Cornelis Lieste (1817-1861) 荷蘭畫家.
令 \(X\) 及 \(Y\) 為兩個非空集合，由 \(X\) 到 \(Y\) 的對應關係可用函數 \(f:X\rightarrow Y\) 表示，並記為 \(y=f(x)\) 其中 \(x\in X\) 及 \(y\in Y\)，而且每一個 \(x\) 只能有一個 \(y\) 與之對應，然而允許不同的 \(x\) 對應相同的 \(y\)。而 \(f(x)\) 一稱為 \(x\) 之函數值。另外，$X$ 稱為 \(f\) 之定義域。定義域 \(X\) 中的每一個元素都必須有對應，然而 \(Y\) 中的元素不需要每一個都被對應。若 \(Y\) 中的每一個元素都被對應，則 \(f\) 稱為映成函數且 \(Y\) 稱為 \(f\) 之值域。假設有兩個函數 \(f:X\rightarrow Y\) 及 \(g:Y\rightarrow Z\)，則可定義一個新的函數 \(h:X\rightarrow Z\) 為 \(h(x)=g(f(x))\)。此新函數 \(h\) 稱為 \(f\) 及 \(g\) 的合成函數，並表為 \(h=g\circ f\)。
♠例題. 假設函數為
\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{3-2x-x^{2}}}\mbox{。}\]
求定義域及值域。
求解: 函數要有意義必須 \(3-2x-x^{2}>0\)，也就是 \(-3<x<1\)，所以定義域為開區間 \((-3,1)\)。另外
\[3-2x-x^{2}=-(x+1)^{2}+4\mbox{ 且 }-3<x<1\]
因此可得 \(0<\sqrt{3-2x-x^{2}}\leq 4\)，所以 \(f(x)\geq\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}\)， 也就是值域為集合 \(\{y:y\geq\frac{1}{2}\}\)。 \(\blacksquare\)
♠例題. 假設函數為
\[f\left (\frac{x+1}{x-1}\right)=5x+1\mbox{。}\]
求 \(f(x)\)。
求解: 令 \(\frac{x+1}{x-1}=y\)，則可解得 \(x=\frac{y+1}{y-1}\)，因此
\[f(y)=f\left (\frac{x+1}{x-1}\right)=5x+1=5\cdot\frac{y+1}{y-1}+1=\frac{6y+4}{y-1}\mbox{。}\blacksquare\]
令 \(x\) 為定義域中之任一元素，若滿足 \(f(-x)=f(x)\)，則稱 \(f\) 為偶函數。若滿足 \(f(-x)=f(x)\)，則稱 \(f\) 為奇函數。若滿足 \(f(x+a)=f(x)\)，則稱 \(f\) 為週期函數，而最小之值 \(a\) 成為 \(f\) 之週期。給定兩個映成函數 \(f(x)\) 及 \(g(y)\)。若滿足 \(g(f(x))=x\) 及 \(f(g(y))=y\)，則稱 \(f\) 與 \(g\) 互為反函數。函數 \(f\) 之反函數以符號 \(f^{-1}\) 表示。因此 \(f\) 之定義域既為 \(f^{-1}\) 之值域，而 \(f\) 之值域既為 \(f^{-1}\) 之定義域。
♠例題. 求函數
\[f(x)=\frac{10^{x}-10^{-x}}{10^{x}+10^{-x}}\]
之反函數。
求解: 令
\[y=\frac{10^{x}-10^{-x}}{10^{x}+10^{-x}}=\frac{\frac{10^{2x}-1}{10^{x}}}
{\frac{10^{2x}+1}{10^{x}}}=\frac{10^{2x}-1}{10^{2x}+1}\mbox{，}\]
則可解得 \(10^{2x}=\frac{1+y}{1-y}\)，也就是 \(x=\frac{1}{2}\cdot\log_{10}\frac{1+y}{1-y}\)， 所以反函數為
\[f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\cdot\log_{10}\frac{1+y}{1-y}\mbox{。}\blacksquare\]
