
\end{align*}
亦可寫成
\[2h\cdot P_{x:n\!\rceil}=2h\cdot P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}-2h\zeta\cdot P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\cdot
\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )-P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\cdot P_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align*}
P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}} & =P_{x:n\!\rceil}+P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\cdot\left [\frac{P_{x:n\!\rceil}}{2h}+\zeta\cdot
\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )\right ]\\
& =P_{x:n\!\rceil}+P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\cdot\left [\frac{P_{x:n\!\rceil}}{2h}+\frac{h-1}{2h}\cdot
\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )\right ]\mbox{。}
\end{align*}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則比例分攤保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，假設將每年分成 \(h\)期，現年 \(x\)歲的被保險人，其比例分攤保險費以符號 \(P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)表示。因此每期應繳納保費為 \(P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})/h\)。依據之前類似論點，當被保險人在保單契約有效期間身故時，保險公司真正所給付之保險金平均為
\[1+\frac{P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h}\mbox{，}\]
其現值為
\[A_{x:n\!\rceil}\cdot\left (1+\frac{P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h}\right )\mbox{。}\]
根據收支平衡原則，可得
\[P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}=A_{x:n\!\rceil}\cdot\left (
1+\frac{P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h}\right )\mbox{，}\]
所以
\[P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{A_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}
\cdot\left (1+\frac{P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h}\right )=
P^{(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\cdot\left (1+\frac{P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h}\right )\mbox{。}\]
因此可解得
\[P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{P^{(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{1-\frac{1}{2h}\cdot P^{(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}\]
根據(\ref{eq350})式，可得
\begin{align*}
P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}) & =\frac{2h\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h-2h\zeta\cdot
(P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)-P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}\\
& =\frac{2h\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}
{2h-(h-1)\cdot\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )-P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}\mbox{。}
\end{align*}
及
\[P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})=P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})+P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})
\cdot\left [\frac{P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h}+\frac{h-1}{2h}\cdot
\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )\right ]\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則比例分攤保險費應為 \(\Lambda\cdot P^{\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})\)元。
\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\mbox{類別} & \mbox{年末給付} & \mbox{即刻給付}\\ \hline
&&\\
\mbox{躉繳保險費} & A_{x:n\!\rceil}=1-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil} &
{\displaystyle \bar{A}_{x:n\!\rceil}=\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{年繳保險費} & {\displaystyle P_{x:n\!\rceil}=\frac{1}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-d} &
{\displaystyle P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})=\frac{1}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}+\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot
\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{真實保險費} & {\displaystyle P_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\frac{2h\cdot P_{x:n\!\rceil}}{h+1+(h-1)\cdot
\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}} & {\displaystyle P^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})
=\frac{2h\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{h+1+(h-1)\cdot\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{年賦保險費} & {\displaystyle P_{x:n\!\rceil}^{[h]}=\frac{2h\cdot P_{x:n\!\rceil}}{2h+(h-1)\cdot
\left (\frac{1+a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1-d\right )}} & {\displaystyle P^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})
=\frac{2h\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h+ (h-1)\cdot\left (
P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})+\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}-1\right )}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{比例分攤保險費} & {\displaystyle P_{x:n\!\rceil}^{\{h\}}=\frac{2h\cdot P_{x:n\!\rceil}}{2h-(h-1)\cdot
\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )-P_{x:n\!\rceil}}} & {\displaystyle P^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})
=\frac{2h\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}{2h-(h-1)\cdot\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )
-P(\bar{A}_{x:n\!\rceil})}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{連續繳費} & {\displaystyle \bar{P}_{x:n\!\rceil}=\frac{2\cdot\left (1-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\right )}
{a_{x:n\!\rceil}+\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}} & {\displaystyle \bar{P}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil})
=\frac{a_{x:n\!\rceil}-\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+2}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+a_{x:n\!\rceil}}-\delta}\\
&&\\ \hline
\end{array}\]
