基本型生存年金

Jean-Leon Gerome (1824-1904) 法國畫家。

本頁有以下小節

• 生命表與生死機率
• 生存保險金
• 終身生存年金
• 定期生存年金
• 延期給付之終身生存年金
• 延期給付之定期生存年金
• 每年分數次支付之生存年金現值
• 生存年金終值
• 生存年金現值之敏感度分析

這裡將探討以生存為條件之基本型生存年金的相關計算。

\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}

生命表與生死機率.

人壽保險除了考量時間因素所產生之利息效應外，另一要素則為生死機率。由個別年齡身故機率所編製而成之彙總表，即稱為生命表(mortality table)。通常生命表之編製係根據以往生存及身故人數之統計來推測將來之身故人數，而人壽保險業用以設定身故機率或生存機率之基礎主要來自於下列兩種資料:

• 政府所有之人口統計與身故登記，此稱為普通生命表，普通生命表並不適用於人壽保險業。
• 保險業自有之身故統計，此稱為經驗生命表。一般被保險人加入保險時，原則上須通過體格檢查，告知保險公司健康狀況，再經由分類後採用各種適合被保險人之費率。人壽保險業則依其經營能力，承保各類人員事故之要保，經由保險公司與被保險人之互動關係的評估，且根據歷年人壽保險業務經驗身故統計，所作成之經驗生命表比較能符合保險公司之需求。

生命表之編製，通常假定以一千萬人為基準，依據其身故情形編製完成。事實上保險業絕不可能於同一時間有同一年齡一千萬人投保，且亦不可能觀察到逐年之身故人數。因保險業與被保險人所訂立之契約時間先後皆不同，且被保險人之年齡亦參差有別。也就是說，保險業只能考察所有與之簽定契約的被保險人，因此，可統計出下列資料:

• 被保險人各年齡層之人數;
• 考察之期間範圍;
• 在某一定期間內，每一年中各年齡層之身故率。

若確定可掌握上述之充分資料，即可編製其經驗生命表。例如 \(0\)歲者有 \(300000\)人且年終身故 \(1699\)人，則可求得$0$歲者之身故率為 \(1699/300000\)。另外，如 \(1\)歲者有 \(700000\)人且年終身故 \(2981\)人，則可求得 \(1\)歲者之身故率為 \(2981/700000\)。依序算出身故率，經驗生命表遂得以完成。

所謂生存數 \(l_{x}\)表示自出生起至滿 \(x\)歲時尚存活之人數。因此， \(l_{x}\)為 \(x\)之連續函數，且隨年齡 \(x\)增加而遞減。但實務上，生命表中只考慮整數年齡。因為零歲附近身故率變化甚大，因此生存數在短期間內會有顯著差異。例如，我國台灣國民生命表(民國 \(59\sim 60\)年)之男性部分為 \(l_{0}=100000\)人及 \(l_{40}=91460\)人。又如我國台灣壽險業第三回經驗生命表(民國 \(71\sim 75\)年)簡稱 \(1989\)TSO表(1989 Taiwan standard ordinary experience mortality table)記載 \(l_{0}=10000000\)人及 \(l_{40}=9292081\)人。

通常令 \(l_{0}=10000000\)人為基數，用來表示初生時之人數，若令存活函數 \(S(x)\)表生存至 \(x\)歲時之生存機率，則所有 \(l_{0}\)人在  \(x\)歲時，將有 \(l_{0}\cdot S(x)\)人仍生存，此即為 \(x\)歲時之所有生存人數 \(l_{x}\)，其關係式可表示如下:
\begin{equation}{\label{eq493}}\tag{1}
l_{x}=l_{0}\cdot S(x)\mbox{。}
\end{equation}

所謂身故數 \(d_{x}\)表示於 \(x\)歲之生存人數 \(l_{x}\)中，經過整整一年後之身故人數，因此可定義為
\[d_{x}=l_{x}-l_{x+1}=\Delta l_{x}\mbox{。}\]
生命之最高年齡，也就是極限年齡，通常以 \(\omega\)來表示，即 \(l_{\omega}=0\)。所謂身故率 \(q_{x}\)表示 \(x\)歲之人在一年內身故之機率。因此，其關係式為
\[q_{x}=\frac{d_{x}}{l_{x}}=\frac{l_{x}-l_{x+1}}{l_{x}}\mbox{。}\]
上式亦可表為
\begin{align*}
q_{x} & =\frac{l_{x}-l_{x+1}}{l_{x}}=\frac{l_{0}\cdot S(x)-l_{0}\cdot S(x+1)}{l_{0}\cdot S(x)}\\
& =\frac{l_{0}\cdot [S(x)-S(x+1)]}{l_{0}\cdot S(x)}=\frac{S(x)-S(x+1)}{S(x)}\mbox{。}
\end{align*}

所謂生存率 \(p_{x}\)表示 \(x\)歲之人經過一年之後仍然生存之機率。因此，其關係式為
\[p_{x}=1-q_{x}=\frac{l_{x+1}}{l_{x}}\mbox{。}\]
上式亦可表為
\begin{equation}{\label{eq52}}\tag{2}
p_{x}=\frac{l_{x+1}}{l_{x}}=\frac{l_{0}\cdot S(x+1)}{l_{0}\cdot S(x)}=\frac{S(x+1)}{S(x)}\mbox{。}
\end{equation}

依據(\ref{eq52})式，可考慮 \(x\)歲之人在 \(n\)年之後仍然生存之機率，此機率用符號 \({}_{n}p_{x}\)表示。因此，其關係式可定義為
\[{}_{n}p_{x}=\frac{l_{n+x}}{l_{x}}=\frac{l_{x+1}}{l_{x}}\cdot\frac{l_{x+2}}{l_{x+1}}\cdots\frac{l_{x+n}}{l_{x+n-1}}=
p_{x}\cdot p_{x+1}\cdots p_{x+n-1}\mbox{。}\]
亦可得下列關係式:
\[{}_{m+n}p_{x}=\frac{l_{x+m+n}}{l_{x}}=\frac{l_{x+m}}{l_{x}}\cdot
\frac{l_{x+m+n}}{l_{x+m}}={}_{m}p_{x}\cdot {}_{n}p_{x+m}\mbox{。}\]
另外，可考慮 \(x\)歲之人在 \(n\)年內身故之機率，此機率用符號 \({}_{n}q_{x}\)表示。其關係式定義為
\begin{equation}{\label{eq53}}\tag{3}
{}_{n}q_{x}=1-{}_{n}p_{x}=1-\frac{l_{n+x}}{l_{x}}=\frac{l_{x}-l_{n+x}}{l_{x}}
\end{equation}

依據(\ref{eq53})式，可考慮 \(x\)歲之人在 \(x+m\)與 \(x+m+n\)歲之 \(n\)年間內身故之機率，此機率用符號 \({}_{m|n}q_{x}\)來表示。其關係式定義為
\begin{align*}
{}_{m|n}q_{x} & =\frac{l_{x+m}-l_{x+m+n}}{l_{x}}=\frac{d_{x+m}+d_{x+m+1}+\cdots +d_{x+m+n-1}}{l_{x}}\\
& ={}_{m}q_{x}+{}_{m+1}q_{x}+\cdots +{}_{m+n-1}q_{x}\mbox{。}
\end{align*}
亦可得下列關係式:
\[{}_{m|n}q_{x}={}_{m}p_{x}-{}_{m+n}p_{x}={}_{m+n}q_{x}-{}_{m}q_{x}={}_{m}p_{x}\cdot {}_{n}q_{x+m}\mbox{。}\]
同理，可考慮 \(x\)歲之人在 \(x+m\)與 \(x+m+n\)歲之 \(n\)年間內仍然生存之機率，此機率用符號 \({}_{m|n}p_{x}\)來表示。其關係式定義為
\[{}_{m|n}p_{x}=1-{}_{m|n}q_{x}\mbox{。}\]
如 \(n=1\)，則符號可簡單表為 \({}_{m|n}q_{x}\equiv {}_{m|}q_{x}\)及 \({}_{m|n}p_{x}\equiv {}_{m|}p_{x}\)。因此可知
\begin{equation}{\label{eq87}}\tag{4}
{}_{t|}q_{x}=\frac{d_{x+t}}{l_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
由(\ref{eq53})式，亦可得
\[{}_{n}q_{x}=\frac{l_{x}-l_{n+x}}{l_{x}}=\frac{d_{x}+d_{x+1}+\cdots +d_{x+n-1}}{l_{x}}
=q_{x}+{}_{1|}q_{x}+{}_{2|}q_{x}+\cdots +{}_{n-1|}q_{x}\]
及
\begin{equation}{\label{eq88}}\tag{5}
{}_{t|}p_{x}\cdot q_{x+t}=\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\frac{d_{x+t}}{l_{x+t}}=\frac{d_{x+t}}{l_{x}}={}_{t|}q_{x}\mbox{。}
\end{equation}

最後定義所謂的平均餘命或生命期望值。假定身故者都在年初身故，則 \(x\)歲後第一年全體生存之總年數共 \(l_{x+1}\)年，同理，第二年全體生存之總年數為 \(l_{x+2}\)年。以此類推，此 \(x\)歲之人總生存年數為
\[l_{x+1}+l_{x+2}+\cdots +l_{\omega}\mbox{。}\]
所以生命期望值 \(e_{x}\)定義為
\[e_{x}=\frac{l_{x+1}+l_{x+2}+\cdots +l_{\omega}}{l_{x}}\mbox{。}\]
生命期望值 \(e_{x}\)表示現年 \(x\)歲之人仍可再生存若干年之平均數，亦即每一個到達 \(x\)歲之人，其今後仍可生存之平均年數。很明顯地，此一假設現象並不合理，因為不可能所有的人都在年初身故。於是便假定在一年中之身故數呈均勻分布，或可假定於年中身故，換句話說，每人應該比年初身故多活半年，所以可定義
\[\stackrel{\circ}{e}=e_{x}+0.5\mbox{。}\]
並稱此為完全生命期望值。

\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}

生存保險金.

令 \(v\)為折現因子。假設在 \(x\)歲時仍存活之 \(l_{x}\)個人，每人每年支出 \(1\)元給保險公司，則總共支出 \(l_{x}\)元。若以出生 \(0\)歲時為評價點，則現值以符號 \(D_{x}\)表示並定義為
\[D_{x}=v^{x}\cdot l_{x}\mbox{。}\]
而現值總和以符號 \(N_{x}\)表示並定義為
\[N_{x}=D_{x}+D_{x+1}+\cdots +D_{\omega}\mbox{。}\]
因 \(l_{\omega}=0\)，可知
\begin{equation}{\label{eq123}}\tag{6}
N_{\omega}=D_{\omega}=0\mbox{。}
\end{equation}

假設現年 \(x\)歲的被保險人，若 \(n\)年後仍然生存時，可得到保險公司給付 \(1\)元保險金，則其現值以符號 \({}_{n}E_{x}\)表示並定義為
\begin{equation}{\label{eq66}}\tag{7}
{}_{n}E_{x}=v^{n}\cdot {}_{n}p_{x}=v^{n}\cdot\frac{l_{x+n}}{l_{x}}
=\frac{v^{x+n}\cdot l_{x+n}}{v^{x}\cdot l_{x}}=\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
此現值 \({}_{n}E_{x}\)亦稱為生存保險金(pure endowment)，其意義為 \(1\)元之現值 \(v^{n}\)乘上生存機率 \({}_{n}p_{x}\)。亦可由收入等於支出的觀點來得出 \({}_{n}E_{x}\)，因總收入為 \({}_{n}E_{x}\cdot l_{x}\cdot (1+i)^{n}\)及總支出為 \(l_{x+n}\)，可得
\[{}_{n}E_{x}\cdot l_{x}\cdot (1+i)^{n}=l_{x+n}\mbox{，}\]
故可解出現值 \({}_{n}E_{x}\)為
\[{}_{n}E_{x}=\frac{1}{(1+i)^{n}}\cdot\frac{l_{x+n}}{l_{x}}=v^{n}\cdot {}_{n}p_{x}\mbox{。}\]
一般情形，假設現年 \(x\)歲的被保險人，若 \(n\)年後仍然生存時，可得到保險公司給付 \(\Lambda\)元保險金，則其現值將為 \(\Lambda\cdot {}_{n}E_{x}\)。

\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}

終身生存年金.

生存年金是指自契約約定日起，保險公司開始按期給付一定金額與被保險人至某一特定時期終止或某一特定個體身故為止。首先探討終身生存年金。所謂終身生存年金(whole life annuity)係指保險公司按期每年給付一定金額與被保險人直到被保險人身故為止。而給付方式又可分為年末給付終身生存年金(whole life annuity immediate)及年初給付終身生存年金(whole life annuity-due)。

年末給付.

假設被保險人於保單契約生效後仍然生存時，保險公司需於每年末給付被保險人 \(1\)元直至終身，則其終身生存年金之現值以符號  \(a_{x}\)表示。接著，將依據保險公司之總收入等於總支出的觀點來推導 \(a_{x}\)之計算公式。假設由現年 \(x\)歲之 \(l_{x}\)個被保險人中，每人籌措資金 \(a_{x}\)予保險公司，則保險公司之總收入為 \(a_{x}\cdot l_{x}\)。若以後仍然生存者，保險公司需於每年末給付每 \(1\)元，直到 \(l_{x}\)個人全部身故為止。則保險公司之支出情形如下說明:

• 第 \(x+1\)年末，保險公司需支出之現值為 \(v\cdot l_{x+1}\)
• 第 \(x+2\)年末，保險公司需支出之現值為 \(v^{2}\cdot l_{x+2}\)
• 依此類推，第 \(x+t\)年末，保險公司需支出之現值為 \(v^{t}\cdot l_{x+t}\)
• 直到終極年紀 \(\omega\)，此時保險公司需支出之現值為 \(v^{\omega -x}\cdot l_{\omega}\)。

因此，保險公司之總支出為
\[v\cdot l_{x+1}+v^{2}\cdot l_{x+2}+\cdots v^{\omega -x}\cdot l_{\omega}\mbox{。}\]
依據收入等於支出的觀點，可得知
\begin{equation}{\label{eq320}}\tag{8}
a_{x}\cdot l_{x}=v\cdot l_{x+1}+v^{2}\cdot l_{x+2}+\cdots v^{\omega -x}\cdot l_{\omega}\mbox{。}
\end{equation}
因此，可解得
\begin{align*}
a_{x} & =\frac{v\cdot l_{x+1}+v^{2}\cdot l_{x+2}+\cdots v^{\omega -x}\cdot l_{\omega}}{l_{x}}\\
& =\frac{v^{x}\cdot\left (v\cdot l_{x+1}+v^{2}\cdot l_{x+2}+\cdots v^{\omega -x}\cdot l_{\omega}\right )}{v^{x}\cdot l_{x}}\\
& =\frac{D_{x+1}+D_{x+2}+\cdots +D_{\omega}}{D_{x}}\\
& =\frac{N_{x+1}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}

由另一觀點，現值 \(a_{x}\)可解釋為所有生存保險金加總，因此可得
\begin{equation}{\label{eq69}}\tag{9}
a_{x}={}_{1}E_{x}+{}_{2}E_{x}+\cdots +{}_{\omega -x}E_{x}
=\frac{D_{x+1}+D_{x+2}+\cdots +D_{\omega}}{D_{x}}=\frac{N_{x+1}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
一般情形，若保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則其現值為 \(\Lambda\cdot a_{x}\)。

年初給付.

考慮年初給付，則終身生存年金之現值以符號 \(\ddot{a}_{x}\)表示。假設由現年 \(x\)歲之 \(l_{x}\)個被保險人中，每人籌措資金  \(\ddot{a}_{x}\)予保險公司，若以後仍然生存者，則保險公司需於每年初給付每入 \(1\)元，直到 \(l_{x}\)個人全部身故為止。若現值  \(\ddot{a}_{x}\)解釋為所有生存保險金加總，則可得其計算公式為
\[\ddot{a}_{x}={}_{0}E_{x}+{}_{1}E_{x}+{}_{2}E_{x}+\cdots +{}_{\omega -x}E_{x}
=\frac{D_{x}+D_{x+1}+D_{x+2}+\cdots +D_{\omega}}{D_{x}}=\frac{N_{x}}{D_{x}}\mbox{。}\]
另外，依據收入等於支出的觀點，可得
\begin{equation}{\label{eq321}}\tag{10}
\ddot{a}_{x}\cdot l_{x}=l_{x}+v\cdot l_{x+1}+v^{2}\cdot l_{x+2}+\cdots v^{\omega -x}\cdot l_{\omega}\mbox{。}
\end{equation}
因此，可解得
\begin{align*}
\ddot{a}_{x} & =\frac{l_{x}+v\cdot l_{x+1}+v^{2}\cdot l_{x+2}+\cdots v^{\omega -x}\cdot l_{\omega}}{l_{x}}\\
& =\frac{v^{x}\cdot\left (l_{x}+v\cdot l_{x+1}+v^{2}\cdot l_{x+2}+\cdots v^{\omega -x}\cdot l_{\omega}\right )}{v^{x}\cdot l_{x}}\\
& =\frac{D_{x}+D_{x+1}+\cdots +D_{\omega}}{D_{x}}\\
& =\frac{N_{x}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
一般情形，若保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元保險金，則其現值為 \(\Lambda\cdot a_{x}\)。而 \(\ddot{a}_{x}\)與\(a_{x}\)之關係如下所示:
\begin{align}
\ddot{a}_{x} & =\frac{D_{x}+D_{x+1}+D_{x+2}+\cdots +D_{\omega}}{D_{x}}
=1+\frac{D_{x+1}+D_{x+2}+\cdots +D_{\omega}}{D_{x}}\nonumber\\
& =1+\frac{N_{x+1}}{D_{x}}=1+a_{x}\mbox{。}\label{eq95}\tag{11}
\end{align}

例題. 保險公司擬於每年末給付 \(100\)萬元予 \(100\)歲時仍生存之男性。假設利率 \(i=6\%\)，經查表後，可求得其現值為
\[100\mbox{萬元}\times a_{100}=100\cdot \frac{N_{101}}{D_{100}}=100\cdot\frac{16.48}{20.70}=79.61\mbox{萬元。}\]
假設簽定契約時為年初給付，經查表後，可得其現值為
\[100\mbox{萬元}\times \ddot{a}_{100}=100\cdot \frac{N_{100}}{D_{100}}=100\cdot\frac{37.17}{20.70}=179.61\mbox{萬元。}\]
亦可由(\ref{eq95})式求得其現值。$latex\sharp$

\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}

定期生存年金.

定期生存年金(temporary life annuity)係指保險公司支付被保險人至契約約定之到期日止或至被保險人身故為止。又可分為年末給付之  \(n\)年定期生存年金(n-year temporary immediate life annuity)及年初給付之 \(n\)年定期生存年金(n-year temporary life annuity-due)。

年末給付.

考慮年末給付，其 \(n\)年定期生存年金之現值以符號 \(a_{x:n\!\rceil}\)表示。假設由現年 \(x\)歲之 \(l_{x}\)個被保險人中，每人籌措資金  \(a_{x:n\!\rceil}\)予保險公司，若以後仍然生存者，保險公司需於每年末給付每入 \(1\)元，直到第 \(x+n\)年為止。若現值  \(a_{x:n\!\rceil}\)解釋為所有生存保險金加總，則可得其計算公式為
\begin{align}
a_{x:n\!\rceil} & ={}_{1}E_{x}+{}_{2}E_{x}+\cdots +{}_{n}E_{x}=\frac{D_{x+1}+D_{x+2}+\cdots +D_{x+n}}{D_{x}}\nonumber\\
& =\frac{1}{l_{x}}\cdot\left (v\cdot l_{x+1}+v^{2}\cdot l_{x+2}+\cdots v^{n}\cdot l_{x+n}\right )\mbox{。}\label{eq330}\tag{12}
\end{align}
因為
\[N_{x+1}=D_{x+1}+\cdots +D_{x+n}+D_{x+n+1}+\cdots +D_{\omega}\]
及
\[N_{x+n+1}=D_{x+n+1}+\cdots +D_{\omega}\mbox{，}\]
其現值 \(a_{x:n\!\rceil}\)亦可表示為
\[a_{x:n\!\rceil}=\frac{N_{x+1}-N_{x+n+1}}{D_{x}}\mbox{。}\]
一般情形，若保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則其現值為 \(\Lambda\cdot a_{x:n\!\rceil}\)。

年初給付.

考慮年初給付，其 \(n\)年定期生存年金之現值以符號 \(\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)表示。假設由現年 \(x\)歲之 \(l_{x}\)個被保險人中，每人籌措資金 \(\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)予保險公司，若以後仍然生存者，則保險公司需於每年初給付每入 \(1\)元，直到第 \(x+n-1\)年為止。若現值  \(\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)解釋為所有生存保險金加總，則可得其計算公式為
\begin{align}
\ddot{a}_{x:n\!\rceil} & ={}_{0}E_{x}+{}_{1}E_{x}+\cdots +{}_{n-1}E_{x}=\frac{D_{x}+D_{x+1}+\cdots +D_{x+n-1}}{D_{x}}
=\frac{N_{x}-N_{x+n}}{D_{x}}\nonumber\\
& =\frac{1}{l_{x}}\cdot\left (l_{x}+v\cdot l_{x+1}+v^{2}\cdot l_{x+2}+\cdots v^{n-1}\cdot l_{x+n-1}\right )\mbox{。}\label{eq331}\tag{13}
\end{align}
一般情形，若保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元保險金，則其現值為 \(\Lambda\cdot \ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)。

年末給付與年初給付 \(n\)年定期生存年金之關係如下所示:
\begin{equation}{\label{eq244}}\tag{14}
\ddot{a}_{x:n\!\rceil}=\frac{N_{x}-N_{x+n}}{D_{x}}=\frac{D_{x}+(N_{x+1}-N_{x+n})}{D_{x}}
=1+\frac{N_{x+1}-N_{x+n}}{D_{x}}=1+a_{x:n-1\!\rceil}\mbox{。}
\end{equation}

例題. 假設 \(25\)歲男性與保險公司簽定 \(10\)年期定期生存年金保單，契約約定保險公司需於每年末被保險人仍生存時給付定期生存年金  \(10000\)元。若利率 \(i=6\%\)，經查表後，可求得其現值為
\[10000\cdot a_{25:10\!\rceil}=10000\cdot \frac{N_{26}-N_{36}}{D_{25}}
=10000\cdot\frac{33556577.38-17242060.09}{2237556.54}=72912\mbox{元。}\]
假設簽定契約時為年初給付，經查表後，可求得其現值為
\[10000\cdot\ddot{a}_{25:10\!\rceil}=10000\cdot \frac{N_{25}-N_{35}}{D_{25}}
=10000\cdot\frac{35794133.92-18467828.61}{2237556.54}=77434\mbox{元。}\]

\begin{equation}{\label{e}}\tag{E}\mbox{}\end{equation}

延期給付之終身生存年金.

延期給付生存年金(deferred life annuity)係指保險公司於經過固定年數後才開始給付生存年金。此型年金有可分為延期 \(m\)年之終身生存年金及延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生存年金。而延期 \(m\)年之終身生存年金又可分為年末給付與年初給付。

年末給付.

考慮年末給付，則其延期 \(m\)年終身生存年金之現值以符號 \({}_{m|}a_{x}\)表示。假設由現年 \(x\)歲之 \(l_{x}\)個被保險人中，每人籌措資金 \({}_{m|}a_{x}\)予保險公司，若於 \(n\)年後仍然生存者，則保險公司需於每年末給付每人 \(1\)元，直到 \(l_{x}\)個人全部身故為止。若現值 \({}_{m|}a_{x}\)解釋為所有生存保險金加總，則可得其計算公式為
\begin{align}
{}_{m|}a_{x} & ={}_{m+1}E_{x}+{}_{m+2}E_{x}+\cdots +{}_{\omega -x}E_{x}
=\frac{D_{x+m+1}+D_{x+m+2}+\cdots +D_{\omega}}{D_{x}}\nonumber\\
& =\frac{N_{x+m+1}}{D_{x}}=\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\frac{N_{x+m+1}}{D_{x+m}}={}_{m}E_{x}\cdot a_{x+m}\mbox{。}\label{eq57}\tag{15}
\end{align}
亦可得下列之關係式:
\begin{equation}{\label{eq96}}\tag{16}
a_{x:m\!\rceil}=a_{x}-{}_{m|}a_{x}\mbox{。}
\end{equation}
一般情形，若保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x}\)。

年初給付.

考慮年初給付，則其延期 \(m\)年終身生存年金之現值以符號 \({}_{m|}\ddot{a}_{x}\)表示，其意義為由現年 \(x\)歲之 \(l_{x}\)個被保險人中，每人籌措資金 \({}_{m|}\ddot{a}_{x}\)予保險公司，若於 \(m\)年後仍然生存者，則保險公司需於每年初給付每入 \(1\)元，直 \(l_{x}\)個人全部身故為止。若現值 \({}_{m|}\ddot{a}_{x}\)解釋為所有生存保險金加總，則可得其計算公式為
\begin{align}
{}_{m|}\ddot{a}_{x} & ={}_{m}E_{x}+{}_{m+1}E_{x}+\cdots +{}_{\omega -x}E_{x}
=\frac{D_{x+m}+D_{x+m+1}+\cdots +D_{\omega}}{D_{x}}\nonumber\\
& =\frac{N_{x+m}}{D_{x}}=\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\frac{N_{x+m}}{D_{x+m}}={}_{m}E_{x}\cdot\ddot{a}_{x+m}\mbox{。}\label{eq58}\tag{17}
\end{align}
亦可得下列之關係式:
\begin{equation}{\label{eq97}}\tag{18}
\ddot{a}_{x:m\!\rceil}=\ddot{a}_{x}-{}_{m|}\ddot{a}_{x}\mbox{。}
\end{equation}
年末給付與年初給付之延期 \(m\)年終身生存年金兩者之關係如下所示:
\[{}_{m|}\ddot{a}_{x}=\frac{N_{x+m}}{D_{x}}=\frac{N_{x+(m-1)+1}}{D_{x}}={}_{m-1|}a_{x}\mbox{。}\]
一般情形，若保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元保險金，則其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x}\)。

例題. 假設 \(30\)歲男性與保險公司簽定延期 \(10\)年之終身生存年金保單，契約約定保險公司需於 \(10\)年後之每年末仍生存時給付生存年金  \(10000\)元。假設利率 \(i=6\%\)，經查表後，可得其現值為
\[10000\cdot {}_{10|}a_{30\!\rceil}=10000\cdot \frac{N_{41}}{D_{30}}
=10000\cdot\frac{12117384.90}{1656619.90}=73145\mbox{元。}\]
假設簽定契約為10年後之每年初仍生存時給付生存年金 \(10000\)元，經查表後，可得其現值為
\[10000\cdot {}_{10|}\ddot{a}_{30\!\rceil}=10000\cdot \frac{N_{40}}{D_{30}}\mbox{元。}\]

\begin{equation}{\label{f}}\tag{F}\mbox{}\end{equation}

延期給付之定期生存年金.

延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生存年金又可分為年末給付與年初給付。

年末給付

考慮年末給付，則其延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生存年金之現值以符號 \({}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)表示。假設由現年 \(x\)歲之 \(l_{x}\)個被保險人中，每人籌措資金 \({}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)予保險公司，若於$n$年後仍然生存者，則保險公司需於每年末給付生存者每人 \(1\)元，直到第 \(x+n+m\)年為止。若現值 \({}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)解釋為所有生存保險金加總，則可得其計算公式為
\[{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}={}_{m+1}E_{x}+{}_{m+2}E_{x}+\cdots +{}_{n+m}E_{x}=
\frac{D_{x+m+1}+D_{x+m+2}+\cdots +D_{x+n+m}}{D_{x}}\mbox{。}\]
因為
\[N_{x+m+1}=D_{x+m+1}+\cdots +D_{x+n+m}+D_{x+n+m+1}+\cdots +D_{\omega}\]
及
\[N_{x+n+m+1}=D_{x+n+m+1}+\cdots +D_{\omega}\mbox{，}\]
因此現值 \({}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)可表示為
\begin{equation}{\label{eq98}}\tag{19}
{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}=\frac{N_{x+m+1}-N_{x+n+m+1}}{D_{x}}
=\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\frac{N_{x+m+1}-N_{x+n+m+1}}{D_{x+m}}={}_{m}E_{x}\cdot a_{m+x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{equation}
亦可得下列之關係式:
\[{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}=a_{x+m}-{}_{n+m|}a_{x}\mbox{。}\]
一般情形，若保險公司需於每年末給付 \(\Lambda\)元保險金，則其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\)。

年初給付.

考慮年初給付，則其延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生存年金之現值以符號 \({}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)表示。假設由現年 \(x\)歲 \(l_{x}\)個被保險人中，每人籌措資金 \({}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)予保險公司，若於 \(n\)年後仍然生存者，則保險公司需於每年初給付生存者每人 \(1\)元，直到第 \(x+n+m\)年為止。若現值 \({}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)解釋為所有生存保險金加總，則可得其計算公式為
\begin{align}
{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil} & ={}_{m}E_{x}+{}_{m+1}E_{x}+\cdots +{}_{n+m-1}E_{x}\nonumber\\
& =\frac{D_{x+m}+D_{x+m+1}+\cdots +D_{x+n+m-1}}{D_{x+m}}=\frac{N_{x+m}-N_{x+n+m}}{D_{x}}\nonumber\\
& ={}_{m}E_{x}\cdot\ddot{a}_{m+x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq99}\tag{20}
\end{align}
亦可得下列之關係式:
\[{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}=\ddot{a}_{x+m}-{}_{n+m|}\ddot{a}_{x}\mbox{。}\]
年末給付與年初給付之延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生存年金兩者之關係如下所示:
\begin{align}
{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil} & =\frac{N_{x+m}-N_{x+m+n}}{D_{x}}
=\frac{D_{x}+(N_{x+m+1}-N_{x+m+n})}{D_{x}}\nonumber\\
& =1+\frac{N_{x+m+1}-N_{x+m+n}}{D_{x}}=1+{}_{m|}a_{x:n-1\!\rceil}\label{eq303}\tag{21}
\end{align}
及
\[{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}=\frac{N_{x+m}-N_{x+n+m}}{D_{x}}
=\frac{N_{x+(m-1)+1}-N_{x+(m-1)+n+1}}{D_{x}}={}_{m-1|}a_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
一般情形，若保險公司需於每年初給付 \(\Lambda\)元保險金，則其現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\)。

例題. 假設 \(30\)歲男性與保險公司簽定延期 \(10\)年之 \(20\)年定期生存年金保單，契約約定保險公司需於 \(10\)年後之每年末仍生存時給付生存年金 \(10000\)元，直到第 \(60\)年為止。假設利率 \(i=6\%\)，經查表後，可得其現值為
\[10000\cdot {}_{10|}a_{30:20\!\rceil}=10000\cdot \frac{N_{41}-N_{61}}{D_{30}}
=10000\cdot\frac{12117384.90-2261147.40}{1656619.90}=59496\mbox{元。}\]
假設簽定契約為 \(10\)年後之每年初仍生存時給付生存年金 \(10000\)元，直到第 \(60\)年為止，可得其現值為
\[10000\cdot {}_{10|}\ddot{a}_{30:20\!\rceil}=10000\cdot \frac{N_{40}-N_{60}}{D_{30}}\mbox{元。}\]
經查表後，可得其實際數值。 \(\sharp\)

因 \(D_{x}\)及 \(N_{x}\)之值可查表得知，茲將各種年金之計算式整理如下表: 生存年金之現值
\[\begin{array}{ccc}\hline &&\\
類別 &  年末給付 & 年初給付\\ &&\\ \hline &&\\
終身保險 & {\displaystyle a_{x}=\frac{N_{x+1}}{D_{x}}} & {\displaystyle \ddot{a}_{x}=\frac{N_{x}}{D_{x}}}\\
&&\\ \hline &&\\
\mbox{$n$年定期保險} & {\displaystyle a_{x:n\!\rceil}=\frac{N_{x+1}-N_{x+n+1}}{D_{x}}} &
{\displaystyle \ddot{a}_{x:n\!\rceil}=\frac{N_{x}-N_{x+n}}{D_{x}}}\\
&&\\ \hline &&\\
\mbox{延期$m$年終身保險} & {\displaystyle {}_{m|}a_{x}=\frac{N_{x+m+1}}{D_{x}}} &
{\displaystyle {}_{m|}\ddot{a}_{x}=\frac{N_{x+m}}{D_{x}}}\\
&&\\ \hline &&\\
\mbox{延期$m$年之$n$年定期保險} & {\displaystyle {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}=\frac{N_{x+m+1}-N_{x+n+m+1}}{D_{x}}} &
{\displaystyle {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}=\frac{N_{x+m}-N_{x+n+m}}{D_{x}}}\\
&&\\ \hline
\end{array}\]

\begin{equation}{\label{g}}\tag{G}\mbox{}\end{equation}

每年分數次支付之生存年金現值.

假設保險公司每年給付 \(1\)元生存年金，且以每年分 \(h\)期來支付生存年金，因此每期需支付 \(1/h\)元。各種不同類型年金之現值，茲分述如下:

• 每期末給付 \(1/h\)元，其現值以符號 \(a_{x}^{(h)}\)表示且計算式定義為
  \[a_{x}^{(h)}=\frac{1}{h}\cdot {}_{1|}\ddot{a}_{x}+\frac{1}{h}\cdot {}_{1-\frac{1}{h}|}\ddot{a}_{x}
  +\frac{1}{h}\cdot {}_{1-\frac{2}{h}|}\ddot{a}_{x}+\cdots +\frac{1}{h}\cdot {}_{\frac{1}{h}|}\ddot{a}_{x}\mbox{。}\]
  因為 \({}_{1|}\ddot{a}_{x}=a_{x}\)，所以可考慮下列近似值:
  \begin{align*}
  & {}_{1-\frac{1}{h}|}\ddot{a}_{x}\approx {}_{1|}\ddot{a}_{x}+\frac{1}{h}=a_{x}+\frac{1}{h}\\
  & {}_{1-\frac{2}{h}|}\ddot{a}_{x}\approx {}_{1|}\ddot{a}_{x}+\frac{2}{h}=a_{x}+\frac{2}{h}\\
  & \vdots\\
  & {}_{\frac{1}{h}|}\ddot{a}_{x}\approx {}_{1|}\ddot{a}_{x}+\frac{h-1}{h}=a_{x}+\frac{h-1}{h}\mbox{。}
  \end{align*}
  因此可得
  \begin{equation}{\label{eq112}}\tag{22}
  a_{x}^{(h)}\approx a_{x}+\frac{h(h-1)}{2h}\cdot\frac{1}{h}=a_{x}+\frac{h-1}{2h}=\frac{N_{x+1}}{D_{x}}+\frac{h-1}{2h}\mbox{。}
  \end{equation}
• 每期初給付 \(1/h\)元，其現值以符號 \(\ddot{a}_{x}^{(h)}\)表示，根據(\ref{eq95})式，其計算式定義為
  \[\ddot{a}_{x}^{(h)}=a_{x}^{(h)}+\frac{1}{h}\mbox{。}\]
  依據(\ref{eq112})式，可得
  \begin{equation}{\label{eq191}}\tag{23}
  \ddot{a}_{x}^{(h)}\approx a_{x}+\frac{h-1}{2h}+\frac{1}{h}=a_{x}+\frac{h+1}{2h}=\frac{N_{x+1}}{D_{x}}+\frac{h+1}{2h}\mbox{。}
  \end{equation}
  另外，再依據(\ref{eq95})式，亦可得
  \begin{equation}{\label{eq199}}\tag{24}
  \ddot{a}_{x}^{(h)}\approx a_{x}+\frac{h+1}{2h}=\ddot{a}_{x}-1+\frac{h+1}{2h}=\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}\mbox{。}
  \end{equation}
• 延期 \(m\)年且每期末給付 \(1/h\)元，其現值以符號 \({}_{m|}a_{x}^{(h)}\)表示，根據(\ref{eq57})式，其計算式定義為
  \[{}_{m|}a_{x}^{(h)}={}_{m}E_{x}\cdot a_{x+m}^{(h)}\mbox{。}\]
  依據(\ref{eq112})式，可得
  \begin{equation}{\label{eq100}}\tag{25}
  {}_{m|}a_{x}^{(h)}\approx\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\left (\frac{N_{x+m+1}}{D_{x+m}}+\frac{h-1}{2h}\right )
  =\frac{N_{x+m+1}}{D_{x}}+\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\frac{h-1}{2h}\mbox{。}
  \end{equation}
  另外，再依據(\ref{eq112})式，亦可得
  \begin{equation}{\label{eq200}}\tag{26}
  {}_{m|}a_{x}^{(h)}\approx {}_{m}E_{x}\cdot\left (a_{x+m}+\frac{h-1}{2h}\right )
  ={}_{m|}a_{x}+{}_{m}E_{x}\cdot\frac{h-1}{2h}\mbox{。}
  \end{equation}
• 延期 \(m\)年且每期初給付 \(1/h\)元，其現值以符號 \({}_{m|}\ddot{a}_{x}^{(h)}\)表示，根據(\ref{eq58})式，其計算式定義為
  \[{}_{m|}\ddot{a}_{x}^{(h)}={}_{m}E_{x}\cdot\ddot{a}_{x+m}^{(h)}\mbox{。}\]
  依據(\ref{eq191})式，可得
  \[{}_{m|}\ddot{a}_{x}^{(h)}\approx\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\left (\frac{N_{x+m+1}}{D_{x+m}}+\frac{h+1}{2h}\right )
  =\frac{N_{x+m+1}}{D_{x}}+\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\frac{h+1}{2h}\mbox{。}\]
  另外，再依據(\ref{eq199})式，亦可得
  \begin{equation}{\label{eq201}}\tag{27}
  {}_{m|}\ddot{a}_{x}^{(h)}\approx {}_{m}E_{x}\cdot\left (\ddot{a}_{x+m}-\frac{h-1}{2h}\right )
  ={}_{m|}\ddot{a}_{x}-{}_{m}E_{x}\cdot\frac{h-1}{2h}\mbox{。}
  \end{equation}
•  $n$年定期且每期末給付 \(1/h\)元，其現值以符號 \(a_{x:n\!\rceil}^{(h)}\)表示，根據(\ref{eq96})式，其計算式定義為
  \[a_{x:n\!\rceil}^{(h)}=a_{x}^{(h)}-{}_{n|}a_{x}^{(h)}\mbox{。}\]
  依據(\ref{eq112})及(\ref{eq200})式，可得
  \begin{align}
  a_{x:n\!\rceil}^{(h)} & \approx a_{x}+\frac{h-1}{2h}-\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\cdot\left (a_{x+n}+\frac{h-1}{2h}\right )\nonumber\\
  & =\frac{N_{x+1}}{D_{x}}+\frac{h-1}{2h}-\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\cdot\left (\frac{N_{x+n+1}}{D_{x+n}}+\frac{h-1}{2h}\right )\nonumber\\
  & =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+1}-N_{x+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x}-D_{x+n})\right ]\mbox{。}\label{eq101}\tag{28}
  \end{align}
  另外，再依據(\ref{eq112})及(\ref{eq200})式並運用(\ref{eq96})式，亦可得
  \begin{equation}{\label{eq202}}\tag{29}
  a_{x:n\!\rceil}^{(h)}\approx a_{x}+\frac{h-1}{2h}-{}_{n|}a_{x}-{}_{n}E_{x}\cdot\frac{h-1}{2h}
  =a_{x:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\mbox{。}
  \end{equation}
•  $n$年定期且每期初給付 \(1/h\)元，其現值以符號 \(\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}\)表示，根據(\ref{eq97})式，其計算式定義為
  \[\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\ddot{a}_{x}^{(h)}-{}_{n|}\ddot{a}_{x}^{(h)}\mbox{。}\]
  依據(\ref{eq199})及(\ref{eq201})式，可得
  \begin{align}
  \ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)} & \approx a_{x}+\frac{h+1}{2h}-\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\cdot\left (\ddot{a}_{x+n}-\frac{h-1}{2h}\right )\nonumber\\
  & =\frac{N_{x+1}}{D_{x}}+\frac{h+1}{2h}-\frac{D_{x+n}}{D_{x}}\cdot\left (\frac{N_{x+n}}{D_{x+n}}-\frac{h-1}{2h}\right )\nonumber\\
  & =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+1}-N_{x+n}+\frac{h+1}{2h}\cdot D_{x}+\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x+n}\right ]\mbox{。}\label{eq198}\tag{30}
  \end{align}
  另外，再依據(\ref{eq199})及(\ref{eq201})式並運用(\ref{eq97})式，亦可得
  \begin{equation}{\label{eq203}}\tag{31}
  \ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}\approx\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}-{}_{n|}\ddot{a}_{x}+{}_{n}E_{x}\cdot\frac{h-1}{2h}
  =\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\mbox{。}
  \end{equation}
• 延期 \(m\)年之 \(n\)年定期且每期末給付 \(1/h\)元，其現值以符號 \({}_{m|}a_{x:n\!\rceil}^{(h)}\)表示，根據(\ref{eq98})式，其計算式定義為
  \[{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}^{(h)}={}_{m}E_{x}\cdot a_{m+x:n\!\rceil}^{(h)}\]
  依據(\ref{eq101})式，可得
  \begin{align}
  {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}^{(h)} & \approx\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\frac{N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}+\frac{h-1}{2h}
  \cdot (D_{x+m}-D_{x+m+n})}{D_{x+m}}\nonumber\\
  & =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}+\frac{h-1}{2h}\cdot (D_{x+m}-D_{x+m+n})\right ]\mbox{。}\label{eq106}\tag{32}
  \end{align}
  另外，再依據(\ref{eq202})式並運用(\ref{eq98})式，亦可得
  \begin{align}
  {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}^{(h)} & \approx {}_{m}E_{x}\cdot\left (a_{x+m:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x+m}\right )\right )\nonumber\\
  & ={}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}\cdot{}_{m}E_{x}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x+m}\right )\nonumber\\
  & ={}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}\cdot\left ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x}\right )\mbox{。}\label{eq293}\tag{33}
  \end{align}
• 延期 \(m\)年之 \(n\)年定期且每期初給付 \(1/h\)元，其現值以符號 \({}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}\)表示，根據(\ref{eq99})式，其計算式定義為
  \[{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}={}_{m}E_{x}\cdot\ddot{a}_{m+x:n\!\rceil}^{(h)}\]
  依據(\ref{eq198})式，可得
  \begin{align}
  {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}& \approx\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\frac{N_{x+m+1}-N_{x+m+n}+\frac{h+1}{2h}
  \cdot D_{x+m}+\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x+m+n}}{D_{x+m}}\nonumber\\
  & =\frac{1}{D_{x}}\cdot\left [N_{x+m+1}-N_{x+m+n+1}+\frac{h+1}{2h}
  \cdot D_{x+m}+\frac{h-1}{2h}\cdot D_{x+m+n}\right ]\mbox{。}\label{eq120}\tag{34}
  \end{align}
  另外，再依據(\ref{eq203})式並運用(\ref{eq99})式，亦可得
  \begin{align}
  {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)} & \approx {}_{m}E_{x}\cdot\left (\ddot{a}_{x+m:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}
  \cdot\left (1-{}_{n}E_{x+m}\right )\right )\nonumber\\
  & ={}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot{}_{m}E_{x}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x+m}\right )\nonumber\\
  & ={}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\frac{D_{x+m}}{D_{x}}\cdot\left (1-\frac{D_{x+m+n}}{D_{x+m}}\right )\nonumber\\
  & ={}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}\cdot\left ({}_{m}E_{x}-{}_{m+n}E_{x}\right )\mbox{。}\label{eq213}\tag{35}
  \end{align}

一般情形，假設每年給付 \(\Lambda\)元生存年金且每年分 \(h\)期支付生存年金，則每期支付 \(\frac{\Lambda}{h}\)元，因此將上述之現值公式乘上$\Lambda$即可得此狀況之現值。另外，若假設 \(h\)趨近於無窮大，則期末給付與期初給付亦將趨近於相同。證明如下: 因為
\begin{equation}{\label{eq477}}\tag{36}
\lim_{h\rightarrow\infty}a_{x}^{(h)}=\lim_{h\rightarrow\infty}\left [a_{x}+\frac{h-1}{2h}\right ]=a_{x}+\frac{1}{2}
\end{equation}
及
\begin{equation}{\label{eq478}}\tag{37}
\lim_{h\rightarrow\infty}\ddot{a}_{x}^{(h)}=\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\ddot{a}_{x}-\frac{h-1}{2h}\right ]=\ddot{a}_{x}-\frac{1}{2}=a_{x}+1-\frac{1}{2}=a_{x}+\frac{1}{2}\mbox{。}
\end{equation}
可知
\[\lim_{h\rightarrow\infty}a_{x}^{(h)}=\lim_{h\rightarrow\infty}\ddot{a}_{x}^{(h)}\mbox{。}\]

由(\ref{eq202})及(\ref{eq203})式，可得
\[\lim_{h\rightarrow\infty}a_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\lim_{h\rightarrow\infty}\left [a_{x:n\!\rceil}+\frac{h-1}{2h}
\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\right ]=a_{x:n\!\rceil}+\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\]
及
\[\lim_{h\rightarrow\infty}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\lim_{h\rightarrow\infty}\left [\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{h-1}{2h}
\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\right ]=\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\mbox{。}\]
因為
\[{}_{n}E_{x}=\frac{D_{x+n}}{D_{x}}=a_{x:n\!\rceil}-a_{x:n-1\!\rceil}\]
及
\[\ddot{a}_{x:n\!\rceil}=1+a_{x:n-1\!\rceil}\mbox{，}\]
因此可推得
\[a_{x:n\!\rceil}+\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )=\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-\frac{1}{2}\cdot\left (1-{}_{n}E_{x}\right )\mbox{，}\]
此證明了下式
\begin{equation}{\label{eq310}}\tag{38}
\lim_{h\rightarrow\infty}a_{x:n\!\rceil}^{(h)}=\lim_{h\rightarrow\infty}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}^{(h)}\mbox{。}
\end{equation}

\begin{equation}{\label{h}}\tag{H}\mbox{}\end{equation}

生存年金終值.

定期生存年金之終值也稱為累積值(accumulated value of temporary life annuity)。假設現年 \(x\)歲的被保險人，若 \(n\)年後仍然生存時，可得到保險公司給付 \(1\)元保險金，則其現值為 \({}_{n}E_{x}\)元。換句話說，若 \(n\)年後仍然生存時，可得到保險公司給付 \(1/{}_{n}E_{x}\)元保險金，則其現值為 \(1\)元。此敘述又可描述成，若保險公司給付 \(1\)元生存年金，則 \(n\)年後之終值為  \(1/{}_{n}E_{x}\)。首先，年末給付 \(1\)元之 \(n\)年定期生存年金的終值(accumulated value of \(n\)-year temporary immediate life annuity)定義為
\begin{align*}
s_{x:n\!\rceil} & =\frac{1}{{}_{n-1}E_{x+1}}+\frac{1}{{}_{n-2}E_{x+2}}+\cdots+\frac{1}{{}_{0}E_{x+n}}=\sum_{t=1}^{n}\frac{1}{{}_{n-t}E_{x+t}}\\
& =\frac{D_{x+1}+\cdots +D_{x+n}}{D_{x+n}}=\frac{N_{x+1}-N_{x+n+1}}{D_{x+n}}
\mbox{，}
\end{align*}
其意義可解釋如下:

• 保險公司於第 \(x+1\)年給付 \(1\)元生存年金，則 \(n-1\)年後之終值為 \(1/{}_{n-1}E_{x+1}\)
• 保險公司於第 \(x+2\)年給付 \(1\)元生存年金，則 \(n-2\)年後之終值為 \(1/{}_{n-2}E_{x+2}\)
• 以此類推，保險公司於第 \(x+t\)年給付 \(1\)元生存年金，則 \(n-t\)年後之終值為 \(1/{}_{n-t}E_{x+t}\)
• 保險公司於最後一年，即第 \(x+n\)年給付 \(1\)元生存年金，則 \(0\)年後之終值為 \(1/{}_{0}E_{x+n}\)。

將以上之終值加總即得終值 \(s_{x:n\!\rceil}\)。由另一觀點可得下列關係式:
\begin{equation}{\label{eq55}}\tag{39}
a_{x:n\!\rceil}\cdot\frac{1}{{}_{n}E_{x}}=\frac{\displaystyle \frac{N_{x+1}-N_{x+n+1}}{D_{x}}}{\displaystyle \frac{D_{x+n}}{D_{x}}}=\frac{N_{x+1}-N_{x+n+1}}{D_{x+n}}=s_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{equation}
上式係用現值轉換成終值。此式亦說明了可透過所謂現值轉換係數 \({}_{n}E_{x}\)由現值轉換成終值。一般情形，若保險公司需於每年末給付 \(M\)元生存年金，則其終值為 \(M\cdot s_{x:n\!\rceil}\)。

根據(\ref{eq55})式，年初給付 \(1\)元之 \(n\)年定期生存年金的終值(accumulated value of \(n\)-year temporary life annuity-due)可定義為
\[\ddot{s}_{x:n\!\rceil}=\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\cdot\frac{1}{{}_{n}E_{x}}=\frac{\displaystyle \frac{N_{x}-N_{x+n}}{D_{x}}}
{\displaystyle \frac{D_{x+n}}{D_{x}}}=\frac{N_{x}-N_{x+n}}{D_{x+n}}\mbox{。}\]
一般情形，若保險公司需於每年初給付 \(M\)元生存年金，則其終值為 \(M\cdot \ddot{s}_{x:n\!\rceil}\)。另外，可推得以下關係式:
\[s_{x-1:n+1\!\rceil}-1=\frac{N_{x}-N_{x+n+1}}{D_{x+n}}-1=\frac{D_{x}+D_{x+1}+\cdots +D_{x+n-1}}{D_{x+n}}
=\frac{N_{x}-N_{x+n}}{D_{x+n}}=\ddot{s}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
上式說明了終值 \(\ddot{s}_{x:n\!\rceil}\)可視為終值 \(s_{x:n\!\rceil}\)向前移動 \(1\)年。

\begin{equation}{\label{i}}\tag{I}\mbox{}\end{equation}

生存年金現值之敏感度分析.

當利率變動時，可藉由 \(a_{x}\)針對利率 \(i\)的微分來觀察生存年金現值 \(a_{x}\)之變動情形。因為
\begin{align*}
a_{x} & ={}_{1}E_{x}+{}_{2}E_{x}+\cdots +{}_{\omega -x}E_{x}\\
& =v\cdot {}_{1}p_{x}+v^{2}\cdot {}_{2}p_{x}+\cdots+v^{\omega -x}\cdot {}_{\omega -x}p_{x}
=\sum_{t=x}^{\omega -1}v^{t-x+1}\cdot {}_{t-x+1}p_{x}\mbox{，}
\end{align*}
所以可得
\begin{align}
\frac{d}{di}a_{x} & =\frac{d}{di}\left (\sum_{t=x}^{\omega -1}v^{t-x+1}\cdot {}_{t-x+1}p_{x}\right )
=\frac{d}{di}\left (\sum_{t=x}^{\omega -1}(1+i)^{-t+x-1}\cdot {}_{t-x+1}p_{x}\right )\nonumber\\
& =\sum_{t=x}^{\omega -1}{}_{t-x+1}p_{x}\cdot\left [(-t+x-1)\cdot (1+i)^{-t+x-2}\right ]\nonumber\\
& =\sum_{t=x}^{\omega -1}(-t+x-1)\cdot {}_{t-x+1}p_{x}\cdot v^{t-x+2}\nonumber\\
& =\sum_{t=x}^{\omega -1}(-t+x-1)\cdot\frac{{}_{t-x+1}E_{x}}{v^{t-x+1}}\cdot v^{t-x+2}\mbox{ (根據(\ref{eq66})式)}\nonumber\\
& =-v\cdot\sum_{t=x}^{\omega -1}(t-x+1)\cdot {}_{t-x+1}E_{x}\nonumber\\
& =-\frac{v}{D_{x}}\cdot\sum_{t=x}^{\omega -1}(t-x+1)\cdot D_{t+1}\mbox{ (因${}_{t-x+1}E_{x}=D_{t+1}/D_{x}$)}\mbox{。}\label{eq103}\tag{40}
\end{align}
因此當利率 \(i\)遞增時，生存年金之現值 \(a_{x}\)將遞減。

接著討論當身故率變動時，其生存年金現值 \(a_{x}\)之變動情形。因為
\[a_{x}=a_{x:n\!\rceil}+{}_{n}E_{x}\cdot a_{x+n}=a_{x:n\!\rceil}+v^{n}\cdot {}_{n}p_{x}\cdot a_{x+n}\]
其中 \(a_{x+n}=v\cdot p_{x+n}\cdot a_{x+n+1}\)及 \(p_{x+n}=1-q_{x+n}\)，因此可求得
\[a_{x}=a_{x:n\!\rceil}+v^{n}\cdot {}_{n}p_{x}\cdot\left [v\cdot (1-q_{x+n})\cdot a_{x+n+1}\right ]
=a_{x:n\!\rceil}+v^{n+1}\cdot {}_{n}p_{x}\cdot (1-q_{x+n})\cdot a_{x+n+1}\mbox{。}\]
由上式可觀察知，當身故率 \(q_{x+n}\)提高時，則年金之現值 \(a_{x}\)將遞減。假設在年齡 \(x+n\)那一年的身故率從 \(q_{x+n}\)提高為  \(q_{x+n}+c\)，則年金現值 \(a_{x}\)降為
\begin{align*}
& a_{x:n\!\rceil}+v^{n+1}\cdot {}_{n}p_{x}\cdot (1-q_{x+n}-c)\cdot a_{x+n+1}\\
& \quad =a_{x:n\!\rceil}+v^{n+1}\cdot {}_{n}p_{x}\cdot (1-q_{x+n})\cdot a_{x+n+1}-c\cdot v^{n+1}\cdot {}_{n}p_{x}\cdot a_{x+n+1}\\
& \quad =a_{x}-c\cdot v^{n+1}\cdot {}_{n}p_{x}\cdot a_{x+n+1}\mbox{。}
\end{align*}