Alexey Petrovich Bogolyubov (1824-1896) 俄羅斯畫家。
圓的方程式.
以 \((h,k)\) 為圓心，半徑 \(r\) 之圓方程式為
\[(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\mbox{。}\]
假設 \(P(x_{1},y_{1})\) 及 \(Q(x_{2},y_{2})\) 為相異兩點，則以 \(\overline{PQ}\) 為直徑之圓的方程式為
\[(x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0\mbox{。}\]
方程式 \(x^{2}+y^{2}+dx+ey+f\) 可配方成
\[\left (x+\frac{d}{2}\right )^{2}+\left (y+\frac{e}{2}\right )^{2}=\frac{1}{4}\left (d^{2}+e^{2}-4f\right )\mbox{。}\]
所以 \(\Delta=d^{2}+e^{2}-4f\) 為圓之判別式。
(a) 若 \(\Delta>0\)，則表一圓，其圓心為 \((-\frac{d}{2},-\frac{e}{2})\)，半徑為 \(\frac{1}{2}\sqrt{d^{2}+e^{2}-4f}\)。
(b) 若 \(\Delta=0\)，則表一點為 \((-\frac{d}{2},-\frac{e}{2})\)。
(c) 若 \(\Delta<0\)，則無圖形。
例題. 假設方程式 \(x^{2}+y^{2}+2(a+1)x+4ay+6a^{2}-2=0\) 表示一圓。求當 \(a\) 為何值時，此圓有最大面積 \(S\)。
求解: 原式可化成
\[(x+a+1)^{2}+(y+2a)^{2}=-a^{2}+2a+3=-(a-1)^{2}+4\mbox{。}\]
所以 \(-(a-1)^{2}+4>0\)，解得 \(-1<a<3\)。因為當 \(a=1\) 時 \(-(a-1)^{2}+4\) 有最大值 \(4\)。因此當 \(a=1\) 時有最大半徑 \(2\)，也就是最大面積為 \(4\pi\)。 \(\blacksquare\)
習題. 若方程式 \(a(x^{2}+3xy+2y^{2})+b(x^{2}+xy+y^{2}+x+2x^{2})-xy+y^{2}-2x+6y-3=0\) 表一圓。求 \(a,b\) 之值及圓心和半徑。答: \(a=1,b=-2\)，圓心為 \((1,-2)\)，半徑為 \(4\)。
例題. 三直線 \(\overline{A},\overline{BC},\overline{CA}\) 之方程式分別為 \(x-y=2,x+2y=14,3x-y=0\)，求 \(\Delta ABC\) 之外接圓方程式。
求解: 解 \(x-y=2\) 及 \(3x-y=0\)得 \(A(-1,-3)\)。解 \(x-y=2\) 及 \(x+2y=14\)得 \(B(6,4)\)。解 \(x+2y=14\) 及 \(3x-y=0\)得 \(C(2,6)\)。假設外接圓方程式為 \(x^{2}+y^{2}+dx+ey+f=0\)，將 \(A,B,C\) 代入得
\[\left\{\begin{array}{l}
d+3e-f=10\\ 6d+4e+f=-52\\ 2d+6e+f=-40
\end{array}\right .\]
因此解得 \(d=-4,e=-2,f=-20\)，所以 外接圓方程式為 \(x^{2}+y^{2}-4x-2y-20=0\)。 \(\blacksquare\)
