Anders Andersen Lundby (1841-1923) 丹麥畫家。
本頁有以下小節
人壽保險(life insurance)係以人之生存或身故做為保險事故，當給付條件符合時，由保險公司(insurer)給付一定金額予被保險人(insured)或其指定之受益人(beneficiary)，而此筆金額即稱為人壽保險金。
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
保險金於身故當年末給付.
身故保險契約係指被保險人在保險契約有效期間內身故時，保險公司應支付保險金予被保險人或其指定之受益人。身故保險(life insurance for death benefit)之種類包括終身壽險(whole life insurance)、定期壽險(term life insurance)、延期壽險(deferred life insurance)及生死合險(endowment insurance)等等，將分述如下。首先探討，當被保險人身故時，保險公司需在當年末給付保險金。
終身壽險.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保終身壽險，保單契約約定，當被保險人身故時，保險公司需在當年末給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \(A_{x}\)表示。接著，將依現值收支平衡原則:
\[\mbox{總保險費現值}=\mbox{總保險金現值}\]
來推導 \(A_{x}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \(A_{x}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot A_{x}\)，而總保險金支出現值為
\[v\cdot d_{x}+v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots +v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot A_{x}=v\cdot d_{x}+v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots +v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq1}}\tag{1}
A_{x}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{\omega -x-1}v^{t+1}\cdot d_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因為 \({}_{t|}q_{x}=d_{x+t}/l_{x}\) 由基本型生存年金頁之(4)式知，亦可得另一計算式為
\begin{equation}{\label{eq2}}\tag{2}
A_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}\mbox{。}
\end{equation}
由於保險金須在身故當年度給付，從(\ref{eq2})式可知總給付現值 \(A_{x}\)乃是每年 \(1\)元之保險金現值 \(v^{t+1}\)乘上當年度身故率 \({}_{t|}q_{x}\)，然後加總而得。因此，總給付現值 \(A_{x}\)亦可解釋為支付保險金現值之期望值。
令 \(C_{x}=v^{x+1}\cdot d_{x}\)，則 \(C_{x}\)表示於 \(x\)歲至 \(x+1\)歲之間，保險公司於年末給付每一身故者 \(1\)元保險金在 \(0\)歲時之總現值。特別強調的是 \(C_{x}\)係指在 \(0\)歲時之現值而非在 \(x\)歲時之現值。令
\[M_{x}=C_{x}+C_{x+1}+\cdots +C_{\omega -1}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}C_{x+t}\mbox{，}\]
則 \(M_{x}\)表被保險人於 \(x\)歲以後身故者，且於該身故年度末給付 \(1\)元保險金在 \(0\)歲時之現值。因 \(D_{x}=v^{x}\cdot l_{x}\)，將(\ref{eq1})式之分子分母同乘 \(v^{x}\)可得
\begin{equation}{\label{eq189}}\tag{3}
A_{x}=\frac{v^{x+1}\cdot d_{x}+v^{x+2}\cdot d_{x+1}+\cdots+v^{\omega}\cdot d_{\omega -1}}{v^{x}\cdot l_{x}}
=\frac{C_{x}+C_{x+1}+\cdots +C_{\omega -1}}{D_{x}}=\frac{M_{x}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation}
一般情形，假設被保險人於 \(x\)歲時投保終身壽險，保單契約約定，當被保險人身故時，保險公司需在當年末給付保險金 \(\Lambda\)元，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot A_{x}\)。
定期壽險.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後 \(n\)年內(即第 \(x+n\)年內)身故時，保險公司需於當年末給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \(A_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示，將依現值收支平衡原則來推導 \(A_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \(A_{x:n\!\rceil}^{1}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起至 \(x+n\)歲止，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}\)，而總保險金支出現值為
\[v\cdot d_{x}+v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots +v^{n}\cdot d_{x+n-1}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}=v\cdot d_{x}+v^{2}\cdot d_{x+1}+\cdots+v^{n}\cdot d_{x+n-1}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq70}}\tag{4}
A_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{n-1}v^{t+1}\cdot d_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因 \({}_{t|}q_{x}=d_{x+t}/l_{x}\)，亦可得另一計算公式
\[A_{x:n\!\rceil}^{1}=\sum_{t=0}^{n-1}v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}\mbox{。}\]
將(\ref{eq70})式之分子分母同乘 \(v^{x}\)可得
\begin{align*}
A_{x:n\!\rceil}^{1} & =\frac{v^{x+1}\cdot d_{x}+v^{x+2}\cdot d_{x+1}+\cdots+v^{x+n}\cdot d_{x+n-1}}{v^{x}\cdot l_{x}}\\
& =\frac{C_{x}+C_{x+1}+\cdots +C_{x+n-1}}{D_{x}}\\
& =\frac{(C_{x}+C_{x+1}+\cdots +C_{\omega -1})-(C_{x+n}+C_{x+n+1}+\cdots +C_{\omega -1})}{D_{x}}\\
& =\frac{M_{x}-M_{x+n}}{D_{x}}=A_{x}-\frac{M_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
上式說明了 \(A_{x:n\!\rceil}^{1}\)相當於 \(A_{x}\)減去 \(x+n\)年以後部分。一般情形，假設被保險人於 \(x\)歲時投保 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後 \(n\)年內身故時，保險公司需於當年末給付保險金 \(\Lambda\)元，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}\)。
延期終身壽險.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保延期 \(m\)年之終身壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後，再經 \(m\)年後才身故時，保險公司需於當年末給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}A_{x}\)表示，將依現值收支平衡原則來推導 \({}_{m|}A_{x}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \({}_{m|}A_{x}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x+m\)歲起，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot {}_{m|}A_{x}\)，而總保險金支出現值為
\[v^{m+1}\cdot d_{x+m}+v^{m+2}\cdot d_{x+m+1}+\cdots +v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot {}_{m|}A_{x}=v^{m+1}\cdot d_{x+m}+v^{m+2}\cdot d_{x+m+1}+\cdots +v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -1}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq71}}\tag{5}
{}_{m|}A_{x}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=m}^{\omega -x-1}v^{t+1}\cdot d_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因 \({}_{t|}q_{x}=d_{x+t}/l_{x}\)，亦可得另一計算公式
\[{}_{m|}A_{x}=\sum_{t=m}^{\omega -x-1}v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}\mbox{。}\]
將(\ref{eq71})式之分子分母同乘 \(v^{x}\)可得
\begin{align*}
{}_{m|}A_{x} & =\frac{v^{x+m+1}\cdot d_{x+m}+v^{x+m+2}\cdot d_{x+m+1}+\cdots
+v^{\omega}\cdot d_{\omega -1}}{v^{x}\cdot l_{x}}\\
& =\frac{C_{x+m}+C_{x+m+1}+\cdots +C_{\omega -1}}{D_{x}}=\frac{M_{x+m}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
上式說明了 \({}_{m|}A_{x}\)相當於 \(A_{x}\)之 \(x+m\)年以後部分。一般情形，假設被保險人於 \(x\)歲時投保延期 \(m\)年之終身壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後，再經 \(m\)年後才身故時，保險公司需於當年末給付保險金 \(\Lambda\)元，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x}\)。
延期之定期壽險.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後之 \(m+1\)年至 \(m+n\)年間(即 \(x+m+1\)歲至 \(x+n+m\)歲間)身故時，保險公司需於當年末給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示，將依現值收支平衡原則來推導 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x+m+1\)歲起至 \(x+m+n\)歲止，保險公司每年所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)，而總保險金支出現值為
\[v^{m+1}\cdot d_{x+m}+v^{m+2}\cdot d_{x+m+1}+\cdots +v^{m+n}\cdot d_{x+m+n-1}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\[l_{x}\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}=v^{m+1}\cdot d_{x+m}+v^{m+2}\cdot d_{x+m+1}+\cdots +v^{m+n}\cdot d_{x+m+n-1}\mbox{。}\]
因此可解得
\begin{equation}{\label{eq72}}\tag{6}
{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=m}^{m+n-1}v^{t+1}\cdot d_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因為 \({}_{t|}q_{x}=d_{x+t}/l_{x}\)，亦可得另一計算公式
\[{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}=\sum_{t=m}^{m+n-1}v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}\mbox{。}\]
將(\ref{eq72})式之分子分母同乘 \(v^{x}\)可得
\begin{align*}
{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1} & =\frac{v^{x+m+1}\cdot d_{x+m}+\cdots+v^{x+m+n}\cdot d_{x+m+n-1}}{v^{x}\cdot l_{x}}\\
& =\frac{C_{x+m}+C_{x+m+1}+\cdots +C_{x+m+n-1}}{D_{x}}\\
& =\frac{(C_{x+m}+C_{x+m+1}+\cdots +C_{\omega -1})-(C_{x+m+n}+C_{x+m+n+1}+\cdots +C_{\omega -1})}{D_{x}}\\
& =\frac{M_{x+m}-M_{x+m+n}}{D_{x}}={}_{m|}a_{x}-\frac{M_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
上式說明了 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)相當於 \({}_{m|}A_{x}\)之 \(x+m+n\)年以後部分。一般情形，假設被保險人於 \(x\)歲時投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後之 \(m\)年至 \(m+n\)年內身故時，保險公司需於當年末給付保險金 \(\Lambda\)元，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\)。
生死合險.
被保險人在保險有效期間內身故或保險契約滿期時生存，保險公司皆得給付一定數額之保險金予被保險人，此類型保單契約稱為養老險或生死合險(endowment insurance)。
定期生死合險.
假設被保險人投保 \(n\)年定期生死合險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後 \(n\)年內身故或保險契約滿期時，保險公司皆得於當年末給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \(A_{x:n\!\rceil}\)表示。由於被保險人於契約生效後 \(n\)年內身故或 \(n\)年到期仍生存時均可於當年末獲得保險金給付 \(1\)元，故其總給付現值相當於年末給付之 \(n\)年定期保險之總給付現值與生存保險金現值之和，因此其計算式為:
\[A_{x:n\!\rceil}=A_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n}E_{x}=\frac{M_{x}-M_{x+n}}{D_{x}}+\frac{D_{x+n}}{D_{x}}=\frac{M_{x}-M_{x+n}+D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}\]
一般情形，假設被保險人於 \(x\)歲時投保 \(n\)年定期生死合險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後 \(n\)年內身故或保險契約滿期時，
保險公司皆得於當年末給付保險金 \(\Lambda\)元，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot A_{x:n\!\rceil}\)。
延期之定期生死合險.
假設被保險人投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生死合險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後之 \(m\)年至 \(m+n\)年間身故時或 \(n+m\)年到期仍生存時，保險公司皆得給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}\)表示。其總給付現值相當於年末給付之延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險之總給付現值與生存保險金現值之和，因此其計算式為:
\begin{align*}
{}_{m|}A_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n+m}E_{x}=
\frac{M_{x+n}-M_{x+n+m}}{D_{x}}+\frac{D_{x+n+m}}{D_{x}}\\
& =\frac{M_{x+n}-M_{x+n+m}+D_{x+n+m}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
一般情形，假設被保險人於 \(x\)歲時投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生死合險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後之 \(m\)年至 \(m+n\)年內身故時或 \(n+m\)年到期仍生存時，保險公司皆得於當年末給付保險金 \(\Lambda\)元，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}\)。
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
保險金於身故即刻給付.
之前所討論的是保險金在身故當年末才給付，然而身故隨時都可能發生，所以接著將討論比較符合實際狀況的身故即刻給付保險金。假設將一年分成 \(r\)等份，而 \(x\)歲之生存人數為 \(l_{x}\)，因此可知，在第一個 \(1/r\)年間之身故率為
\[\frac{l_{x}-l_{x+\frac{1}{r}}}{l_{x}}\mbox{。}\]
為方便討論，假設該年中之任何 \(1/r\)年間之身故率與第一個 \(1/r\)年間之身故率完安全相同且互相獨立，如此，則全年的身故率為
\[r\cdot\left (\frac{l_{x}-l_{x+\frac{1}{r}}}{l_{x}}\right )=\frac{l_{x}-l_{x+\frac{1}{r}}}{l_{x}/r}\mbox{，}\]
此亦稱為名義身故率(nominal annual rate of mortality)。當$r$趨近於無限大時，則名義身故率之極限值即可視為瞬間身故率，此極限值又稱為死力(force of mortality)，並以符號$\mu_{x}$表之，其計算式如下所示:
\begin{align}
\mu_{x} & =\lim_{r\rightarrow\infty}\frac{l_{x}-l_{x+\frac{1}{r}}}{l_{x}/r}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\lim_{1/r\rightarrow 0}
\frac{l_{x+\frac{1}{r}}-l_{x}}{1/r}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\frac{l_{x+h}-l_{x}}{h}\nonumber\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\frac{d}{dx}l_{x}=-\frac{d}{dx}\ln l_{x}\label{eq75}\tag{7}\mbox{。}
\end{align}
終身壽險.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保終身壽險，保單契約約定，當被保險人身故時，保險公司需即刻給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \(\bar{A}_{x}\)表示。接著，將推導 \(\bar{A}_{x}\)之計算式。假設將一年分成 \(r\)期，為方便討論，亦假設被保險人於 \(x\)歲時之當年初投保終身壽險，所以被保險人自 \(x\)歲起至身故，共可分成 \(r\cdot (\omega -x)\)期。經過整整一期後之身故人數定義為
\[d^{(r)}_{x}=l_{x}-l_{x+\frac{1}{r}}\mbox{。}\]
假設被保險人身故時，保險公司需在當期末給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \(A_{x}^{(r)}\)表示，將依現值收支平衡原則來推導 \(A_{x}^{(r)}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \(A_{x}^{(r)}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot A_{x}^{(r)}\)，而總保險金支出現值為
\[v^{\frac{1}{r}}\cdot d^{(r)}_{x}+v^{\frac{2}{r}}\cdot d^{(r)}_{x+\frac{1}{r}}+v^{\frac{3}{r}}\cdot d^{(r)}_{x+\frac{2}{r}}
+\cdots +v^{\omega -x}\cdot d^{(r)}_{\omega -\frac{1}{r}}
=\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot d^{(r)}_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\begin{equation}{\label{eq322}}\tag{8}
l_{x}\cdot A_{x}^{(r)}=\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot d^{(r)}_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}
\end{equation}
因此可解得
\[A_{x}^{(r)}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot d^{(r)}_{x+\frac{t}{r}}
=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot
\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )\mbox{。}\]
當 \(r\)趨近於無窮大時，則現值 \(A_{x}^{(r)}\)之極限值就趨近即刻給付的現值 \(\bar{A}_{x}\)，所以可得
\begin{equation}{\label{eq77}}\tag{9}
\bar{A}_{x}=\lim_{r\rightarrow\infty}A_{x}^{(r)}=\lim_{r\rightarrow\infty}\left [-\frac{1}{l_{x}}\cdot
\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )\right ]\mbox{。}
\end{equation}
令 \(N=r\cdot (\omega -x)\)。因此，可考慮將區間 \([0,\omega -x]\)分成 \(N\)等份。此時可將下式視為黎曼-史提捷斯和(Riemann-Stieltjes sum):
\[\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )=
\sum_{s=0}^{N-1}v^{\frac{1}{r}(s+1)}\cdot\left (l_{x+\frac{s+1}{r}}-l_{x+\frac{s}{r}}\right )\mbox{。}\]
事實上，上式為黎曼-史提捷斯下和(Riemann-Stieltjes lower sum)。因為 \(v<1\)，所以函數 \(v^{t}\)在子區間 \([\frac{s}{r},\frac{s+1}{r}]\)中之最小值為 \(v^{\frac{1}{r}(s+1)}\)。當 \(r\)趨近於無窮大時，則 \(N\)亦趨近於無窮大，因此可得黎曼-史提捷斯積分(Riemann-Stieltjes integral)為
\begin{align*}
\lim_{r\rightarrow\infty}\sum_{t=0}^{r(\omega -x)-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )
& =\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N-1}v^{\frac{1}{r}(s+1)}\cdot\left (l_{x+\frac{s+1}{r}}-l_{x+\frac{s}{r}}\right )\\
& =\int_{0}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
由(\ref{eq77})式可得
\begin{equation}{\label{eq76}}\tag{10}
\bar{A}_{x}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{0}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
另外，由(\ref{eq75})式可知
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=\frac{d}{d(x+t)}l_{x+t}\cdot\frac{d(x+t)}{dt}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\cdot 1=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{。}\]
最後，由(\ref{eq76})式可推出 \(\bar{A}_{x}\)之計算式為
\begin{equation}{\label{eq247}}\tag{11}
\bar{A}_{x}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{0}^{\omega -x}v^{t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{0}^{\omega -x}v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{0}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{equation}
因為 \(v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}\)可視為瞬間保險金現值，所以，總給付現值 \(\bar{A}_{x}\)可解釋為瞬間保險金現值 \(v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}\)在保障期間針對 \(t\)之積分值。由利息與確定年金頁之(4)式可知
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{，}\]
因此 \(v^{t}=e^{-\delta t}\)，如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \(\bar{A}_{x}\)亦可寫成
\[\bar{A}_{x}=\int_{0}^{\omega -x}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
一般情形，假設被保險人於 \(x\)歲時投保終身壽險，保單契約約定，當被保險人身故時，保險公司需即刻給付保險金 \(\Lambda\)元，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot\bar{A}_{x}\)。
定期壽險.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後 \(n\)年內身故時，保險公司需即刻給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示。接著，將推導 \(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算式。假設將一年分成 \(r\)期，所以被保險人自 \(x\)歲起至 \(x+n\)歲為止，共可分成 \(r\cdot n\)期。假設被保險人身故時，保險公司需在當期末給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \(A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}\)表示，將依現值收支平衡原則來推導 \(A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \(A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x\)歲起至 \(x+n\)歲為止，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}\)，而總保險金支出現值為
\[v^{\frac{1}{r}}\cdot d_{x}+v^{\frac{2}{r}}\cdot d_{x+\frac{1}{r}}+v^{\frac{3}{r}}\cdot d_{x+\frac{2}{r}}+\cdots +v^{n}\cdot d_{x+n-\frac{1}{r}}=\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\begin{equation}{\label{eq333}}\tag{12}
l_{x}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}=\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}\mbox{。}
\end{equation}
因此可解得
\[A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot d_{x+\frac{t}{r}}
=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot
\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )\mbox{。}\]
當 \(r\)趨近於無窮大時，則現值 \(A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}\)之極限值就趨近即刻給付的現值 \(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)，所以可得
\begin{equation}{\label{eq78}}\tag{13}
\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\lim_{r\rightarrow\infty}A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}
=\lim_{r\rightarrow\infty}\left [-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot
\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )\right ]\mbox{。}
\end{equation}
令 \(N=r\cdot n\)。因此，可考慮將區間 \([0,n]\)分成 \(N\)等份。此時可將下式視為黎曼-史提捷斯和:
\[\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )=
\sum_{s=0}^{N-1}v^{\frac{1}{r}(s+1)}\cdot\left (l_{x+\frac{s+1}{r}}-l_{x+\frac{s}{r}}\right )\mbox{。}\]
當 \(r\)趨近於無窮大時，則 \(N\)亦趨近於無窮大，因此可得黎曼-史提捷斯積分為
\begin{align*}
\lim_{r\rightarrow\infty}\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{\frac{1}{r}(t+1)}\cdot\left (l_{x+\frac{t+1}{r}}-l_{x+\frac{t}{r}}\right )
& =\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N-1}v^{\frac{1}{r}(s+1)}\cdot\left (l_{x+\frac{s+1}{r}}-l_{x+\frac{s}{r}}\right )\\
& =\int_{0}^{n}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
由(\ref{eq78})式可得
\begin{equation}{\label{eq79}}\tag{14}
\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{0}^{n}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因為
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{，}\]
由(\ref{eq79})式可推出 \(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算式為
\begin{equation}{\label{eq260}}\tag{15}
\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{0}^{n}v^{t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{0}^{n}v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{0}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{equation}
所以，總給付現值 \(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)可視為瞬間保險金現值 \(v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}\)在保障期間針對 \(t\)之積分值。因為
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{，}\]
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \(\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)亦可寫成
\[\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\int_{0}^{n}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
一般情形，假設被保險人於 \(x\)歲時投保 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後 \(n\)年內身故時，保險公司需即刻給付保險金 \(\Lambda\)元，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)。
延期之終身壽險.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保延期 \(m\)年終身壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後，再經 \(m\)年後身故時，保險公司需即刻給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}\bar{A}_{x}\)表示。接著，推導 \({}_{m|}\bar{A}_{x}\)之計算式。假設將一年分成 \(r\)期，所以被保險人自 \(x+m\)歲起至身故，共可分成 \(r\cdot (\omega -x-m)\)期。假設被保險人身故時，保險公司需在當期末給付保險金 \(1\)元，則被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}A_{x}^{(r)}\)表示。將依現值收支平衡原則來推導 \({}_{m|}A_{x}^{(r)}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \({}_{m|}A_{x}^{(r)}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x+m\)歲起，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot {}_{m|}A_{x}^{(r)}\)，而總保險金支出現值為
\[v^{m+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m}+v^{m+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+\frac{1}{r}}
+\cdots +v^{\omega -x}\cdot d_{\omega -\frac{1}{r}}=\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}
\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\begin{equation}{\label{eq340}}\tag{16}
l_{x}\cdot {}_{m|}A_{x}^{(r)}=\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\mbox{。}
\end{equation}
因此可解得
\begin{align*}
{}_{m|}A_{x}^{(r)} & =\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\\
& =-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{r}}-l_{x+m+\frac{t}{r}}\right )\mbox{。}
\end{align*}
當 \(r\)趨近於無窮大時，則現值 \({}_{m|}A_{x}^{(r)}\)之極限值就趨近即刻給付的現值 \({}_{m|}\bar{A}_{x}\)，所以可得
\begin{align}
{}_{m|}\bar{A}_{x} & =\lim_{r\rightarrow\infty}{}_{m|}A_{x}^{(r)}\nonumber\\
& =\lim_{r\rightarrow\infty}\left [-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{r}}-l_{x+m+\frac{t}{r}}\right )\right ]\mbox{。}\label{eq80}\tag{17}
\end{align}
令 \(N=r\cdot (\omega -x-m)\)。因此，可考慮將區間 \([m,\omega -x]\)分成 \(N\)等份。此時可將下式視為黎曼-史提捷斯和:
\[\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{r}}-l_{x+m+\frac{t}{r}}\right )=\sum_{s=0}^{N-1}v^{m+\frac{1}{r}(s+1)}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{s+1}{r}}-l_{x+m+\frac{s}{r}}\right )\mbox{。}\]
當 \(r\)趨近於無窮大時，則 \(N\)亦趨近於無窮大，因此可得黎曼-史提捷斯積分為
\begin{align*}
& \lim_{r\rightarrow\infty}\sum_{t=0}^{r(\omega -x-m)-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{r}}-l_{x+m+\frac{t}{r}}\right )\\
& \quad =\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N-1}v^{m+\frac{1}{r}(s+1)}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{s+1}{r}}-l_{x+m+\frac{s}{r}}\right )=\int_{m}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{align*}
由(\ref{eq80})式可得
\begin{equation}{\label{eq81}}\tag{18}
{}_{m|}\bar{A}_{x}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{m}^{\omega -x}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因為
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{，}\]
由(\ref{eq81})式可推出 \({}_{m|}\bar{A}_{x}\)之計算式為
\begin{equation}{\label{eq280}}\tag{19}
{}_{m|}\bar{A}_{x}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{m}^{\omega -x}v^{t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{m}^{\omega -x}v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{m}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}
\end{equation}
所以，總給付現值 \({}_{m|}\bar{A}_{x}\)可視為瞬間保險金現值 \(v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}\)在保障期間針對 \(t\)之積分值。因為
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{，}\]
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \({}_{m|}\bar{A}_{x}\)亦可寫成
\[{}_{m|}\bar{A}_{x}=\int_{m}^{\omega -x}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
一般情形，假設被保險人於 \(x\)歲時投保延期 \(n\)年終身壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後，再經 \(m\)年後身故時，保險公司需即刻給付保險金 \(\Lambda\)元，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x}\)。
延期之定期壽險.
假設被保險人於 \(x\)歲時投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後之 \(m\)年至 \(m+n\)年內(即 \(x+m\)歲至 \(x+m+n\)歲內)身故時，保險公司需即刻給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)表示。接著，推導 \({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算式。假設將一年分成 \(r\)期，所以被保險人自 \(x+m\)歲起至 \(x+m+n\)歲為止，共可分成 \(r\cdot n\)期。假設被保險人身故時，保險公司需在當期末給付保險金 \(1\)元。被保險人之總給付現值以符號 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}\)表示，將依現值收支平衡原則來推導 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}\)之計算公式。假設 \(x\)歲時生存之 \(l_{x}\)個人每人繳納 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}\)元予保險公司，使得保險公司所收取之總保險費現值剛好足夠支付自 \(x+m\)歲起至 \(x+m+n\)歲為止，保險公司每期所需支付身故人數之總保險金現值。很明顯地，總保險費收入現值為 \(l_{x}\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}\)，而總保險金支出現值為
\[v^{m+\frac{1}{r}}\cdot d_{x+m}+v^{m+\frac{2}{r}}\cdot d_{x+m+\frac{1}{r}}+\cdots +v^{m+n}\cdot d_{x+m+n-\frac{1}{r}}
=\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\mbox{。}\]
故可得下列關係式:
\begin{equation}{\label{eq345}}\tag{20}
l_{x}\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}=\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}\mbox{。}
\end{equation}
因此可解得
\[{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot d_{x+m+\frac{t}{r}}
=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{r}}-l_{x+m+\frac{t}{r}}\right )\mbox{。}\]
當 \(r\)趨近於無窮大時，則現值 \({}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}\)之極限值就趨近即刻給付的現值 \({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)，所以可得
\begin{equation}{\label{eq82}}\tag{21}
{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\lim_{r\rightarrow\infty}{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1(r)}
=\lim_{r\rightarrow\infty}\left [-\frac{1}{l_{x}}\cdot\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{r}}-l_{x+m+\frac{t}{r}}\right )\right ]\mbox{。}
\end{equation}
令 \(N=r\cdot n\)。因此，可考慮將區間 \([m,m+n]\)分成 \(N\)等份。此時可將下式視為黎曼-史提捷斯和:
\[\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot\left (l_{x+m+\frac{t+1}{r}}-l_{x+m+\frac{t}{r}}\right )=
\sum_{s=0}^{N-1}v^{m+\frac{1}{r}(s+1)}\cdot\left (l_{x+m+\frac{s+1}{r}}-l_{x+m+\frac{s}{r}}\right )\mbox{。}\]
當 \(r\)趨近於無窮大時，則 \(N\)亦趨近於無窮大，因此可得黎曼-史提捷斯積分為
\[\lim_{r\rightarrow\infty}\sum_{t=0}^{r\cdot n-1}v^{m+\frac{1}{r}(t+1)}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{t+1}{r}}-l_{x+m+\frac{t}{r}}\right )=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{s=0}^{N-1}v^{m+\frac{1}{r}(s+1)}\cdot
\left (l_{x+m+\frac{s+1}{r}}-l_{x+m+\frac{s}{r}}\right )=\int_{m}^{m+n}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}\]
由(\ref{eq82})式可得
\begin{equation}{\label{eq83}}\tag{22}
{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=-\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{m}^{m+n}v^{t}dl_{x+t}\mbox{。}
\end{equation}
因為
\[\frac{d}{dt}l_{x+t}=-l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}\mbox{，}\]
由(\ref{eq83})式可推出 \({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)之計算式為
\[{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{1}{l_{x}}\cdot\int_{m}^{m+n}v^{t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{m}^{m+n}v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{m}^{m+n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
所以，總給付現值 \({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)可視為瞬間保險金現值 \(v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}\)在保障期間針對 \(t\)之積分值。因為
\[e^{\delta}=1+i=\frac{1}{v}\mbox{，}\]
如考慮息力 \(\delta\)，則總給付現值 \({}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)亦可寫成
\[{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\int_{m}^{m+n}e^{-\delta t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{。}\]
一般情形，假設被保險人於 \(x\)歲時投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後之 \(m\)年至 \(m+n\)年內身故時，保險公司需即刻給付保險金 \(\Lambda\)元，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\)。
生死合險.
即刻給付之生死合險可分為定期生死合險與延期之定期生死合險，茲分述如下:
- 定期生死合險: 假設被保險人投保 \(n\)年定期生死合險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後 \(n\)年內身故或保險契約滿期時，保險公司皆得即刻給付保險金 \(1\)元，而被保險人之總給付現值以符號 \(\bar{A}_{x:n\!\rceil}\)表示。由於被保險人於契約生效後 \(n\)年內身故或 \(n\)年到期仍生存時均即刻給付保險金 \(1\)元，故其總給付現值相當於即刻給付之 \(n\)年定期保險之總給付現值與生存保險金現值之和，因此其計算式為:
\[\bar{A}_{x:n\!\rceil}=\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n}E_{x}\mbox{。}\]
一般情形，假設被保險人於 \(x\)歲時投保 \(n\)年定期生死合險，保單契約約定，當被保險人於 \(n\)年內身故或保險契約滿期時，保險公司皆得即刻給付保險金 \(\Lambda\)元，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot\bar{A}_{x:n\!\rceil}\)。 - 延期之定期生死合險: 假設被保險人投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生死合險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後之 \(m\)年至 \(m+n\)年內身故時或 \(n+m\)年到期仍生存時，保險公司皆得即刻給付保險金 \(1\)元，而被保險人之總給付現值以符號 \({}_{n|}\bar{A}_{x:m\!\rceil}\)表示，且其總給付現值相當於即刻給付之延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險之總給付現值與生存保險金現值之和，因此其計算式為:
\[{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n+m}E_{x}\mbox{。}\]
一般情形，假設被保險人於 \(x\)歲時投保延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生死合險，保單契約約定，當被保險人於契約生效後之 \(m\)年至 \(m+n\)年內身故時或 \(n+m\)年到期仍生存時，保險公司皆得即刻給付保險金 \(\Lambda\)元，則被保險人之總給付現值為 \(\Lambda\cdot {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}\)。
比較與相似表示式.
由上述之討論，可將年末給付保險金之現值視為離散型，而將即刻給付保險金之現值視為連續型。首先，比較終身壽險。根據基本型生存年金頁之(5)式，離散型之 \(A_{x}\)可表為
\[A_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}v^{t+1}\cdot {}_{t|}q_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}
v^{t+1}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot q_{x+t}\mbox{，}\]
其中 \(v^{t+1}\)表折現值，意義為在 \(t\)年末給付 \(1\)元保險金折現至第 \(1\)年初之金額，而 \({}_{t}p_{x}\cdot q_{x+t}\)表存活了 \(t\)年之後，卻在第 \(x+t\)歲時身故的發生率。須在 \(t\)年內身故時才能領到 \(1\)元保險金。因此，其總現值就是每年度之現值與身故發生率乘積之加總。關於連續型 \(\bar{A}_{x}\)可表為
\[\bar{A}_{x}=\int_{0}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\mbox{，}\]
其中 \(v^{t}\)亦可解釋為折現值，意義為在任一時點 \(t\)獲得給付 \(1\)元保險金折現至第 \(1\)年初之金額，而 \({}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}\)表存活了 \(t\)年之後，卻在第 \(x+t\)歲時瞬間身故的發生率。同樣須身故時才能領到 \(1\)元保險金。所以，總給付現值 \(\bar{A}_{x}\)可視為瞬間保險金現值 \(v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}\)在保障期間針對 \(t\)之積分值。以上分析說明了，離散型與連續型的公式雖有些差異，但其基本精神都是一致的。既然離散型與連續型基本精神是相同的，因此推論應有相似表示式。首先，定義
\[\bar{C}_{x}=\int_{0}^{1}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt=\int_{0}^{1}D_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\]
及
\[\bar{M}_{x}=\bar{C}_{x}+\bar{C}_{x+1}+\cdots +\bar{C}_{\omega -1}=\sum_{k=0}^{\omega -x-1}\bar{C}_{x+k}\mbox{。}\]
因為
\[\int_{k}^{k+1}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt=
\int_{0}^{1}v^{x+k+t}\cdot l_{x+k+t}\cdot\mu_{x+k+t}dt=\bar{C}_{x+k}\mbox{，}\]
因此可得
\begin{equation}{\label{eq92}}\tag{23}
\bar{M}_{x}=\sum_{k=0}^{\omega -x-1}\bar{C}_{x+k}=\sum_{k=0}^{\omega -x-1}
\int_{k}^{k+1}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt=
\int_{0}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{。}
\end{equation}
也就是說 \(\bar{M}_{x}\)可改寫為以下較實用之計算式:
\[\bar{M}_{x}=\int_{0}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt=\int_{0}^{\omega -x}D_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{。}\]
接著將運用上式分別導出相似表示式。
- 終身壽險: 可得
\begin{align*}
\bar{A}_{x} & =\int_{0}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{0}^{\omega -x}v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\frac{1}{l_{x}\cdot v^{x}}\cdot\int_{0}^{\omega -x}v^{x+t}\cdot
l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt=\frac{\bar{M}_{x}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*} - 延期 \(m\)年之終身壽險: 可得
\begin{align}
{}_{m|}\bar{A}_{x} & =\int_{m}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt
=\int_{0}^{\omega -x-m}v^{m+t}\cdot{}_{m+t}p_{x}\cdot\mu_{x+m+t}dt\nonumber\\
& =\frac{1}{l_{x}\cdot v^{x}}\cdot\int_{0}^{\omega -x-m}v^{x+m+t}\cdot l_{x+m+t}
\cdot\mu_{x+m+t}dt=\frac{\bar{M}_{x+m}}{D_{x}}\mbox{。}\label{eq141}\tag{24}
\end{align} - \(n\)年定期壽險: 可得
\begin{align*}
\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1} & =\int_{0}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\int_{0}^{\omega -x}v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt-
\int_{n}^{\omega -x}v^{t}\cdot\frac{l_{x+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\bar{A}_{x}-{}_{n|}\bar{A}_{x}=\frac{\bar{M}_{x}}{D_{x}}-\frac{\bar{M}_{x+n}}{D_{x}}
=\frac{\bar{M}_{x}-\bar{M}_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*} - 延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險: 可得
\begin{align*}
{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}& =\int_{m}^{m+n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& =\int_{m}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt-
\int_{m+n}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{x+t}dt\\
& ={}_{m|}\bar{A}_{x}-\int_{0}^{\omega -x-n-m}v^{t+m+n}\cdot {}_{t+m+n}p_{x}\cdot\mu_{x+m+n+t}dt\mbox{。}
\end{align*}
因為
\begin{align*}
& \int_{0}^{\omega -x-n-m}v^{t+m+n}\cdot {}_{t+m+n}p_{x}\cdot\mu_{x+m+n+t}dt\\
& \quad =\int_{0}^{\omega -x-n-m}v^{t+m+n}\cdot\frac{l_{x+m+n+t}}{l_{x}}\cdot\mu_{x+m+n+t}dt\\
& \quad =\frac{1}{l_{x}\cdot v^{x}}\cdot\int_{0}^{\omega -x-n-m}v^{x+m+n+t}\cdot
l_{x+m+n+t}\cdot\mu_{x+m+n+t}dt=\frac{\bar{M}_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{，}
\end{align*}
所以可知
\begin{equation}{\label{eq142}}\tag{25}
{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}={}_{m|}\bar{A}_{x}-\frac{\bar{M}_{x+m+n}}{D_{x}}
=\frac{\bar{M}_{x+m}-\bar{M}_{x+m+n}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{equation} - \(n\)年定期生死合險: 可得
\[\bar{A}_{x:n\!\rceil}=\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n}E_{x}
=\frac{\bar{M}_{x}-\bar{M}_{x+n}}{D_{x}}+\frac{D_{x+n}}{D_{x}}
=\frac{\bar{M}_{x}-\bar{M}_{x+n}+D_{x+n}}{D_{x}}\mbox{。}\] - 延期 \(m\)年之 \(n\)年定期生死合險: 可得
\begin{align*}
{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n+m}E_{x}\\
& =\frac{\bar{M}_{x+n}-\bar{M}_{x+n+m}}{D_{x}}+\frac{D_{x+n+m}}{D_{x}}
=\frac{\bar{M}_{x+n}-\bar{M}_{x+n+m}+D_{x+n+m}}{D_{x}}\mbox{。}
\end{align*}
生存年金與身故保險金之符號比較如下所示:
- \(D_{x}=v^{x}\cdot l_{x}\)表示 \(x\)歲至 \(x+1\)歲之間每一存活者給付 \(1\)元 在 \(0\)歲時之總現值
- \({\displaystyle N_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}D_{x+t}}\)表示 \(x\)歲以後每一存活者給付 \(1\)元在 \(0\)歲時之總現值
- \({\displaystyle S_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}N_{x+t}}\)。
(ii) 年末給付之身故保險金符號(離散型):
- \(C_{x}=v^{x+1}\cdot d_{x}\)表示 \(x\)歲至 \(x+1\)歲之間每一身故者給付 \(1\)元在 \(0\)歲時之總現值
- \({\displaystyle M_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}C_{x+t}}\)表示 \(x\)歲以後每一身故者給付 \(1\)元在 \(0\)歲時之總現值
- \({\displaystyle R_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}M_{x+t}}\)。
(iii) 即刻付之身故保險金符號(連續型): \(\bar{C}_{x}\)定義為
\[\bar{C}_{x}=\int_{0}^{1}v^{x+t}\cdot l_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt=\int_{0}^{1}D_{x+t}\cdot\mu_{x+t}dt\mbox{。}\]
同時亦定義
\[\bar{M}_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}\bar{C}_{x+t}\mbox{ 及 }
\bar{R}_{x}=\sum_{t=0}^{\omega -x-1}\bar{M}_{x+t}\mbox{。}\]
將上述結果列表如下: 身故保險之總給付現值
\[\begin{array}{lll}\hline
\mbox{類別} & \mbox{年末給付} & \mbox{即刻給付}\\ \hline
\mbox{終身壽險} & {\displaystyle A_{x}=\frac{M_{x}}{D_{x}}} & {\displaystyle \bar{A}_{x}=\frac{\bar{M}_{x}}{D_{x}}}\\
\mbox{$n$年定期壽險} & {\displaystyle A_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{M_{x}-M_{x+n}}{D_{x}}} &
{\displaystyle \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{\bar{M}_{x}-\bar{M}_{x+n}}{D_{x}}}\\
\mbox{延期$m$年之終身壽險} & {\displaystyle {}_{m|}A_{x}=\frac{M_{x+m}}{D_{x}}} &
{\displaystyle {}_{m|}\bar{A}_{x}=\frac{\bar{M}_{x+m}}{D_{x}}}\\
\mbox{延期$m$年之$n$年定期壽險} & {\displaystyle {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}=\frac{M_{x+m}-M_{x+m+n}}{D_{x}}} &
{\displaystyle {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}=\frac{\bar{M}_{x+m}-\bar{M}_{x+m+n}}{D_{x}}}\\ \hline
\end{array}\]
\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}
保險金於身故當年末給付與即刻給付之關係.
之前已分別推導出年末給付與即刻給付的保險金計算公式，若能在某些假設條件下，尋出二者之間的關係，則必能簡化計算過程。令 \(S(x)\)表生存至 \(x\)歲時之生存機率。假設各時點身故人數成均勻分布(uniform distribution of death over the year of age)，若 \(0\leq t\leq 1\)，因為
\[S(x+1)<S(x+t)<S(x)\mbox{，}\]
可用插值法求得 \(S(x+t)\)。即依據比例
\[\frac{S(x+t)-S(x)}{t}=\frac{S(x+1)-S(x)}{1}\mbox{。}\]
因此，可求得下式
\begin{equation}{\label{eq84}}\tag{26}
S(x+t)=(1-t)\cdot S(x)+t\cdot S(x+1)\mbox{。}
\end{equation}
同理，因為 \(p_{x}<{}_{t}p_{x}<1\)，亦可透過插值法求得 \({}_{t}p_{x}\)，如下所示:
\begin{equation}{\label {eq85}}\tag{27}
{}_{t}p_{x}=(1-t)+t\cdot p_{x}\mbox{。}
\end{equation}
由(\ref{eq84})式，則可得
\begin{align*}
{}_{t}q_{x} & =\frac{S(x)-S(x+t)}{S(x)}=\frac{S(x)-\left [(1-t)\cdot S(x)+t\cdot S(x+1)\right ]}{S(x)}\\
& =\frac{t\cdot\left [S(x)-S(x+1)\right ]}{S(x)}=t\cdot q_{x}\mbox{。}
\end{align*}
另外，由基本型生存年金頁之(1)式，亦可得
\begin{align*}
\mu_{x+t} & =-\frac{l’_{x+t}}{l_{x+t}}\mbox{ (由(\ref{eq75})式)}\\
& =-\frac{l_{0}\cdot S'(x+t)}{l_{0}\cdot S(x+t)}\\
& =-\frac{S'(x+t)}{S(x+t)}=\frac{S(x)-S(x+1)}{(1-t)S(x)+tS(x+1)}\mbox{ (因 \(S'(x+t)=S(x+1)-S(x)\)由(\ref{eq84})式)}\\
& =\frac{1-\frac{S(x+1}{S(x)}}{(1-t)+\frac{tS(x+1)}{S(x)}}
=\frac{1-p_{x}}{(1-t)+tp_{x}}=\frac{q_{x}}{{}_{t}p_{x}}\mbox{ (由(\ref{eq85})式)。}
\end{align*}
因此可知
\begin{equation}{\label{eq86}}\tag{28}
\mu_{t+x}\cdot {}_{t}p_{x}=q_{x}\mbox{。}
\end{equation}
- 以終身壽險為例，年末給付與即刻給付之關係推導如下: 依據基本型生存年金頁之(5)式
\begin{align*}
\bar{A}_{x} & =\int_{0}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt=
\sum_{k=0}^{\omega -x-1}\int_{k}^{k+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\sum_{k=0}^{\omega -x-1}\int_{0}^{1}v^{k+s}\cdot {}_{k+s}p_{x}\cdot\mu_{k+s+x}ds\mbox{ (令$t=k+s$，其中$0\leq s\leq 1$)}\\
& =\sum_{k=0}^{\omega -x-1}\int_{0}^{1}v^{k+s}\cdot {}_{k}p_{x}\cdot {}_{s}p_{k+x}\cdot\mu_{k+s+x}ds\\
& =\sum_{k=0}^{\omega -x-1}v^{k+1}\cdot {}_{k}p_{x}\cdot q_{x+k}\cdot\int_{0}^{1}v^{s-1}ds\mbox{ (依據(\ref{eq86})式)}\\
& =\sum_{k=0}^{\omega -x-1}v^{k+1}\cdot {}_{k|}q_{x}\cdot\int_{0}^{1}v^{s-1}ds\\
& =A_{x}\cdot\int_{0}^{1}v^{s-1}ds\mbox{。}
\end{align*}
依據利息與確定年金頁之(3)式，可得
\begin{align*}
\int_{0}^{1}v^{s-1}ds & =\frac{1}{v}\cdot\int_{0}^{1}v^{s}ds=\frac{v-1}{v\cdot\ln v}\\
& =\frac{(1+i)^{-1}-1}{(1+i)^{-1}\cdot\ln (1+i)^{-1}}=\frac{i}{\ln (1+i)}=\frac{i}{\delta}\mbox{，}
\end{align*}
最後得到
\[\bar{A}_{x}=\frac{i}{\delta}\cdot A_{x}\mbox{。}\] - 以 \(n\)年定期壽險為例，年末給付與即刻給付之關係推導如下:
\begin{align*}
\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1} & =\int_{0}^{n}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt=
\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k}^{k+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\sum_{k=0}^{n-1}v^{k+1}\cdot {}_{k|}q_{x}\cdot\int_{0}^{1}v^{s-1}ds
=A_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\int_{0}^{1}v^{s-1}ds\mbox{。}
\end{align*}
同理亦可得
\[\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{i}{\delta}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\] - 以延期 \(m\)年之終身壽險為例，年末給付與即刻給付之關係推導如下:
\begin{align*}
{}_{m|}\bar{A}_{x} & =\int_{m}^{\omega -x}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt=
\sum_{k=m}^{\omega -x-1}\int_{k}^{k+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\sum_{k=m}^{\omega -x-1}v^{k+1}\cdot {}_{k|}q_{x}\cdot
\int_{0}^{1}v^{s-1}ds={}_{m|}A_{x}\cdot\int_{0}^{1}v^{s-1}ds\mbox{。}
\end{align*}
同理亦可得
\[{}_{m|}\bar{A}_{x}=\frac{i}{\delta}\cdot {}_{m|}A_{x}\mbox{。}\] - 以延期 \(m\)年之 \(n\)年定期壽險為例，年末給付與即刻給付之關係推導如下:
\begin{align*}
{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1} & =\int_{m}^{n+m}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt
=\sum_{k=m}^{n+m-1}\int_{k}^{k+1}v^{t}\cdot {}_{t}p_{x}\cdot\mu_{t+x}dt\\
& =\sum_{k=m}^{n+m-1}v^{k+1}\cdot {}_{k|}q_{x}\cdot\int_{0}^{1}v^{s-1}ds
={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\cdot\int_{0}^{1}v^{s-1}ds\mbox{。}
\end{align*}
同理亦可得
\[{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}=\frac{i}{\delta}\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}\]
又因實利率 \(i\)大於息力 \(\delta\)，因此可知
\[\begin{array}{llll}
\bar{A}_{x}\geq A_{x}\mbox{，} & \bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\geq A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{，} &
{}_{m|}\bar{A}_{x}\geq {}_{m|}A_{x}\mbox{，} & {}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}\geq {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}\mbox{。}
\end{array}\] - 以 \(n\)年定期生死合險為例，年末給付與即刻給付之關係推導如下:
\begin{align*}
\bar{A}_{x:n\!\rceil} & =\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n}E_{x}=\frac{i}{\delta}\cdot A_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n}E_{x}\\
& =\left (1-\frac{i}{\delta}\right )\cdot {}_{n}E_{x}+\frac{i}{\delta}\cdot\left (A_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n}E_{x}\right )
=\left (1-\frac{i}{\delta}\right )\cdot {}_{n}E_{x}+\frac{i}{\delta}\cdot A_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{align*} - 以延期 \(m\)年之 \(n\)年生死合險為例，可同理推出
\[{}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}={}_{m|}\bar{A}_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n+m}E_{x}
=\left (1-\frac{i}{\delta}\right )\cdot {}_{n+m}E_{x}+\frac{i}{\delta}\cdot {}_{m|}A_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\]
\begin{equation}{\label{d}}\tag{D}\mbox{}\end{equation}
保險金與年金的關係.
保險金與年金的關係分述如下:
- 因為 \(d_{x}=l_{x}-l_{x+1}\)，所以
\begin{align*}
M_{x} & =v^{x+1}\cdot d_{x}+v^{x+2}\cdot d_{x+1}+\cdots +v^{\omega}\cdot d_{\omega -1}\\
& =v\cdot\left (v^{x}\cdot l_{x}+v^{x+1}\cdot l_{x+1}+\cdots
+v^{\omega -1}\cdot l_{\omega -1}\right )-\left (v^{x+1}\cdot l_{x+1}
+v^{x+2}\cdot l_{x+1}+\cdots +v^{\omega}\cdot l_{\omega}\right )\\
& =v\cdot N_{x}-N_{x+1}\mbox{ (因為 \(l_{\omega}=0\))。}
\end{align*}
因此可得下面關係式
\[A_{x}=\frac{M_{x}}{D_{x}}=v\cdot\frac{N_{x}}{D_{x}}-\frac{N_{x+1}}{D_{x}}=v\cdot\ddot{a}_{x}-a_{x}\mbox{。}\]
也可表為
\begin{equation}{\label{eq243}}\tag{29}
A_{x}+a_{x}=v\cdot\ddot{a}_{x}\mbox{。}
\end{equation}
其中 \(v\cdot\ddot{a}_{x}\)表示年初時保險公司給付 \(v\)元年金予生存者之現值。於一年當中，年初給付 \(v=1-d\)元和年末給付 \(1\)元，在本質上是相同的，因為年末給付 \(1\)元之年初現值即為 \(v\)元。而年末給付 \(1\)元的情形可能是生存年金或身故保險金，其現值分別為 \(a_{x}\)及 \(A_{x}\)，此可解釋(\ref{eq243})式。同理可推得
\begin{equation}{\label{eq5}}\tag{30}
A_{x:n\!\rceil}^{1}=v\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}\mbox{。}
\end{equation}
另外，亦可得
\begin{align}
{}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1} & ={}_{m}E_{x}\cdot A_{x+m:n\!\rceil}^{1}={}_{m}E_{x}
\cdot\left (v\cdot\ddot{a}_{x+m:n\!\rceil}-a_{x+m:n\!\rceil}\right )\nonumber\\
& =v\cdot{}_{m}E_{x}\cdot\ddot{a}_{x+m:n\!\rceil}-{}_{m}E_{x}\cdot a_{x+m:n\!\rceil}
=v\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}- {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\label{eq291}\tag{31}
\end{align} - 因為
\begin{equation}{\label{eq246}}\tag{32}
A_{x}=v\cdot\ddot{a}_{x}-a_{x}=v\cdot\ddot{a}_{x}-(\ddot{a}_{x}-1)=1-d\cdot\ddot{a}_{x}\mbox{，}
\end{equation}
可得下面關係式
\[1=A_{x}+d\cdot\ddot{a}_{x}\mbox{。}\]
上式可解釋為，現有資金 \(1\)元，可等於年底的本金 \(1\)元加上年初的貼現息 \(d\)元。亦可解釋為，年初生存的被保險人領出 \(d\)元，而在年底身故時可獲得保險金給付 \(1\)元。 - 因為
\begin{align*}
(1+i)\cdot A_{x} & =(1+i)\cdot\left (v\cdot\ddot{a}_{x}-a_{x}\right )=\ddot{a}_{x}-(1+i)\cdot a_{x}\\
& =(1+a_{x})-(1+i)\cdot a_{x}=1-i\cdot a_{x}\mbox{，}
\end{align*}
可得下面關係式
\[1=(1+i)\cdot A_{x}+i\cdot a_{x}\mbox{。}\]
上式可解釋為，現有資金 \(1\)元，若被保險人仍生存，年末可領回利息 \(i\)元且留著本金 \(1\)元繼續滾利息，如果身故則領回本利和。 - 有下面關係式
\[(1+i)A_{x}=q_{x}+p_{x}\cdot A_{x+1}\mbox{。}\]
又可得
\[A_{x}=v\cdot q_{x}+v\cdot p_{x}\cdot A_{x+1}\mbox{。}\]
上式可解釋為，如果身故時付 \(1\)元。生存時，保單繼續有效，此時投保人變為 \(x+1\)歲，身故保險金現值為 \(A_{x+1}\)。 - 有下面關係式
\[A_{x:n\!\rceil}^{1}=A_{x}-v^{n}\cdot {}_{n}p_{x}\cdot A_{x+n}\mbox{。}\]
上式可解釋為，定期壽險 \(A_{x:n\!\rceil}^{1}\)正好是終身壽險 \(A_{x}\)與 \(A_{x+n}\)中間相差的部分，但 \(A_{x+n}\)之評價點為 \(x+n\)必須折現至 \(x\)歲，所以乘上折現因子。 - 可得下面關係式
\begin{equation}{\label{eq427}}\tag{33}
{}_{n}E_{x}=\frac{D_{x+n}}{D_{x}}=\frac{N_{x+n}-N_{x+n+1}}{D_{x}}
={}_{n|}\ddot{a}_{x:1\!\rceil}={}_{n|}\ddot{a}_{x}-{}_{n|}a_{x}\mbox{。}
\end{equation}
亦可得
\begin{align}
{}_{n}E_{x} & =\frac{D_{x+n}}{D_{x}}=\frac{N_{x+n}-N_{x+n+1}}{D_{x}}\nonumber\\
& =\frac{N_{x+1}-N_{x+n+1}}{D_{x}}-\frac{N_{x+1}-N_{x+n}}{D_{x}}
=a_{x:n\!\rceil}-a_{x:n-1\!\rceil}\mbox{。}\label{eq6}\tag{34}
\end{align}
上式可解釋為，因 \(a_{x:n-1\!\rceil}\)比 \(a_{x:n\!\rceil}\)少給付的是 \(n\)年以後的 \(1\)元並折現至 \(x\)歲，此即為 \({}_{n}E_{x}\)。由(\ref{eq5})及(\ref{eq6})式，亦可得下面關係式
\[A_{x:n\!\rceil}=A_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{n}E_{x}=
v\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n\!\rceil}+a_{x:n\!\rceil}-a_{x:n-1\!\rceil}
=v\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n-1\!\rceil}\mbox{。}\]
上式可解釋為，因生死合險 \(A_{x:n\!\rceil}\)較 \(A_{x:n\!\rceil}^{1}\)多給付了 \(n\)年後仍生存者之年金 \(1\)元，因此僅扣掉 \(a_{x:n-1\!\rceil}\)，而保留最後一年的 \(1\)元。另外，依據基本型生存年金頁之(14)式，亦可得
\begin{align}
A_{x:n\!\rceil} & =v\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-a_{x:n-1\!\rceil}\nonumber\\
& =v\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1-\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\nonumber\\
& =1-d\cdot\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq245}\tag{35}
\end{align}
依據(\ref{eq291})式，可知
\begin{align}
{}_{m|}A_{x:n\!\rceil} & ={}_{m|}A_{x:n\!\rceil}^{1}+{}_{m+n}E_{x}\nonumber\\
& =v\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}- {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+a_{x:m+n\!\rceil}-a_{x:m+n-1\!\rceil}\nonumber\\
& =v\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}- {}_{m|}a_{x:n\!\rceil}+\left (a_{x:m\!\rceil}+{}_{m|}a_{x:n\!\rceil}\right )
-\left (a_{x:m\!\rceil}+{}_{m|}a_{x:n-1\!\rceil}\right )\nonumber\\
& =v\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m}a_{x:n-1\!\rceil}\mbox{。}\label{eq301}\tag{36}
\end{align}
另外，依據基本型生存年金頁之(21)式，亦可得
\begin{align}
{}_{m|}A_{x:n\!\rceil} & =v\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}-{}_{m|}a_{x:n-1\!\rceil}\nonumber\\
& =v\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}+1-{}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\nonumber\\
& =1-d\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{x:n\!\rceil}\mbox{。}\label{eq304}\tag{37}
\end{align}
