August Albert Zimmermann (1808-1888) 德國畫家.
本頁有兩小節
\begin{equation}{\label{a}}\tag{A}\mbox{}\end{equation}
基本概念
考慮實係數一元二次方程式 \(ax^{2}+bx+c=0\)，則兩根為
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\mbox{。}\]
令判別式 \(D=b^{2}-4ac\)，則有下列情形:
- 若 \(D>0\)，則有相異兩實根
- 若 \(D=0\)，則有相等兩實根
- 若 \(D<0\)，則有兩共軛虛根
假設一元二次方程式為 \(ax^{2}+2bx+c=0\)，則兩根為
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-ac}}{a}\mbox{。}\]
而判別式則為 \(D=b^{2}-ac\)。
♠例題. 解方程式 \(2x^{2}+3|x-1|-6=0\)。
求解: 當 \(x-1\geq 0\) 時，則原式為 \(2x^{2}+3(x-1)-6=0\)，也就是 \(2x^{2}+3x-9=0\)。分解後得 \((2x-3)(x+3)=0\)，但 \(x\geq 1\)，所以解得 \(x=\frac{3}{2}\)。 \(x-1<0\) 時，則原式為 \(2x^{2}-3(x-1)-6=0\)，也就是 \(2x^{2}-3x-3=0\)。所以解得 \(x=\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}\)， 但 \(x<1\)，所以解得 \(x=\frac{3-\sqrt{33}}{4}\)。 \(\blacksquare\)
♠例題. 解方程式
\[\frac{x^{2}+2}{x^{2}+4x+1}+\frac{x^{2}+4x+1}{x^{2}+2}=\frac{5}{2}\]
求解: 令 \(y=\frac{x^{2}+2}{x^{2}+4x+1}\)，則原式轉為 \(y+\frac{1}{y}=\frac{5}{2}\)。也就是 \(2y^{2}-5y+2=0\)，分解後得 \((2y-1)(y-2)=0\)。所以 \(y=2\) 或 \(\frac{1}{2}\)。若 \(y=\frac{1}{2}\)，則 \(\frac{1}{2}=\frac{x^{2}+2}{x^{2}+4x+1}\)，整理後得 \(x^{2}-4x+3=0\)，分解後得 \((x-1)(x-3)=0\)。 所以得 \(x=1,3\)。若 \(y=2\)，則 \(2=\frac{x^{2}+2}{x^{2}+4x+1}\)，整理後得 \(x^{2}+8x=0\)，分解後得 \(x(x+8)=0\)。所以得 \(x=0,-8\)。 \(\blacksquare\)
♠例題. 假設 \(p,m\) 為有理數，不論 \(m\) 為何值，方程式 \(x^{2}-4mx+4x+3^{m}-2m-5p=0\) 之兩根均為有理數， 求 \(p\) 之值及方程式之兩根。
求解: 因為方程式 \(x^{2}-4(m-1)x+3^{m}-2m-5p=0\) 兩根均為有理數，所以判別式 \(D\) 須為完全平方數
\begin{align*} D & =\left [2(m-1)\right ]^{2}+3^{m}-2m-5p\\ & =m^{2}-6m+(4+5p)\end{align*}
因為 \(m\) 任意數，可將 \(D\) 視為 \(m\) 之方程式。因為 \(D\) 為完全平方數，所以其判別式 \((-6)^{2}-4(4+5p)=0\)，故解得 \(p=1\)。所以原程式為 \(x^{2}-4mx+4x+3m^{2}-2m-5=0\)，也就是 \(x^{2}-4(m-1)x+(3m-5)(m+1)=0\)，分解後可得
\[(x-(3m-5))(x-(m-1))=0\]
所以兩根為 \(3m-5\) 及 \(m+1\)。 \(\blacksquare\)
♥習題. 假設 \(m\) 為有理數，若方程式$mx^{2}+(m+1)x+n=0$ 之兩根均為有理數，求 \(n\) 之值。答: \(n=0\) 或 \(1\)
\begin{equation}{\label{b}}\tag{B}\mbox{}\end{equation}
根與係數的關係.
實係數一元二次方程式 \(ax^{2}+bx+c=0\) 之兩根假設為 \(\alpha\) 及 \(\beta\)，則
\[\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\mbox{ 及 }\alpha\cdot\beta=\frac{c}{a}\mbox{。}\]
♠例題. 假設方程式 \(x^{2}+kx-k+1=0\) 之兩根均為整數，求 \(a\) 之值。
求解: 兩根假設為 \(\alpha\) 及 \(\beta\)，則 \(\alpha+\beta=-k\) 及 \(\alpha\beta=-k+1\)。將 \(k\) 代入可得 \(\alpha\beta-\alpha-\beta=1\)，分解後得 \((\alpha-1)(\beta-1)=2\)。因為 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 均為整數，所以
\[\left\{\begin{array}{l}\alpha-1=1\\ \beta-1=2\end{array}\right .,
\left\{\begin{array}{l}\alpha-1=2\\ \beta-1=1\end{array}\right .,
\left\{\begin{array}{l}\alpha-1=-1\\ \beta-1=-2\end{array}\right .,
\left\{\begin{array}{l}\alpha-1=-2\\ \beta-1=-1\end{array}\right .\]
也就是
\[\left\{\begin{array}{l}\alpha=2\\ \beta=3\end{array}\right .,
\left\{\begin{array}{l}\alpha=3\\ \beta=2\end{array}\right .,
\left\{\begin{array}{l}\alpha=0\\ \beta=-1\end{array}\right .,
\left\{\begin{array}{l}\alpha=1\\ \beta=-0\end{array}\right .\]
所以 \(\alpha\beta=6\) 或 \(0\)，因此解得 \(k=-5\) 或 \(1\)。 \(\blacksquare\)
♥習題. 假設 \(x^{2}+(m-12)x+m-1=0\) 之兩根均為正整數，求 \(m\) 之值。答: \(m=6\) 或 \(7\)
♠例題. 給定方程式 \(x^{2}-kx+4=0\)。若兩根皆大於 \(1\) 求 \(k\) 之範圍。另外若一根大於 \(1\)
而另一根小於 \(1\) 亦求 \(k\) 之範圍。
求解: 假設兩根為 \(\alpha\) 及 \(\beta\)，則 \(\alpha+\beta=k\) 及 \(\alpha\beta=4\)。若兩根皆大於 \(1\)， 則判別式 \(D=(-k)^{2}-16\geq 0\) 且 \(\alpha-1>0\) 及 \(\beta-1>0\)，因此可得
\[k^{2}-16\geq 0,\quad (\alpha-1)+(\beta-1)>0\mbox{ 及 }(\alpha-1)\cdot(\beta-1)>0\]
也就是
\[(k+4)(k-4)\geq 0,\quad \alpha+\beta-2>0\mbox{ 及 }\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1>0\]
整理後得
\[k\geq 4\mbox{或}k\leq -4,\quad k-2>0\mbox{ 及 }4-k+1>0\]
因此解得 \(4\leq k\leq 5\)。另外若一根大於 \(1\) 而另一根小於 \(1\)，則 \(D>0\) 及 \((\alpha-1)\cdot(\beta-1)<0\)。也就是 \(k>4\) 或 \(k<-4\) 及 \(4-k+1<0\)。 此解得 \(k>5\)。 \(\blacksquare\)
♥習題. 假設 \(k\) 為一整數，若方程式 \(kx^{2}+7x+1=0\) 有兩相異實根，且兩根之積介於 \(\frac{5}{71}\) 及 \(\frac{6}{71}\) 之間，求 \(k\) 之值。答: \(12\)
