利息與確定年金

Arturo Ricci (1854-1919) 義大利畫家。

本頁有下列小節

• 利息的概念
• 確定年金
• 攤銷程序與償債基金

\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}

利息的概念.

首先介紹利息的概念。假設現有本金 \(1\)元，經過時間 \(t\)以後所累積的金額以函數 \(a(t)\)來表示。則稱此函數 \(a(t)\)為累積函數 (accumulating function)。很明顯地，此函數 \(a(t)\)需為遞增函數(increasing function)且需滿足 \(a(0)=1\)。一般情形，假設現有本金 \(\Lambda\)元，經過時間 \(t\)以後所累積之金額稱為本利和，以函數 \(A(t)\)來表示。因此可得關係式為 \(A(t)=\Lambda\cdot a(t)\)。我們亦可了解，本金於時間 \(t=n-1\)至 \(t=n\)所生之利息為
\[I_{n}=A(n)-A(n-1)\mbox{。}\]
假設 \(i_{n}\)表示投資後第 \(n\)年間的有效利率，則其計算式為
\[i_{n}=\frac{\mbox{第 \(n\)年內所生利息}}{\mbox{第 \(n-1\)年本金}}=\frac{A(n)-A(n-1)}{A(n-1)}=\frac{I_{n}}{A(n-1)}\mbox{。}\]

接著介紹單利法與複利法。

定義. 令 \(i\)表固定利率，現有本金$1$元。

• 如計息方式採單利法(simple interest)，則其累積函數為 \(a(t)=1+i\cdot t\)。
• 如計息方式採複利法(compound interest)，則累積函數為 \(a(t)=(1+i)^{t}\)。

複利是利息自動累加入本金的計息方式，而單利則不是。一般長期投資與財務分析多採用複利法。

例題. 假設甲向乙借 \(20000\)元，並且約定 \(1\)元之年利息為 \(0.065\)元，若採用複利法，則 \(i=0.065\)，因此，十年後甲需還乙本金及利息之本利和為
\[A(10)=20000\cdot a(10)=20000\cdot (1+0.065)^{10}=37542.749\mbox{元。}\]
另外可得
\[A(10)-A(0)=37542.749-20000=17542.749\mbox{元，}\]
此即為甲應該付的利息。

經過一單位時間(如每年、每季、每月等，而通常為每年)所生之利息與期初本金之比值稱為實利率或有效利率(effective rate of interest)，並表為 \(i_{\scriptsize \mbox{eff}}\)。在實利率 \(i_{\scriptsize \mbox{eff}}\)之下，單位時間內，若未來之本利和可達到 \(1\)元之期初本金  \(v\)稱之為現值(present value)或折現因子。因此，其關係式為
\[v=\frac{1}{1+i_{\scriptsize \mbox{eff}}}\mbox{。}\]

例題. 假設甲向乙借錢，並且約定十五年後還乙 \(300000\)元，若假設固定利率 \(i=4\%\)並且採用複利計息方式，則 \(300000\)元之現值為
\[300000\cdot v^{15}=300000\cdot (1+0.04)^{-15}=166579.35\mbox{元。}\]
也就是說，當時甲向乙借了 \(166579.35\)元。

另外，於 \(t\)單位時間後，本利和累積值為 \(1\)元之期初本金或現值則表為函數 \(\alpha (t)\)，並稱此函數 \(\alpha (t)\)為折現函數或現值函數(discount function)。

• 如採單利計息方式，則
  \[\alpha (t)=\frac{1}{1+i_{\scriptsize \mbox{eff}}\cdot t}\mbox{。}\]
• 如採複利計息方式，則
  \[\alpha (t)=\frac{1}{(1+i_{\scriptsize \mbox{eff}})^{t}}=v^{t}\mbox{。}\]

因為有以下關係式
\[a(t)=\frac{1}{\alpha (t)}\mbox{或}\alpha (t)=\frac{1}{a(t)}\mbox{，}\]
所以可知，累積(accumulating)與折現(discounting)是互為逆向之計算方式。

假設今有借款一筆，通常之借貸情形為到期日時，借款者需償還本金及利息。然而亦有放款人會先自行於放款金額中扣除利息，並將其剩餘金額付與借款者，此種先扣利息之方式稱之為貼現。假設今有借款 \(1\)元，單位時間內，預扣之金額稱為有效折現率或實貼現率(effective rate of discount)，並以符號 \(d\)表示。一般情形，假設借款 \(k\)元，則 \(k\cdot d\)稱為貼現息。因此實貼現率 \(d\)可表示為
\[d=\frac{\mbox{貼現息}}{\mbox{借款金額}}\mbox{。}\]

例題. 假設甲向銀行借 \(10000\)元，借期為一年，銀行先收 \(600\)元貼現息，因此甲淨收金額為 \(9400\)元。然而，一年後甲需還銀行  \(10000\)元，則實貼現率為
\[d=\frac{10000-9400}{10000}=6\%\mbox{。}\]

現假設期初值為 \(1\)元，對於利率 \(i\)，經過單位時間 \(t=1\)後，不論是採用單利計息或複利計息，其本利和皆為 \(1+i\)元。對於貼現率  \(d\)而言，在單位時間，若期終值為 \(1\)元，則期初值為 \(1-d\)元。因此，在期初值為 \(1\)元下，同樣經過單位時間，則期終值應為 \(1/(1-d)\)。假設本利和與期終值相同，則稱 \(d\)和 \(i\)是等價(equivalent)，其關係式如下
\begin{equation}{\label{eq312}}\tag{1}
1+i=\frac{1}{1-d}\mbox{。}
\end{equation}
當 \(i\)和 \(d\)是等價時，則有以下關係式:
\begin{align*}
& d=\frac{i}{1+i}\\
& i-d=id\\
& d=iv\\
& d=1-v
\end{align*}

年實利率 \(i\)為當年度實際上所獲取之利率，假設現有本金 \(1\)元，一年後之本利和為 \(1+i\)。若將一年內分成 \(m\)次複利計息，而所謂年虛利率 \(i^{(m)}\)或稱名義利率(nominal rate of interest)則考慮每一次之利率皆為 \(i^{(m)}/m\)。因此，一年後之本利和為
\begin{equation}{\label{eq73}}\tag{2}
1+i=\left (1+\frac{i^{(m)}}{m}\right )^{m}\mbox{元。}
\end{equation}

例題. 有一銀行，其年虛利率為 \(12\%\)，並以半年計息一次，因此 \(m=2\)。假設現有 \(100\)元，以五年為期， \(100\)元在五年後之累積值 可視為利率 \(6\%\)且共 \(5\cdot 2=10\)次複利計息，因此其累積值為
\[100\cdot\left (1+\frac{0.12}{2}\right )^{10}=179.08477\mbox{元。}\]
假設甲向此銀行借錢，並且約定十年後還銀行 \(100\)元，因十年後為 \(100\)元之現值為
\[100\cdot \left (1+\frac{0.12}{2}\right )^{-20}=31.180473\mbox{元。}\]
所以，甲總共向銀行借了 \(31.180473\)元。

假設利息在任一段無限小的時間區間中皆有作用，則描述個別時點之利息強度稱之為息力(force of interest)，並以 \(\delta\)表之。若以虛利率的觀念來看，可將 \(i^{(m)}\)視為一期中利息作用於 \(m\)個時間區間。因為息力表示利息可在極小的時間區間作用，所以可將息力想像成是虛利率 \(i^{(m)}\)的分割數 \(m\)趨於無窮大之情況，可用下式表示:
\[\lim_{m\rightarrow\infty}i^{(m)}=\delta\mbox{。}\]
當每年複利的次數 \(m\)趨近於無窮大時，則其意義為連續複利。由(\ref{eq73})式可得
\[i^{(m)}=m\cdot\left [(1+i)^{1/m}-1\right ]=\frac{(1+i)^{1/m}-(1+i)^{0}}{1/m}\mbox{。}\]
當 \(m\rightarrow\infty\)時，則上式右邊可視為函數 \((1+i)^{x}\)在 \(x=0\)時的導數，因此可得
\begin{equation}{\label{eq89}}\tag{3}
\delta =\lim_{m\rightarrow\infty}i^{(m)}=\ln (1+i)
\end{equation}
或
\begin{equation}{\label{eq74}}\tag{4}
e^{\delta}=1+i\mbox{。}
\end{equation}

假設期初值為 \(1\)元，對於年實貼現率 \(d\)而言，一年後之期終值為 \(1/(1-d)\)。若將一年分成 \(m\)期並考慮年虛貼現率 \(d^{(m)}\)，則第一期終值為
\[\frac{1}{1-\frac{d^{(m)}}{m}}\mbox{。}\]
同理，第二期終值為
\[\frac{1}{1-\frac{d^{(m)}}{m}}\cdot\frac{1}{1-\frac{d^{(m)}}{m}}=\left (\frac{1}{1-\frac{d^{(m)}}{m}}\right )^{2}\mbox{。}\]
依此類推，一年後期終值為
\[\left (\frac{1}{1-\frac{d^{(m)}}{m}}\right )^{m}\mbox{。}\]
因此可得
\[\frac{1}{1-d}=\left (\frac{1}{1-\frac{d^{(m)}}{m}}\right )^{m}\mbox{。}\]
上式亦可表為
\[1-d=\left (1-\frac{d^{(m)}}{m}\right )^{m}\mbox{。}\]
因此可解得
\[d^{(m)}=-\frac{(1-d)^{1/m}-1}{1/m}=-\frac{(1-d)^{1/m}-(1-d)^{0}}{1/m}\mbox{。}\]
當 \(m\rightarrow\infty\)時，則上式右邊可視為函數 \(-(1-d)^{x}\)在 \(x=0\)時的導數，因此
\begin{equation}{\label{eq324}}\tag{5}
\eta\equiv\lim_{m\rightarrow\infty}d^{(m)}=-\ln (1-d)\mbox{。}
\end{equation}
亦可寫為 \(e^{-\eta}=1-d\)，假設 \(d\)和 \(i\)是等價，依據(\ref{eq312})及(\ref{eq74})式，可得
\[e^{\eta}=\frac{1}{1-d}=1+i=e^{\delta}\mbox{。}\]
上式證明了
\begin{equation}{\label{eq248}}\tag{6}
\eta =\lim_{m\rightarrow\infty}d^{(m)}=\delta\mbox{。}
\end{equation}

\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}

確定年金.

與保險公司簽定契約後，通常保險公司會按期給付金額，而其給付期間可按月、季或年給付，一般皆以一年為期，因此稱為年金。根據給付條件分，又可分為確定年金(certain annuity)與生存年金(life annuity)。確定年金是指付款為確定，無需任何條件。而生存年金，則需以仍生存為付款條件。此外，年金之支付方式又可分為期末付年金(immediate annuity)、期初付年金(annuity-due)、延期付年金(deferred annuity)及永久年金(perpetuities)。

期末付年金.

所謂期末付年金是指每期末時保險公司將給付一定金額。假設保險公司將於每期末時給付金額 \(1\)元，並且契約約定共需給付 \(n\)期，則其現值以符號 \(a_{n\!\rceil}\)表示。接著，我們將描述 \(a_{n\!\rceil}\)之計算公式。令 \(v\)為折現因子。因第 \(1\)期期末將給付金額 \(1\)元，所以其現值為 \(v\)元。而第 \(2\)期期末亦將給付金額 \(1\)元，所以其現值將為 \(v^{2}\)元。以此類推，第 \(k\)期期末給付金額為 \(1\)元時，則其現值將為 \(v^{k}\)元。因為保險公司共需給付 \(n\)期，所以其現值為
\[a_{n\!\rceil}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}=\frac{v(1-v^{n})}{1-v}=\frac{v(1-v^{n})}{d}=\frac{1-v^{n}}{i}\mbox{。}\]
又可將上式表為
\[1=i\cdot a_{n\!\rceil}+v^{n}\mbox{。}\]
此式之左邊可解釋為最初向銀行借款 \(1\)元，而式之右邊則可解釋為借款人須在 \(n\)期內還款，其償還方式為每期末還給銀行利息 \(i\)元之現值及最後一期(第 \(n\)期)末將本金 \(1\)元還清之現值。因每期的利息 \(i\)元其總現值為 \(i\cdot a_{n\!\rceil}\)，而最後一期的 \(1\)元其現值為 \(v^{n}\)，其兩者之和就是現值 \(1\)元，也就是原來的銀行借款 \(1\)元。

另外，因每期末給付 \(1\)元，共給付 \(n\)期，則最後之總金額以 \(s_{n\!\rceil}\)表示，其計算式為:
\[s_{n\!\rceil}=1+(1+i)+\cdots +(1+i)^{n-1}=\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\mbox{。}\]
上式又可表為
\[(1+i)^{n}=1+i\cdot s_{n\!\rceil}\mbox{。}\]
此式之左邊可解釋為本金 \(1\)元在第 \(n\)期末時之本利和，而式之右邊則可解釋為最初本金 \(1\)元以及每期產生利息 \(i\)之總利息為 \(i\cdot s_{n\!\rceil}\)，所以兩者之和即等於最初本金 \(1\)元之本利和。

一般情形，假設保險公司於每期末給付金額 \(\Lambda\)元，並且契約約定共需給付 \(n\)期，則其現值為
\[\Lambda\cdot v+\Lambda\cdot v^{2}+\cdots +\Lambda\cdot v^{n}=\Lambda\cdot a_{n\!\rceil}\mbox{。}\]
而最後之總金額為
\[\Lambda+(1+i)\cdot \Lambda+\cdots +(1+i)^{n-1}\cdot \Lambda =\Lambda\cdot s_{n\!\rceil}\mbox{。}\]

期初付年金.

期初付年金是指每期初時給付金額。假設保險公司於每期初給付金額 \(1\)元，並且契約約定共需給付 \(n\)期，則其現值以符號  \(\ddot{a}_{n\!\rceil}\)表示，其計算式為:
\[\ddot{a}_{n\!\rceil}=1+v+v^{2}+\cdots +v^{n-1}=\frac{1-v^{n}}{1-v}=\frac{1-v^{n}}{d}\mbox{，}\]
又可將上式表為
\[1=d\cdot\ddot{a}_{n\!\rceil}+v^{n}\mbox{。}\]
其最後之總金額以 \(\ddot{s}_{n\!\rceil}\)表示且計算式為:
\[\ddot{s}_{n\!\rceil}=(1+i)+\cdots +(1+i)^{n}=(1+i)\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}=\frac{(1+i)^{n}-1}{iv}=\frac{(1+i)^{n}-1}{d}\mbox{。}\]
上式又可表為
\[(1+i)^{n}=1+d\cdot\ddot{s}_{n\!\rceil}\mbox{。}\]
一般情形，假設保險公司於每期初時給付金額 \(\Lambda\)元，並且契約約定共需給付 \(n\)期，則其現值為
\[\Lambda+\Lambda\cdot v+\cdots +\Lambda\cdot v^{n-1}=\Lambda\cdot\ddot{a}_{n\!\rceil}\mbox{。}\]
而最後之總金額為
\[(1+i)\cdot\Lambda+(1+i)^{2}\cdot\Lambda+\cdots +(1+i)^{n}\cdot\Lambda=\Lambda\cdot\ddot{s}_{n\!\rceil}\mbox{。}\]
經由一些基本算術運算，亦可得以下關係式:
\begin{align*}
\ddot{a}_{n\!\rceil} & =(1+i)\cdot a_{n\!\rceil}\\
\ddot{s}_{n\!\rceil} & =(1+i)\cdot s_{n\!\rceil}\\
\ddot{a}_{n\!\rceil} & =1+a_{n-1\!\rceil}\\
\ddot{s}_{n\!\rceil} & =s_{n+1\!\rceil}-1\\
s_{n\!\rceil} & =(1+i)^{n}\cdot a_{n\!\rceil}\\
\ddot{s}_{n\!\rceil} & =(1+i)^{n}\cdot\ddot{a}_{n\!\rceil}\\
\frac{1}{a_{n\!\rceil}} & =\frac{1}{s_{n\!\rceil}}+i\\
\frac{1}{\ddot{a}_{n\!\rceil}} & =\frac{1}{\ddot{s}_{n\!\rceil}}+d\mbox{ 其中 }d=i\cdot v
\end{align*}

延期付年金.

延期付年金又可分為延期期末付年金(deferred immediate annuity)及延期期初付年金(deferred annuity-due)。延期期末付年金是指開始前  \(m\)期不給付年金，而從第 \(m+1\)期起，開始每期末給付年金。假設保險公司於第 \(m+1\)期起，開始每期末時給付金額 \(1\)元，並且契約約定共需給付 \(n\)期，則現值以 \({}_{m|}a_{n\!\rceil}\)表示，其計算式為:
\[{}_{m|}a_{n\!\rceil}=v^{m+1}+v^{m+2}+\cdots +v^{m+n}=v^{m}\cdot a_{n\!\rceil}=a_{m+n\!\rceil}-a_{m\!\rceil}\mbox{。}\]
一般情形，假設保險公司於每期末時給付金額 \(\Lambda\)元，且契約約定共需給付 \(n\)期，則其現值為
\[\Lambda\cdot v^{m+1}+\Lambda\cdot v^{m+2}+\Lambda\cdot \cdots +v^{m+n}=\Lambda\cdot {}_{m|}a_{n\!\rceil}\mbox{。}\]

延期期初付年金是指開始前 \(m\)期不給付年金，而從第 \(m+1\)期起，開始每期初給付年金。假設保險公司於第 \(m+1\)期起，開始每期初給付金額 \(1\)元，並且契約約定共需給付 \(n\)期，則現值以 \({}_{m|}\ddot{a}_{n\!\rceil}\)表示，其計算式為:
\[{}_{m|}\ddot{a}_{n\!\rceil}=v^{m}+v^{m+1}+\cdots +v^{m+n-1}=v^{m}\cdot\ddot{a}_{n\!\rceil}=\ddot{a}_{m+n\!\rceil}-\ddot{a}_{m\!\rceil}\mbox{。}\]
一般情形，假設保險公司於每期初時給付金額 \(\Lambda\)元，並且契約約定共需給付 \(n\)期，則其現值為
\[\Lambda\cdot v^{m}+\Lambda\cdot v^{m+1}+\cdots +\Lambda\cdot v^{m+n-1}=\Lambda\cdot {}_{m|}\ddot{a}_{n\!\rceil}\mbox{。}\]

永久年金.

永久年金是指每期末給付一定金額且給付年金之期數無限。假設保險公司於每期末給付金額 \(1\)元且給付年金之期數無限，則現值以  \(a_{\infty\!\rceil}\)表示，其計算式為:
\[a_{\infty\!\rceil}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}+\cdots =\frac{v}{1-v}=\frac{1}{i}\mbox{。}\]
又可將上式表為
\[1=i\cdot a_{\infty\!\rceil}\mbox{。}\]
一般情形，假設保險公司於每期末給付金額 \(\Lambda\)元，則其現值為
\[\Lambda\cdot v+\Lambda\cdot v^{2}+\cdots +\Lambda\cdot v^{n}+\cdots=\Lambda\cdot a_{\infty\!\rceil}\mbox{。}\]

\begin{equation}{\label{c}}\tag{C}\mbox{}\end{equation}

攤銷程序與償債基金

攤銷程序.

在現實生活中，有些借款或高額商品消費皆可藉由分期付款還清。所謂攤銷程序(amortization schedules)是指一筆借款將經由分期付款還清，而每次付款中包含部分本金及部分利息。假設某人向銀行借款 \(a_{n\!\rceil}\)元購買房子，契約約定借款者需 \(n\)期分攤還清，而每期償還金額為 \(1\)元。分期付款方式，可根據有以下關係:
\[\mbox{本期末償還利息}=\mbox{上期末借款餘額}\times\mbox{利率}i\]
及
\[\mbox{本期末借款餘額(即未還本金outstanding principal)}=\mbox{前期末借款餘額}-\mbox{本期償還本金部份}\mbox{。}\]
透過以下關係式
\begin{equation}{\label{eq59}}\tag{7}
a_{n\!\rceil}-v^{n}=a_{n-1\!\rceil}\mbox{ 及 }i\cdot a_{n\!\rceil}+v^{n}=1\mbox{，}
\end{equation}
可建立攤銷程序如下表所示:
\[\begin{array}{ccccc}\hline
\mbox{償還} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末}\\
\mbox{次數} & \mbox{償還金額} & \mbox{償還利息部份} & \mbox{償還本金部份} & \mbox{之借款餘額}\\ \hline
1 & 1 & i\cdot a_{n\!\rceil}=1-v^{n} & v^{n} & a_{n\!\rceil}-v^{n}=a_{n-1\!\rceil}\\
2 & 1 & i\cdot a_{n-1\!\rceil}=1-v^{n-1} & v^{n-1} & a_{n-1\!\rceil}-v^{n-1}=a_{n-2\!\rceil}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
t & 1 & i\cdot a_{n-t+1\!\rceil}=1-v^{n-t+1} & v^{n-t+1} & a_{n-t+1\!\rceil}-v^{n-t+1}=a_{n-t\!\rceil}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
n-1 & 1 & i\cdot a_{2\!\rceil}=1-v^{2} & v^{2} & a_{2\!\rceil}-v^{2}=a_{1\!\rceil}\\
n & 1 & i\cdot a_{1\!\rceil}=1-v & v & a_{1\!\rceil}-v=0\\ \hline
合計 & n & n-a_{n\!\rceil} & a_{n\!\rceil} &\\ \hline
\end{array}\]
上述攤銷程序表之製作說明如下:

• 因為借款 \(a_{n\!\rceil}\)，所以第 \(1\)期末應償還利息 \(i\cdot a_{n\!\rceil}\)。依據(\ref{eq59})式，可得
  \[i\cdot a_{n\!\rceil}=1-v^{n}\mbox{。}\]
  因第 \(1\)期末償還金額 \(1\)元，所以第 \(1\)期末償還本金將為
  \[1-\mbox{應償還利息$i\cdot a_{n\!\rceil}$}=1-(1-v^{n})=v^{n}\]
  可視為金額 \(1\)元之現值 \(v^{n}\)。另外，依據(\ref{eq59})式，第 \(1\)期末之借款餘額為
  \[a_{n\!\rceil}-v^{n}=a_{n-1\!\rceil}\mbox{。}\]
• 第 \(2\)期末應償還利息為
  \[i\times\mbox{第$1$期末之借款餘額}=i\cdot a_{n-1\!\rceil}\mbox{。}\]
  依據(\ref{eq59})式，可得
  \[i\cdot a_{n-1\!\rceil}=1-v^{n-1}\mbox{。}\]
  因第 \(2\)期末償還金額 \(1\)元，所以第 \(2\)期末償還本金將為
  \[1-\mbox{應償還利息 \(i\cdot a_{n-1\!\rceil}\)}=1-(1-v^{n-1})=v^{n-1}\]
  另外，依據(\ref{eq59})式，第 \(2\)期末之借款餘額為
  \[a_{n-1\!\rceil}-v^{n-1}=a_{n-2\!\rceil}\mbox{。}\]
• 第 \(t\)期末應償還利息為
  \[i\times\mbox{第$t-1$期末之借款餘額}=i\cdot a_{n-t+1\!\rceil}\mbox{。}\]
  依據(\ref{eq59})式，可得
  \[i\cdot a_{n-t+1\!\rceil}=1-v^{n-t+1}\mbox{。}\]
  因第 \(t\)期末償還金額 \(1\)元，所以第 \(t\)期末償還本金將為
  \[1-\mbox{應償還利息$i\cdot a_{n-t+1\!\rceil}$}=1-(1-v^{n-t+1})=v^{n-t+1}\]
  另外，依據(\ref{eq59})式，第 \(t\)期末之借款餘額為
  \[a_{n-t+1\!\rceil}-v^{n-t+1}=a_{n-t\!\rceil}\mbox{。}\]

上述攤銷程序表所顯示之借款餘額計算式亦可以用預期法或回顧法求之。

• 預期法之觀點: 可用下式理解
  \[\mbox{第 \(t\)期末之借款餘額}=\mbox{第 \(t\)期末未付款之現值}\mbox{。}\]
  因未來尚有 \(n-t\)期未還，所以在第 \(t\)期末未付款之現值為
  \[v+v^{2}+\cdots +v^{n-t}=\frac{1-v^{n-t}}{i}=a_{n-t\!\rceil}\mbox{。}\]
• 回顧法之觀點: 可用下式理解
  \[\mbox{第 \(t\)期末借款之餘額}=\mbox{原借款在第 \(t\)期末之總金額}-
  \mbox{第 \(t\)期末已付款之總金額}=a_{n\!\rceil}\cdot (1+i)^{t}-s_{t\!\rceil}\mbox{。}\]

根據以下之推導，可驗證預期法與回顧法所得之結果相同:
\[a_{n\!\rceil}\cdot (1+i)^{t}-s_{t\!\rceil}=\frac{1-v^{n}}{i}\cdot (1+i)^{t}-
\frac{(1+i)^{t}-1}{i}=\frac{1-v^{n-t}}{i}=a_{n-t\!\rceil}\mbox{。}\]

一般情形時，假設某人向銀行借款 \(p\)元購買房子，契約約定借款者需 \(n\)期分攤還清。若借款者希望每期償還金額為 \(q\)元，根據上述之攤銷程序，借款者只能向銀行借款 \(q\cdot a_{n\!\rceil}\)元，因此
\begin{equation}{\label{eq60}}\tag{8}
p=q\cdot a_{n\!\rceil}\mbox{。}
\end{equation}
換句話說，假設某人向銀行借款 \(p\)元購買房子，則借款者每期需償還金額為
\begin{equation}{\label{eq51}}\tag{9}
q=\frac{p}{a_{n\!\rceil}}\mbox{元。}
\end{equation}
其攤銷程序如下表所示:
\[\begin{array}{ccccc}\hline
\mbox{償還} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末}\\
\mbox{次數} & \mbox{償還金額} & \mbox{償還利息部份} & \mbox{償還本金部份} & \mbox{之借款餘額}\\ \hline
1 & q & i\cdot p & q-i\cdot p & p-(q-i\cdot p)\equiv p_{1}\\
2 & q & i\cdot p_{1} & q-i\cdot p_{1}\equiv q_{1} & p_{1}-q_{1}\equiv p_{2}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
t & q & i\cdot p_{t-1} & q-i\cdot p_{t-1}\equiv q_{t-1} & p_{t-1}-q_{t-1}\equiv p_{t}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
n & q & i\cdot p_{n-1} & q-i\cdot p_{n-1}\equiv q_{n-1} & p_{n-1}-q_{n-1}\equiv p_{n}\\ \hline
合計 & n\cdot q & {\displaystyle i\cdot\left (p+\sum_{t=0}^{n-1}p_{t}\right )} &
{\displaystyle n\cdot q-i\cdot\left (p+\sum_{t=0}^{n-1}p_{t}\right )} &\\ \hline
\end{array}\]
上述攤銷程序表說明如下:

• 因為借款 \(p\)元，所以第 \(1\)期末應償還利息 \(i\cdot p\)。因第 \(1\)期末償還金額 \(q\)元，所以第 \(1\)期末償還本金將為 \(q-i\cdot p\)。所以，第 \(1\)期末之借款餘額為
  \[p-(q-i\cdot p)\equiv p_{1}\mbox{。}\]
• 第 \(2\)期末應償還利息為
  \[i\times\mbox{第$2$期末之借款餘額}=i\cdot p_{1}\mbox{。}\]
  因第 \(2\)期末償還金額 \(q\)元，所以第 \(2\)期末償還本金將為
  \[q-i\cdot p_{1}\equiv q_{1}\mbox{。}\]
  所以，第 \(2\)期末之借款餘額為 \(p_{1}-q_{1}\equiv p_{2}\)。
• 第 \(t\)期末應償還利息為
  \[i\times\mbox{第$t-1$期末之借款餘額}=i\cdot p_{t-1}\mbox{。}\]
  因第 \(t\)期末償還金額 \(q\)元，所以第 \(t\)期末償還本金將為
  \[q-i\cdot p_{t-1}\equiv q_{t-1}\mbox{。}\]
  所以，第 \(t\)期末之借款餘額為 \(p_{t-1}-q_{t-1}\equiv p_{t}\)。

根據(\ref{eq59})及(\ref{eq60})式，可求得
\begin{align*}
p_{1} & =(1+i)\cdot p-q=(1+i)\cdot q\cdot a_{n\!\rceil}-q=q\cdot\left [(1+i)\cdot a_{n\!\rceil}-1\right ]\\
& =q\cdot\left [(1+i)\cdot a_{n\!\rceil}-v^{n}-i\cdot a_{n\!\rceil}\right ]=q\cdot\left (a_{n\!\rceil}-v^{n}\right )=q\cdot a_{n-1\!\rceil}
\end{align*}
及
\[q_{1}=q-i\cdot p_{1}=q-i\cdot q\cdot a_{n-1\!\rceil}=q\cdot\left (1-i\cdot a_{n-1\!\rceil}\right )=q\cdot v^{n-1}\mbox{。}\]
同理，可歸納推出
\[p_{t}=q\cdot\left (a_{n-t+1\!\rceil}-v^{n-t+1}\right )=q\cdot a_{n-t\!\rceil}\]
及
\[q_{t-1}=q\cdot v^{n-t+1}\mbox{。}\]
因此，上述之攤銷程序如下表所示:
\[\begin{array}{ccccc}\hline
\mbox{償還} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末}\\
\mbox{次數} & \mbox{償還金額} & \mbox{償還利息部份} & \mbox{償還本金部份} & \mbox{之借款餘額}\\ \hline 1 & q & q\cdot i\cdot a_{n\!\rceil} & q\cdot v^{n} & q\cdot (a_{n\!\rceil}-v^{n})=q\cdot a_{n-1\!\rceil}\\
2 & q & q\cdot i\cdot a_{n-1\!\rceil} & q\cdot v^{n-1} & q\cdot (a_{n-1\!\rceil}-v^{n-1})=q\cdot a_{n-2\!\rceil}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
t & q & q\cdot i\cdot a_{n-t+1\!\rceil} & q\cdot v^{n-t+1} & q\cdot (a_{n-t+1\!\rceil}-v^{n-t+1})=q\cdot a_{n-t\!\rceil}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
n-1 & q & q\cdot i\cdot a_{2\!\rceil} & q\cdot v^{2} & q\cdot (a_{2\!\rceil}-v^{2})=q\cdot a_{1\!\rceil}\\
n & q & q\cdot i\cdot a_{1\!\rceil} & q\cdot v & q\cdot (a_{1\!\rceil}-v)=0\\ \hline
合計 & n\cdot q & q\cdot (n-a_{n\!\rceil}) & q\cdot a_{n\!\rceil} &\\ \hline
\end{array}\]
假設某人向銀行借款 \(p\)元購買房子，契約約定借款者需 \(n\)期分攤還清。則根據(\ref{eq51})式，實際之攤銷程序如下表所示:
\[\begin{array}{ccccc}\hline
\mbox{償還} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末}\\
\mbox{次數} & \mbox{償還金額} & \mbox{償還利息部份} & \mbox{償還本金部份} & \mbox{之借款餘額}\\ \hline
1 & {\displaystyle \frac{p}{a_{n\!\rceil}}} & i\cdot p & {\displaystyle \frac{p\cdot v^{n}}{a_{n\!\rceil}}}
& {\displaystyle p\cdot\frac{a_{n-1\!\rceil}}{a_{n\!\rceil}}}\\
2 & {\displaystyle \frac{p}{a_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle i\cdot p\cdot\frac{a_{n-1\!\rceil}}{a_{n\!\rceil}}}
& {\displaystyle \frac{p\cdot v^{n-1}}{a_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle p\cdot\frac{a_{n-2\!\rceil}}{a_{n\!\rceil}}}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
t & {\displaystyle \frac{p}{a_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle i\cdot p\cdot\frac{a_{n-t+1\!\rceil}}{a_{n\!\rceil}}}
& {\displaystyle \frac{p\cdot v^{n-t+1}}{a_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle p\cdot\frac{a_{n-t\!\rceil}}{a_{n\!\rceil}}}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
n-1 & {\displaystyle \frac{p}{a_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle i\cdot p\cdot\frac{a_{2\!\rceil}}{a_{n\!\rceil}}}
& {\displaystyle \frac{p\cdot v^{2}}{a_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle p\cdot\frac{a_{1\!\rceil}}{a_{n\!\rceil}}}\\
n & {\displaystyle \frac{p}{a_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle i\cdot p\cdot\frac{a_{1\!\rceil}}{a_{n\!\rceil}}}
& {\displaystyle \frac{p\cdot v}{a_{n\!\rceil}}} & 0\\ \hline\mbox{合計} & {\displaystyle n\cdot\frac{p}{a_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle \frac{p\cdot (n-a_{n\!\rceil})}{a_{n\!\rceil}}} & p &\\ \hline
\end{array}\]

例題. 假設某人向銀行購屋貸款一千萬元，契約約定貸款利率為 \(i^{(12)}=12\%\)，並有兩種選擇貸款期間，分別是 \(10\)年或 \(20\)年。而還款方式也有兩種，一種是每月平均攤還本金及利息，另一種是前五年只付利息，而剩下的貸款部分再由貸款人每月平均攤還本金及利息，試求銀行所提供這四種方式之攤還金額。首先可得，前五年每月利息金額為
\[\mbox{一千萬元}\cdot\frac{0.12}{12}=\mbox{十萬元。}\]
以每月為 \(1\)期，則 \(10\)年共 \(120\)期，因此 \(n=120\)。若為 \(20\)年，則 \(n=240\)。若採用前五年只付利息，則於 \(10\)年貸款期間，只有後 \(5\)年需每月平均攤還本金及利息，因此 \(n=60\)。同理，若貸款期間為 \(20\)年，則只有後 \(15\)年需每月平均攤還本金及利息，因此 \(n=180\)。令 \(i=0.12/12=0.01\)，則可求得下列數值 :
\begin{align*}
a_{120\!\rceil} & =v+v^{2}+\cdots +v^{120}=a_{50\!\rceil}+v^{50}\cdot a_{50\!\rceil}+v^{100}\cdot a_{20\!\rceil}\\
& =39.1961+0.6080692\cdot 39.1961+0.3697482\cdot 18.04367=69.702056\\
a_{240\!\rceil} & =v+v^{2}+\cdots +v^{240}=(1+v^{50}+v^{100}+v^{150})\cdot a_{50\!\rceil}+v^{200}\cdot a_{40\!\rceil}=90.824239\\
a_{60\!\rceil} & = v+v^{2}+\cdots +v^{60}=a_{50\!\rceil}+v^{50}\cdot a_{10\!\rceil}=44.955306\\
a_{180\!\rceil} & =v+v^{2}+\cdots +v^{180}=a_{50\!\rceil}+v^{50}\cdot a_{50\!\rceil}
+v^{100}\cdot a_{50\!\rceil}+v^{150}\cdot a_{30\!\rceil}=83.325139
\end{align*}
根據(\ref{eq51})式，其每月分攤還款金額如下表所示:
\[\begin{array}{ccc}\hline
& 10年 & 20年\\ \hline
\mbox{每月分攤} & 10000000\cdot (1/a_{120\!\rceil}) & 10000000\cdot (1/a_{240\!\rceil})\\
\mbox{還款金額} & =143467.79$ & $latex =110102.77 \\ \hline
\mbox{前五年每月只還利息十萬元} & 10000000\cdot (1/a_{60\!\rceil}) & 10000000\cdot (1/a_{180\!\rceil})\\
\mbox{而一千萬元的貸款部分每月平均攤還} & =222443.15 & =120011.8\\ \hline
\end{array}\]

償債基金.

另外一種還款方式稱為償債基金法。其方法是指每期償還利息且固定存放一筆款項到基金中直到期滿後剛好以基金累積金額來償還借款。以借款 \(1\)元為例，假設借款人與銀行約定借款利率為 \(i’\)並且約定 \(n\)期後還清。另外，亦假設基金利率為 \(i\)且每期固定存放一筆金額 \(1/s_{n\!\rceil}\)到基金中，透過以下關係式
\begin{equation}{\label{eq62}}\tag{10}
\frac{(1+i)\cdot s_{t-1\!\rceil}+1}{s_{n\!\rceil}}=\frac{s_{t\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\mbox{，}
\end{equation}
可建立償債程序如下表所示:
\[\begin{array}{cccccc}\hline
\mbox{期} & \mbox{借款} & \mbox{基金} & \mbox{第$ t$期內} & \mbox{第 \(t\)期末} & \mbox{第 \(t\)期末基金}\\
\mbox{數} & \mbox{利息} & \mbox{存入|} & \mbox{基金所生利息} & \mbox{基金累計} & \mbox{累積與借款之差額}\\ \hline
1 & i’ & {\displaystyle \frac{1}{s_{n\!\rceil}}} & 0 &
{\displaystyle \frac{1}{s_{n\!\rceil}}=\frac{s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle 1-\frac{s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}}\\
2 & i’ & {\displaystyle \frac{1}{s_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle i\cdot\left (\frac{s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\right )} &
{\displaystyle \frac{(1+i)\cdot s_{1\!\rceil}+1}{s_{n\!\rceil}}=\frac{s_{2\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}}
& {\displaystyle 1-\frac{s_{2\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
t & i’ & {\displaystyle \frac{1}{s_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle i\cdot\left (\frac{s_{t-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\right )} &
{\displaystyle \frac{(1+i)\cdot s_{t-1\!\rceil}+1}{s_{n\!\rceil}}=\frac{s_{t\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}}
& {\displaystyle 1-\frac{s_{t\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
n-1 & i’ & {\displaystyle \frac{1}{s_{n\!\rceil}}} &
{\displaystyle i\cdot\left (\frac{s_{n-2\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\right )} &
{\displaystyle \frac{(1+i)\cdot s_{n-2\!\rceil}+1}{s_{n\!\rceil}}=\frac{s_{n-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}}
& {\displaystyle 1-\frac{s_{n-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}}\\
n & i’ & {\displaystyle \frac{1}{s_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle i\cdot\left (\frac{s_{n-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\right )} &
{\displaystyle \frac{(1+i)\cdot s_{n-1\!\rceil}+1}{s_{n\!\rceil}}=\frac{s_{n\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}=1} & 0\\ \hline
\mbox{合計} && {\displaystyle \frac{n}{s_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle \frac{s_{n\!\rceil}-n}{s_{n\!\rceil}}=1-\frac{n}{s_{n\!\rceil}}} && \\ \hline\end{array}\]
上述償債程序表之製作說明如下:

• 因第 \(1\)期才剛存放一筆金額 \(1/s_{n\!\rceil}\)到基金中，所以第 \(1\)期末基金累計為
  \[\frac{1}{s_{n\!\rceil}}=\frac{s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\mbox{。}\]
• 第 \(2\)期內基金所生之利息為
  \[\frac{i\cdot s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\mbox{。}\]
  而第 \(2\)期末基金之累計金額為第 \(1\)期末基金累計、第 \(2\)期內基金所生之利息及每期固定存放金額 \(1/s_{n\!\rceil}\)之總合。依據(\ref{eq62})式，可得
  \begin{align*}
  \mbox{第 \(2\)期末基金之累計金額} & =\mbox{第 \(1\)期末基金之累計金額}
  +\mbox{第 \(2\)期內基金所生之利息}+\frac{1}{s_{n\!\rceil}}\\
  & =\frac{s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}+\frac{i\cdot s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}
  +\frac{1}{s_{n\!\rceil}}=\frac{s_{2\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\mbox{。}
  \end{align*}
• \(t\)期內基金所生之利息為
  \[i\times\mbox{第 \(t-1\)期末基金之累計金額}=\frac{i\cdot s_{t-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\mbox{。}\]
  第 \(t\)期末基金之累計金額為第 \(t-1\)期末基金累計、第 \(t\)期內基金所生之利息及每期固定存放金額 \(1/s_{n\!\rceil}\)之總合。依據(\ref{eq62})式，可得
  \begin{align*}
  \mbox{第 \(t\)期末基金之累計金額} & =\mbox{第 \(t-1\)期末基金之累計金額}
  +\mbox{第 \(t\)期內基金所生之利息}+\frac{1}{s_{n\!\rceil}}\\
  & =\frac{s_{t-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}+\frac{i\cdot s_{t-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}
  +\frac{1}{s_{n\!\rceil}}=\frac{s_{t\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\mbox{。}
  \end{align*}

一般情形，假設借款 \(p\)元且每期固定存放一筆金額 \(p/s_{n\!\rceil}\)到基金中，則償債程序說明如下:

• 因第 \(1\)期才剛存放一筆金額 \(p/s_{n\!\rceil}\)到基金中，所以第 \(1\)期末基金累計為
  \[\frac{p}{s_{n\!\rceil}}=\frac{p\cdot s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\mbox{。}\]
• 第 \(2\)期內基金所生之利息為
  \[\frac{i\cdot p\cdot s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\mbox{。}\]
  而第 \(2\)期末基金之累計金額為第 \(1\)期末基金累計、第 \(2\)期內基金所生之利息及每期固定存放金額 \(p/s_{n\!\rceil}\)之總合。依據(\ref{eq62})式，可得
  \begin{align*}
  \mbox{第 \(2\)期末基金之累計金額} & =\mbox{第 \(1\)期末基金之累計金額}
  +\mbox{第 \(2\)期內基金所生之利息}+\frac{p}{s_{n\!\rceil}}\\
  & =\frac{p\cdot s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}+\frac{i\cdot p\cdot s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}
  +\frac{p}{s_{n\!\rceil}}=\frac{p\cdot s_{2\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\mbox{。}
  \end{align*}
• 第 \(t\)期內基金所生之利息為
  \[i\times\mbox{第$t-1$期末基金之累計金額}=\frac{i\cdot p\cdot s_{t-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\mbox{。}\]
  第 \(t\)期末基金之累計金額為第 \(t-1\)期末基金累計、第 \(t\)期內基金所生之利息
  及每期固定存放金額 \(p/s_{n\!\rceil}\)之總合。依據(\ref{eq62})式，可得
  \begin{align*}
  \mbox{第 \(t\)期末基金之累計金額} & =\mbox{第 \(t-1\)期末基金之累計金額}
  +\mbox{第 \(t\)期內基金所生之利息}+\frac{p}{s_{n\!\rceil}}\\
  & =\frac{p\cdot s_{t-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}+\frac{i\cdot p\cdot s_{t-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}
  +\frac{p}{s_{n\!\rceil}}=\frac{p\cdot s_{t\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}\mbox{。}
  \end{align*}

因此，實際償債程序如下表所示:
\[\begin{array}{cccccc}\hline
\mbox{期} & \mbox{借款} & \mbox{基金} & \mbox{第$t$期內} & \mbox{第$t$期末} & \mbox{第$t$期末基金}\\
\mbox{數} & \mbox{利息} & \mbox{存入} & \mbox{基金所生利息} & \mbox{基金累計} & \mbox{累積與借款之差額}\\ \hline
1 & i’ & {\displaystyle \frac{p}{s_{n\!\rceil}}} & 0 &
{\displaystyle \frac{p}{s_{n\!\rceil}}=\frac{p\cdot s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}}
& {\displaystyle p-\frac{p\cdot s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}}\\
2 & i’ & {\displaystyle \frac{p}{s_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle \frac{i\cdot p\cdot s_{1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}} &
{\displaystyle \frac{p\cdot s_{2\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle p-\frac{p\cdot s_{2\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
t & i’ & {\displaystyle \frac{p}{s_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle \frac{i\cdot p\cdot s_{t-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}} &
{\displaystyle \frac{p\cdot s_{t\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle p-\frac{p\cdot s_{t\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
n-1 & i’ & {\displaystyle \frac{p}{s_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle \frac{i\cdot p\cdot s_{n-2\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}} &
{\displaystyle \frac{p\cdot s_{n-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle p-\frac{p\cdot s_{n-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}}\\
n & i’ & {\displaystyle \frac{p}{s_{n\!\rceil}}} & {\displaystyle \frac{i\cdot p\cdot s_{n-1\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}} &
{\displaystyle \frac{p\cdot s_{n\!\rceil}}{s_{n\!\rceil}}=p} & p-p=0\\ \hline
合計 && {\displaystyle \frac{n\cdot p}{s_{n\!\rceil}}} &
{\displaystyle \frac{p\cdot s_{n\!\rceil}-n\cdot p}{s_{n\!\rceil}}=p-\frac{n\cdot p}{s_{n\!\rceil}}} & &\\ \hline
\end{array}\]

當償債基金利率 \(i\)與借款約定利率 \(i’\)相等時，可證明攤銷法與償債基金法是等價的。假設借款 \(1\)元，依據攤銷法可知每期之償還金額為 \(1/a_{n\!\rceil}\)元。因 \(i=i’\)，依償債基金法可知每期償還利息 \(i\)元，存入基金 \(1/s_{n\!\rceil}\)元，也就是每期償還總金額為 \(i+(1/s_{n\!\rceil})\)元。因為有下面關係式
\[\frac{1}{a_{n\!\rceil}}=\frac{1}{s_{n\!\rceil}}+i\mbox{，}\]
因此說明了攤銷法與償債基金法的確是等價的。