Anthonie de Lorme (1610-1673) was a Dutch painter.
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定期壽險係指保單契約之有效時間內，如被保險人身故，保險公司需給付 \(1\)元保險金，給付方式可分為身故當年末給付或即刻給付兩種。若保單契約到期仍未身故，則契約效力終止。例如 \(n\)年定期壽險( \(n\)-year term life insurance)，若被保險人於保單契約生效日起 \(n\)年後仍未身故，則契約效力終止。如果被保險人希望保單契約期滿後，也就是 \(n\)年後仍生存時，亦可獲得保險公司之生存保險金，此即為生死合險(endowment insurance)。
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
躉繳純保費
若採用身故當年末給付保險金方式，則躉繳純保費即為被保險人之保險金給付現值 \(A_{x:n\!\rceil}^{1}\)，其計算式如基本型人壽保險金頁之(30)式所示為
\begin{equation}{\label{eq261}}\tag{1}
A_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{M_{x}-M_{x+n}}{D_{x}}=A_{x}-{}_{n|}A_{x}=v\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}
=(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{equation}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則躉繳純保費應為 \(\Lambda\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}\)。
若採用身故即刻給付保險金方式，則躉繳純保費即為 \(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)，其計算式如基本型人壽保險金頁之(15)式所示，這裡將推出另一近似計算式。假設將一年分成 \(h\)期，若被保險人身故時，保險公司需在當期末給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \(A_{x}^{(h)}\)表示且
\[\bar{A}_{x}=\lim_{h\rightarrow\infty}A_{x}^{(h)}\mbox{。}\]
假設每期給付 \(1/h\)元年金，依據基本型生存年金頁之(12)式之推導方式，可得
\[a_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\frac{1}{h}\cdot \left (
v^{\frac{1}{h}}\cdot l_{x+\frac{1}{h}}+v^{\frac{2}{h}}\cdot l_{x+\frac{2}{h}}+\cdots +v^{n}\cdot l_{x+n}\right )\mbox{。}\]
同理，依據基本型生存年金頁之(13)式式之推理方式，可得
\[\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\frac{1}{h}\cdot \left (l_{x}+
v^{\frac{1}{h}}\cdot l_{x+\frac{1}{h}}+v^{\frac{2}{h}}\cdot l_{x+\frac{2}{h}}
+\cdots +v^{n-\frac{1}{h}}\cdot l_{x+n-\frac{1}{h}}\right )\mbox{。}\]
其關係式為
\[\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}=a_{x:n-1\!\rceil}^{(h)}+\frac{1}{h}\mbox{。}\]
而其近似計算公式可參考基本型生存年金頁之(29)式及(31)式。依據基本型人壽保險金頁之(12)式，可知
\begin{align*}
A_{x:n\!\rceil}^{1(h)} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\left (v^{\frac{1}{h}}\cdot d_{x}+v^{\frac{2}{h}}\cdot d_{x+\frac{1}{h}}
+v^{\frac{3}{h}}\cdot d_{x+\frac{2}{h}}+\cdots +v^{n}\cdot d_{x+n-\frac{1}{h}}\right )\\
& =\frac{1}{l_{x}}\cdot\left [v^{\frac{1}{h}}\cdot\left (l_{x}-l_{x+\frac{1}{h}}\right )+v^{\frac{2}{h}}
\cdot\left (l_{x+\frac{1}{h}}-l_{x+\frac{2}{h}}\right )+\cdots+v^{n}\cdot\left (l_{x+n-\frac{1}{h}}-l_{x+n}\right )\right ]\\
& =h\cdot\left (v^{\frac{1}{h}}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}-a_{x:n\!\rceil}^{(h)}\right )\mbox{ (可對照(\ref{eq261})式)}\mbox{。}\\
\end{align*}
因為
\[\lim_{h\rightarrow\infty}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\lim_{h\rightarrow\infty}a_{x:n\!\rceil}^{(h)}\mbox{，}\]
因此可用l’Hospital法則求 \(A_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\)之極限。依據基本型生存年金頁之(29)式及(31)式，因為
\[a_{x:n\!\rceil}^{(h)}=a_{x:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\mbox{ 及 }\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}=
\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\mbox{，}\]
定義
\[\bar{a}_{x:n\!\rceil}=\lim_{h\rightarrow\infty}a_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\lim_{h\rightarrow\infty}
\left [a_{x:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\right ]
=a_{x:n\!\rceil}+\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\]
及
\begin{equation}{\label{eq268}}\tag{2}
\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}=\lim_{h\rightarrow\infty}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\lim_{h\rightarrow\infty}
\left [\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\right ]
=\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\mbox{。}
\end{equation}
另外可得
\[\frac{\partial}{\partial h}\left (a_{x:n\!\rceil}^{(h)}\right )=\frac{1}{2h^{2}}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\]
及
\[\frac{\partial}{\partial h}\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}\right )=-\frac{1}{2h^{2}}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\mbox{。}\]
所以，依據利息與確定年金頁之(5)式及(6)式、基本型人壽保險金頁之(34)及基本型生存年金頁之(14)式
\begin{align}
\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1} & =\lim_{h\rightarrow\infty}A_{x:n\!\rceil}^{1(h)}
=\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{v^{\frac{1}{h}}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}-a_{x:n\!\rceil}^{(h)}}{1/h}\nonumber\\
& =\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle \ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot
\frac{\partial}{\partial h}(v^{\frac{1}{h}})+v^{\frac{1}{h}}\cdot
\frac{\partial}{\partial h}\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}\right )
-\frac{\partial}{\partial h}\left (a_{x:n\!\rceil}^{(h)}\right )}{\displaystyle -\frac{1}{h^{2}}}\nonumber\\
& =\lim_{h\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle \ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot
v^{\frac{1}{h}}\cdot\ln v\cdot\left (-\frac{1}{h^{2}}\right )+v^{\frac{1}{h}}\cdot
\frac{\partial}{\partial h}\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}\right )
-\frac{\partial}{\partial h}\left (a_{x:n\!\rceil}^{(h)}\right )}{\displaystyle -\frac{1}{h^{2}}}\nonumber\\
& =\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}\cdot
v^{\frac{1}{h}}\cdot\ln v+\frac{1}{2}\cdot\left (v^{\frac{1}{h}}+1\right )\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\right ]\nonumber\\
& =\ln (1-d)\cdot\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\right )
+\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\nonumber\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (\delta +1\right )\cdot \left (1-{}_{n}E_{x}\right )-\delta\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
\mbox{ (依據利息與確定年金頁之(5)式及(6)式式可得$\ln (1-d)=-\delta$。)}\nonumber\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (\delta +1\right )\cdot\left (1-a_{x:n\!\rceil}+a_{x:n-1\!\rceil}\right )
-\delta\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\mbox{ (依據基本型人壽保險金頁之(34)式)}\nonumber\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (\delta +1\right )\cdot\left (1-a_{x:n\!\rceil}+\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-1\right )
-\delta\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\mbox{ (依據基本型生存年金頁之(14)式)}\nonumber\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq311}\tag{3}
\end{align}
假設保險公司需於被保險人身故即刻給付 \(\Lambda\)元保險金，則躉繳純保費應為 \(\Lambda\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)。
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
年繳純保費.
考慮 \(n\)年定期壽險，並假設繳費期間為 \(q\)年，其中 \(q\leq n\)。
年末給付.
採用身故當年末給付保險金方式。現年 \(x\)歲的被保險人，假設繳費期間為 \(n\)年，則其年繳純保費以符號 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\)表示。如 \(q=n\)，則其年繳純保費簡單表為 \(P_{x:n\!\rceil}^{1}\)。若 \(t\)年後仍然生存時，其年繳純保費 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\)之現值為
\[P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}=P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot {}_{t}E_{x}\mbox{。}\]
因此總保費收入現值為
\[P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot {}_{0}E_{x}+P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot {}_{1}E_{x}+P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot {}_{2}E_{x}+\cdots
+P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot {}_{q-1}E_{x}=P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}\mbox{。}\]
依據收支平衡原則，可得
\begin{equation}{\label{eq263}}\tag{4}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}=A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{，}
\end{equation}
所以其年繳純保費為
\begin{align}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1} & =\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}=\frac{M_{x}-M_{x+n}}{N_{x}-N_{x+q}}
=\frac{-d\cdot (N_{x}-N_{x+n})+D_{x}-D_{x+n}}{N_{x}-N_{x+q}}\nonumber\\
& =\frac{-d\cdot D_{x}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+D_{x}-D_{x+n}}{D_{x}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left (-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1-\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\right )\nonumber\\
& =\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot \left (-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1-{}_{n}E_{x}\right )\label{eq210}\tag{5}\\
& =\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot \left (-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )
=\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left [(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right ]\mbox{。}\label{eq375}\tag{6}
\end{align}
若 \(q=n\)，其年繳純保費 \(P_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算式為
\begin{equation}{\label{eq420}}\tag{7}
P_{x:n\!\rceil}^{1}=1-d-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\mbox{。}
\end{equation}
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:q\!\rceil}^{1}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，其年繳純保費以符號 \(P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)表示之。如 \(q=n\)，則其年繳純保費簡單表為 \(P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)。依據(\ref{eq263})式之推導論點，可得
\begin{equation}{\label{eq265}}\tag{8}
P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}=\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{equation}
及
\begin{equation}{\label{eq265*}}\tag{9}
P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}=\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{equation}
因此，依據(\ref{eq265})式，可解得
\[P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{2\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\mbox{。}\]
因此，依據(\ref{eq265*})及(\ref{eq420})式，可解得
\begin{align}
P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}) & =\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}
{2\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\label{eq403}\tag{10}\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d-1\right )+\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\nonumber\\
& =\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )
-\delta\mbox{。}\label{eq306}\tag{11}
\end{align}
另外可得
\[P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{A_{x:n\!\rceil}^{1}}\cdot\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
=\left (\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{A_{x:n\!\rceil}^{1}}\right )\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\mbox{。}\]
及
\[P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{A_{x:n\!\rceil}^{1}}\cdot\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}=
\left (\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{A_{x:n\!\rceil}^{1}}\right )\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元或 \(\Lambda\cdot P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元。
\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}
真實保險費.
假設每年分成 \(h\)期，將分別討論年末給付與即刻給付保險金方式。
年末給付.
現年 \(x\)歲的被保險人，若採用身故當年末給付保險金方式，則其真實保險費以符號 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}\)表示。如 \(q=n\)，則其年繳純保費簡單表為 \(P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\)。因此每期應繳納之保費為 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}/h\)。依據收支平衡原則，可得
\begin{equation}{\label{eq264}}\tag{12}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}=A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{，}\mbox{。}
\end{equation}
因此，依據基本型生存年金頁之(31)式及基本型生存年金頁之(31)式，可解得其真實保險費為
\begin{align}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)} & =\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}=\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot (1-{}_{q}E_{x})}\mbox{ (依據基本型生存年金頁之(31)式)}\label{eq421}\tag{13}\\
& =\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (1-{}_{q}E_{x})}\mbox{ (依據基本型生存年金頁之(31)式)}\nonumber\\
& =\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot (1-{}_{q}E_{x})}
=\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})}\nonumber\\
& =\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\label{eq219}\tag{14}\mbox{。}
\end{align}
又可寫為
\begin{equation}{\label{eq269}}\tag{15}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}=P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}\cdot\left (
1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{。}
\end{equation}
由上式可以明顯看出與年繳保費 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\)比較將會產生
\begin{equation}{\label{eq193}}\tag{16}
\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{元}
\end{equation}
之差額。另外，由(\ref{eq421})式，亦可得
\[P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}=\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (1-{}_{q}E_{x})}
=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})}\mbox{。}\]
若 \(q=n\)，則可得
\[P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil})}\]
及
\[P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}=P_{x:n\!\rceil}^{1}+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\cdot
\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費 \(P_{x:n\!\rceil}^{1}\)比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\cdot\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}\)或 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，則其真實純保費以符號 \(P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)表示之。如 \(q=n\)，則其年繳純保費簡單表為 \(P^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)。因此每期應繳納之保費為 \(P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})/h\)。依據收支平衡原則，可得
\[P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}=\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]
依據(\ref{eq265})式及參考(\ref{eq219})式之推導方式，可解得
\begin{equation}{\label{eq422}}\tag{17}
P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (1-{}_{q}E_{x})}
=\frac{P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}{1-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\mbox{。}
\end{equation}
又可寫為
\[P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+\frac{h-1}{2h}
\cdot P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費 \(P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot
\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{元}\]
之差額。另外，由(\ref{eq422})式，亦可得
\[P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (1-{}_{q}E_{x})}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})}\mbox{。}\]
若 \(q=n\)，則可得
\[P^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil})}\mbox{。}\]
及
\[P^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+\frac{h-1}{2h}
\cdot P^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\left (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d\right )\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費 \(P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )\mbox{元}\]
之差額。另外，亦可得
\[P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{A_{x:n\!\rceil}^{1}}\cdot\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{1(h)}}=
\left (\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{A_{x:n\!\rceil}^{1}}\right )\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}\mbox{。}\]
及
\[P^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}}
=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{A_{x:n\!\rceil}^{1}}\cdot\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{1(h)}}=
\left (\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{A_{x:n\!\rceil}^{1}}\right )\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元或 \(\Lambda\cdot P^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元。
\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}
年賦保險費.
假設每年分成 \(h\)期，將分別討論年末給付與即刻給付保險金方式。
年末給付.
採用身故當年末給付保險金方式，現年 \(x\)歲的被保險人，則其年賦保險費以符號 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\)表示之。如 \(q=n\)，則其年繳純保費簡單表為 \(P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}\)。因此，每期繳納保費為 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}/h\)。依據之前類似論點，當被保險人在保單契約有效期間身故時，保險公司所給付之保險金淨額為
\[1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\mbox{，}\]
而其現值為
\[A_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\right )\mbox{。}\]
因此，根據收支平衡原則，可得
\begin{equation}{\label{eq266}}\tag{18}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}=A_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\right )\mbox{。}
\end{equation}
所以
\[P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}=\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\right )=P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\right )\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq220}}\tag{19}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}=\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}}\mbox{。}
\end{equation}
令 \(\zeta =\frac{h-1}{2h}\)及 \(\eta =1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\)，根據(\ref{eq219})及(\ref{eq220})式，可得
\begin{align*}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]} & =\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}}{1+\zeta\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}}\\
& =\frac{\displaystyle \frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}{1-\zeta\cdot\eta}}{\displaystyle 1+\frac{\zeta\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}{1-\zeta\cdot\eta}}=\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}{1-\zeta\cdot\eta +\zeta\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}\mbox{。}
\end{align*}
因此可得
\begin{align}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]} & =P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+\zeta\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\cdot\left (\eta -P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\right )\nonumber\\
& =P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+\zeta\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\cdot\left [1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
-\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left (-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )\right ]\nonumber\\
& =P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\cdot
\left [1-\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-a_{x:n\!\rceil}+a_{x:q\!\rceil}\right )\right ]\mbox{。}\label{eq267}\tag{20}
\end{align}
由上式可以明顯看出與年繳保費 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\)比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\cdot\left [1-\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-a_{x:n\!\rceil}+a_{x:q\!\rceil}\right )\right ]\mbox{元}\]
之差額。另外，由(\ref{eq220})及(\ref{eq421})式，亦可得
\begin{align}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]} & =\frac{\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}
{1+\frac{h-1}{2h}\cdot \frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}=\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}+\frac{h-1}{2h}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}}\label{eq425}\tag{21}\\
& =\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (1-{}_{q}E_{x})
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )}\nonumber\\
& =\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})+\frac{h-1}{2h}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )}\mbox{。}\nonumber
\end{align}
若 \(q=n\)，則可得較簡化之計算式為
\[P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot d\right )}\mbox{。}\]
及
\[P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}=P_{x:n\!\rceil}^{1}+\zeta\cdot d\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}
=P_{x:n\!\rceil}^{1}+\frac{h-1}{2h}\cdot d\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費 \(P_{x:n\!\rceil}^{1}\)比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot d\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年賦保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\)元或 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，其年賦純保費以符號 \(P_{q}^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)表示之。如 \(q=n\)，則其年繳純保費簡單表為 \(P^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)。因此每期應繳納之保費為 \(P_{q}^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})/h\)。依據收支平衡原則，可得
\[P_{q}^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}
=\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\right )\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq455}}\tag{22}
P_{q}^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}{1+\frac{h-1}{2h}\cdot
P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}\mbox{。}
\end{equation}
令 \(\zeta =\frac{h-1}{2h}\)及 \(\eta =1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\)，根據(\ref{eq455})及(\ref{eq422})式，可得
\begin{align*}
P_{q}^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}) & =\frac{P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}
{1+\zeta\cdot P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})} & =\frac{\displaystyle \frac{P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}{1-\zeta\cdot\eta}}
{\displaystyle 1+\frac{\zeta\cdot P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}{1-\zeta\cdot\eta}} & =\frac{P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}
{1-\zeta\cdot\eta +\zeta\cdot P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}\mbox{。}
\end{align*}
因此可得
\begin{align}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]} & =P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+
\zeta\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\cdot\left (\eta -P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\right )\nonumber\\
& =P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+\zeta\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\cdot\left [1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
-\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left (-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )\right ]\nonumber\\ & =P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+\frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\cdot
\left [1-\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-a_{x:n\!\rceil}+a_{x:q\!\rceil}\right )\right ]\mbox{。}\label{eq267}\tag{23}
\end{align}
由上式可以明顯看出與年繳保費 \(P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\left [1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
-\frac{\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{2\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
\right ]\mbox{元}\]
之差額。另外，參考(\ref{eq425})式之推導方式，亦可得
\begin{align*}
P_{q}^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}) & =\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}+\frac{h-1}{2h}\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}\\
& =\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (
\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}\right )}\mbox{。}
\end{align*}
若 \(q=n\)，則可得較簡化之計算式為
\[P^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot d\right )}\mbox{。}\]
及
\[P^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+\frac{h-1}{2h}\cdot P^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})
\cdot\left [\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2}\cdot\left (1+a_{x:n\!\rceil}\right )\right ]\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費 \(P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)比較將會產生
\[\frac{h-1}{2h}\cdot P^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\left [\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2}\cdot\left (1+a_{x:n\!\rceil}\right )
\right ]\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot P_{q}^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元或 \(\Lambda\cdot P^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元。
\begin{equation}{\label{e}}\tag{E}\mbox{}\end{equation}
比例分攤保險費.
假設每年分$h$期，將分別討論年末給付與即刻給付保險金方式。
年末給付.
採用身故當年末給付保險金方式，現年 \(x\)歲的被保險人，則其比例分攤保險費以號 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}/h\)表示。如 \(q=n\)，則其年繳純保費簡單表為 \(P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}/h\)。因此每期應繳納保費為 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}/h\)。依據之前類似論點，當被保險人在保單契約有效期間身故時，保險公司真正所給付之保險金平均為
\[1+\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}}{2h}\mbox{，}\]
其現值為
\[A_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\left (1+\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}}{2h}\right )\mbox{。}\]
根據收支平衡原則，則可得
\begin{equation}{\label{eq272}}\tag{24}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}=A_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\left (1+\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}}{2h}\right )\mbox{。}
\end{equation}
所以
\[P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}=\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}
\cdot\left (1+\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}}{2h}\right )=
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}\cdot\left (1+\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}}{2h}\right )\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq221}}\tag{25}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}=\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}}\mbox{。}
\end{equation}
令 \(\zeta =\frac{h-1}{2h}\)及 \(\eta =1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\)，
根據(\ref{eq219})及(\ref{eq221})式，可得
\[P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}=\frac{\displaystyle\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}{1-\zeta\cdot\eta}}
{\displaystyle 1-\frac{1}{2h}\cdot\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}{1-\zeta\cdot\eta}}
=\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}{1-\zeta\cdot\eta -\frac{1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}\mbox{。}\]
亦可寫成
\begin{align}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}} & =P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}\cdot\left (\zeta\cdot\eta +\frac{1}{2h}\cdot
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\right )\nonumber\\
& =P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}\cdot\left [\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )+\frac{1}{2h}\cdot\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot
\left (-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )\right ]\nonumber\\
& =P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+\frac{1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}\cdot\left [h-1+\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot
\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}-(h-1)\cdot a_{x:q\!\rceil}\right )\right ]\mbox{。}\label{eq273}\tag{26}
\end{align}
由上式可以明顯看出與年繳保費 \(P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\)比較將會產生
\[\frac{1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}\cdot\left [h-1+\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot
\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}-(h-1)\cdot a_{x:q\!\rceil}\right )\right ]\mbox{元}\]
之差額。另外，由(\ref{eq221})式，亦可得
\begin{align}
P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}} & =\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}}{1-\frac{1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}}
=\frac{\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}{1-\frac{1}{2h}
\cdot \frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}}}
=\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}}\label{eq246}\tag{27}\\
& =\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})-\frac{1}{2h}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )}\mbox{。}\nonumber
\end{align}
若 \(q=n\)，則可得較簡化之計算式為
\begin{align*}
P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}} & =\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil})
-\frac{1}{2h}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )}\\
& =\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}{\frac{h+d}{2h}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\frac{1}{2}\cdot a_{x:n\!\rceil}}
\end{align*}
及
\begin{align*}
P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}} & =P_{x:n\!\rceil}^{1}+\frac{1}{2h}
\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}\cdot\left [h-1+\frac{1}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}
-(h-1)\cdot a_{x:n\!\rceil}\right )\right ]\\
& =P_{x:n\!\rceil}^{1}+\frac{1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}\cdot\left [h\cdot\left (1
-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )-d\right ]\mbox{。}
\end{align*}
由上式可以明顯看出與年繳保費 \(P_{x:n\!\rceil}^{1}\)比較將會產生
\[\frac{1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}\cdot\left [h\cdot\left (1
-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )-d\right ]\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則比例分攤保險費應為 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}\)元或 \(\Lambda\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，其比例分攤純保費以符號 \(P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)表示之。如 \(q=n\)，則其年繳純保費簡單表為 \(P^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)。因此每期應繳納之保費為 \(P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})/h\)。根據收支平衡原則，則可得
\[P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}=\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\left (
1+\frac{P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}}{2h}\right )\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq457}}\tag{28}
P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}{1-\frac{1}{2h}
\cdot P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}\mbox{。}
\end{equation}
令 \(\zeta =\frac{h-1}{2h}\)及 \(\eta =1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\)，根據(\ref{eq457})及(\ref{eq422})式，可得
\[P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\displaystyle
\frac{P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}{1-\zeta\cdot\eta}}
{\displaystyle 1-\frac{1}{2h}\cdot\frac{P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}
{1-\zeta\cdot\eta}}=\frac{P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}
{1-\zeta\cdot\eta -\frac{1}{2h}\cdot P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})}\mbox{。}\]
亦可寫成
\begin{align*}
P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})
& =P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot
\left (\zeta\cdot\eta +\frac{1}{2h}\cdot P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\right )\\
& =P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot
\left [\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )+
\frac{1}{2h}\cdot\frac{\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{2\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right ]\\\
& =P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+\frac{1}{2h}\cdot P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot
\left [(h-1)\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )+\frac{\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{2\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right ]\mbox{。}
\end{align*}
由上式可以明顯看出與年繳保費比較將會產生
\[\frac{1}{2h}\cdot P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\left [(h-1)\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )+\frac{\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{2\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right ]\mbox{元}\]
另外，參考(\ref{eq246})式，亦可解得
\begin{align*}
P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}) & =\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}^{(h)}-\frac{1}{2h}\cdot
\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}\\
& =\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )
\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}
\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})+\frac{1}{2h}\cdot\left (
\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}\right )}
\end{align*}
若 \(q=n\)，則可得較簡化之計算式為
\begin{align*}
P^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}) & =\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )
\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}
\cdot (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil})+\frac{1}{2h}\cdot\left (
\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}\right )}\\
& =\frac{\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}
{\frac{1}{h}\cdot\left [\left (h+1+\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\right )
\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\left (h-1-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}\right ]}\mbox{。}
\end{align*}
及
\[P^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})+\frac{1}{2h}\cdot
P^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\left [h-\frac{1+\delta}{2}-\left (h-\frac{1-\delta}{2}\right )\cdot
\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right ]\mbox{。}\]
由上式可以明顯看出與年繳保費比較將會產生
\[\frac{1}{2h}\cdot P^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\left [
h-\frac{1+\delta}{2}-\left (h-\frac{1-\delta}{2}\right )\cdot
\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right ]\mbox{元}\]
之差額。假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元或 \(\Lambda\cdot P^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元。
\begin{equation}{\label{f}}\tag{F}\mbox{}\end{equation}
連續繳費.
考慮 \(h\)趨近於無窮大之情形，將分別討論年末給付與即刻給付保險金方式。
年末給付.
若採用身故當年末給付保險金方式，則其保險費以符號 \(\bar{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\)表示。如 \(q=n\)，則其年繳純保費簡單表為 \(\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}\)。依據收支平衡原則，可得
\begin{equation}{\label{eq271}}\tag{29}
\bar{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot\bar{a}_{x:q\!\rceil}=A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{，}
\end{equation}
其中 \(\bar{a}_{x:q\!\rceil}\)定義於終身壽險保費頁之(32)式，因此，可解得
\begin{align}
\bar{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{1} & =\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\bar{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{q}E_{x}\right )}\label{eq424}\tag{30}\\
& =\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}{1-\frac{1}{2\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left ((1-{}_{n}E_{x})
+\left ({}_{n}E_{x}-{}_{q}E_{x}\right )\right )}\nonumber\\
& =\frac{P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}}{1-\frac{1}{2}\cdot (P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+d)
-\frac{1}{2\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left ({}_{n}E_{x}-{}_{q}E_{x}\right )}\mbox{ (依據(\ref{eq210})式)}\mbox{。}\nonumber
\end{align}
又可推得
\begin{equation}{\label{eq270}}\tag{31}
\bar{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{1}=P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+\frac{1}{2}
\cdot\bar{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\cdot\left (P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+d
+\frac{{}_{n}E_{x}-{}_{q}E_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\mbox{。}
\end{equation}
上式亦可由另一觀點得知。因為
\[\bar{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{1}=\lim_{h\rightarrow\infty}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}\mbox{，}\]
依據(\ref{eq269})式，可得
\[\bar{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{1}=\lim_{h\rightarrow\infty}P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}
=\lim_{h\rightarrow\infty}\left [P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+\frac{h-1}{2h}
\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}\cdot\left (P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}+d
+\frac{{}_{n}E_{x}-{}_{q}E_{x}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )\right ]\mbox{，}\]
上式經計算後即可得(\ref{eq270})式。另外，由(\ref{eq424})式，亦可得
\[\bar{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{1}=\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot (1-{}_{q}E_{x})}
=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})}=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}
{\frac{1}{2}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+a_{x:q\!\rceil})}\mbox{。}\]
若 \(q=n\)，則可得較簡化之計算式為
\[\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}{\frac{1}{2}\cdot (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+a_{x:n\!\rceil})}
=\frac{P_{x:n\!\rceil}^{1}}{1-\frac{1}{2}\cdot (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)}\mbox{。}\]
又可推得
\[\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}=P_{x:n\!\rceil}^{1}+\frac{1}{2}\cdot\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot (P_{x:n\!\rceil}^{1}+d)\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則真實保險費應為 \(\Lambda\cdot\bar{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\)元或 \(\Lambda\cdot\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}\)元。
即刻給付.
若採用身故即刻給付保險金方式，則其保險費以符號 \(\bar{P}_{q}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)表示。如 \(q=n\)，則其年繳純保費簡單表為 \(\bar{P}_{q}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)。依據收支平衡原則，可得
\[\bar{P}_{q}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot\bar{a}_{x:q\!\rceil}=\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{align*}
\bar{P}_{q}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}) & =\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\bar{a}_{x:q\!\rceil}}=
\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{q}E_{x}\right )}\\
& =\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}
{\frac{1}{2}\cdot\left (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+a_{x:q\!\rceil}\right )}\\
& =\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}-\delta\cdot\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+a_{x:n\!\rceil}\right )}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+a_{x:q\!\rceil}}\mbox{。}
\end{align*}
若 \(q=n\)，則可得較簡化之計算式為
\[\bar{P}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+a_{x:n\!\rceil}}-\delta\mbox{。}\]
另外，亦可得
\[\bar{P}_{q}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\bar{a}_{x:q\!\rceil}}
=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{A_{x:n\!\rceil}^{1}}\cdot\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}{\bar{a}_{x:q\!\rceil}}=
\left (\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{A_{x:n\!\rceil}^{1}}\right )\cdot\bar{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{1}\mbox{。}\]
及
\[\bar{P}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}
=\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{A_{x:n\!\rceil}^{1}}\cdot\frac{A_{x:n\!\rceil}^{1}}
{\bar{\ddot{a}}_{x:n\!\rceil}}=\left (\frac{\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}}{A_{x:n\!\rceil}^{1}}\right )
\cdot\bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]
假設保險公司需於被保險人身故當年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則年繳純保費應為 \(\Lambda\cdot\bar{P}_{q}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元或 \(\Lambda\cdot\bar{P}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\)元。
\begin{equation}{\label{g}}\tag{G}\mbox{}\end{equation}
比較表.
將上述之結果歸納如下。
繳費期間為n年.
假設被保險人繳費至終身，則其躉繳保險費、年繳保險費及連續保險費之計算公式歸納如下表。
\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\mbox{保費類別} & \mbox{年末給付} & \mbox{即刻給付}\\ \hline
&&\\
\mbox{躉繳保險費} & A_{x:n\!\rceil}^{1}=(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}
& {\displaystyle \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{年繳保險費} & {\displaystyle P_{x:n\!\rceil}^{1}=1-d-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}
& {\displaystyle P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{1-\delta}{2}-\frac{1+\delta}{2}\cdot\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{連續保險費} & {\displaystyle \bar{P}_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}
{\frac{1}{2}\cdot (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+a_{x:n\!\rceil})}}
& {\displaystyle \bar{P}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+a_{x:n\!\rceil}}-\delta}\\
&&\\ \hline
\end{array}\]
假設將每年分成 \(h\)期，則有三類分期保險費，包括真實保險費、年賦保險費及比例分攤保險費，其計算公式歸納如下表。
\[\begin{array}{|c|c|}\hline
\mbox{繳費方式} & \mbox{真實保險費}\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil})}}\\
\mbox{年末給付} &\\
& \mbox{與年繳保險費$P_{x:n\!\rceil}^{1}$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1(h)}\cdot\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )}\\
&\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil})}}\\
即刻給付 &\\
& \mbox{與年繳保險費$P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot
\left (1-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )}\\
&\\ \hline
\end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|}\hline
\mbox{繳費方式} & \mbox{年賦保險費}\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot d}}\\
年末給付 &\\
& \mbox{與年繳保險費$P_{x:n\!\rceil}^{1}$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot d\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1[h]}}\\
&\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\left (1-\frac{h-1}{2h}\cdot d\right )}}\\
\mbox{即刻給付} &\\
& \mbox{與年繳保險費$P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})
\cdot\left [\frac{1}{2}+\frac{\delta}{2}\cdot\left (1+a_{x:n\!\rceil}\right )\right ]}\\
&\\ \hline
\end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|}\hline
\mbox{繳費方式} & \mbox{比例分攤保險費}\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}
{\frac{h+d}{2h}\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\frac{1}{2}\cdot a_{x:n\!\rceil}}}\\
\mbox{年末給付} &\\
& \mbox{與年繳保險費$P_{x:n\!\rceil}^{1}$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil}^{1\{h\}}\cdot\left [h\cdot\left (1
-\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right )-d\right ]}\\
&\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{\frac{1}{h}\cdot\left [\left (h+1+\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\right )
\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+\left (h-1-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}\right ]}}\\
\mbox{即刻給付} &\\
& \mbox{與年繳保險費$P(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{1}{2h}\cdot P^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})
\cdot\left [h-\frac{1+\delta}{2}-\left (h-\frac{1-\delta}{2}\right )\cdot\frac{a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}}\right ]}\\
&\\ \hline
\end{array}\]
繳費期間為q年.
假設被保險人繳費期間為 \(q\)年且 \(q<n\)，則其躉繳保險費、年繳保險費及連續保險費之計算公式歸納如下表。
\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\mbox{保費類別} & \mbox{年末給付} & \mbox{即刻給付}\\ \hline
&&\\
\mbox{年繳保險費} & {\displaystyle P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}
=\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left [(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right ]}
& {\displaystyle P_{q}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{2\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}}\\
&&\\ \hline
&&\\
\mbox{連續保險費} & {\displaystyle \bar{P}_{x:n\!\rceil ,q}^{1}=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}
{\frac{1}{2}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+a_{x:q\!\rceil})}}
& {\displaystyle \bar{P}_{q}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})=\frac{\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}-\delta\cdot
\left (\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+a_{x:n\!\rceil}\right )}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}+a_{x:q\!\rceil}}}\\
&&\\ \hline
\end{array}\]
假設將每年分成 \(h\)期，則有三類分期保險費，包括真實保險費、年賦保險費及比例分攤保險費，其計算公式歸納如下表。
\[\begin{array}{|c|c|}\hline
\mbox{繳費方式} & \mbox{真實保險費}\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}
-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})}}\\
\mbox{年末給付} &\\
& \mbox{與年繳保險費$P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1(h)}\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\\
&\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil ,q}^{1})=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})}}\\
\mbox{即刻給付} &\\
& \mbox{與年繳保險費$\bar{P}_{q}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{1(h)}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot
\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )}\\
&\\ \hline
\end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|}\hline
\mbox{繳費方式} & \mbox{年賦保險費}\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )}}\\
\mbox{年末給付} &\\
& \mbox{與年繳保險費$P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1[h]}\cdot
\left [1-\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}+a_{x:q\!\rceil}\right )\right ]}\\
&\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil ,q}^{1})=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})
+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}\right )}}\\
\mbox{即刻給付} &\\
& \mbox{與年繳保險費$\bar{P}_{q}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{h-1}{2h}\cdot P_{q}^{1[h]}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot
\left [1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}-\frac{\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{2\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right ]}\\
&\\ \hline
\end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|}\hline
\mbox{繳費方式} & \mbox{比例分攤保險費}\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}=\frac{(1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}}
{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})
-\frac{1}{2h}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\right )}}\\
\mbox{年末給付} &\\
& \mbox{與年繳保險費$P_{x:n\!\rceil ,q}^{1}$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{1}{2h}\cdot P_{x:n\!\rceil ,q}^{1\{h\}}\cdot
\left [(h-1)\cdot\left (1-\frac{a_{x:q\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right )+
\frac{\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}}{2\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\right ]}\\
&\\ \hline
&\\
& {\displaystyle P^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil ,q}^{1})=\frac{\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )
\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )
\cdot a_{x:n\!\rceil}}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}
\cdot (\ddot{a}_{x:q\!\rceil}-a_{x:q\!\rceil})+\frac{1}{2h}\cdot\left (
\frac{1}{2}\cdot\left (1-\delta\right )\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}
-\frac{1}{2}\cdot\left (1+\delta\right )\cdot a_{x:n\!\rceil}\right )}}\\
\mbox{即刻給付} &\\
& \mbox{與年繳保險費$\bar{P}_{q}^{1}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})$之差額為}\\
& {\displaystyle \frac{1}{2h}\cdot P_{q}^{1\{h\}}(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1})\cdot
\left [h-1+\frac{1}{\ddot{a}_{x:q\!\rceil}}\cdot\left ((1-d)\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}
-(h-1)\cdot a_{x:q\!\rceil}\right )\right ]}\\
&\\
&\\ \hline
\end{array}\]
